Baixe Exercícios de Álgebra Linear: Autovalores e Autoespaços e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Química, somente na Docsity!
Q1. Sejam V um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita munido de um produto interno e T : V → V um operador linear. Seja λ ∈ R um autovalor de T e denote por V (λ) o correspondente autoespa¸co. Considere as seguintes afirma¸c˜oes:
(I) o subespa¸co V (λ) ´e necessariamente invariante por T ; (II) o subespa¸co V (λ)⊥^ ´e necessariamente invariante por T ; (III) se T for um operador sim´etrico e se w ∈ V (λ)⊥^ ent˜ao T (w) ∈ V (λ)⊥.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao verdadeiras; (b) apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao verdadeiras; (c) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e verdadeira; (d) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao verdadeiras; (e) todas as afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras.
Q2. Sejam V um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita munido de um produto interno e T : V → V um operador linear sim´etrico. Denote por A a matriz que representa T em rela¸c˜ao a uma certa base ortonormal de V. Seja λ ∈ R um autovalor de T e denote por V (λ) o correspondente autoespa¸co. Considere as seguintes afirma¸c˜oes:
(I) todas as ra´ızes do polinˆomio caracter´ıstico de T s˜ao reais; (II) se o subespa¸co V (λ) ´e gerado por dois vetores linearmente indepen- dentes u, v ent˜ao u e v s˜ao ortogonais; (III) se M ´e uma matriz invert´ıvel tal que M −^1 AM ´e uma matriz diagonal ent˜ao M −^1 = M t.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e verdadeira; (b) apenas a afirma¸c˜ao (II) ´e verdadeira; (c) apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao verdadeiras; (d) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao verdadeiras; (e) todas as afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras.
Q3. Considere o espa¸co vetorial R^2 munido do seu produto interno usual e seja T : R^2 → R^2 o operador linear cuja matriz em rela¸c˜ao `a base canˆonica ´e:
[T ]can =
Assinale a alternativa que cont´em uma afirma¸c˜ao FALSA:
(a) existe uma base ortonormal B de R^2 tal que [T ]B ´e uma matriz sim´etrica; (b) os ´unicos subespa¸cos invariantes por T s˜ao os subespa¸cos { 0 } e R^2 ; (c) T n˜ao tem autovetores; (d) T ´e invert´ıvel; (e) T n˜ao ´e diagonaliz´avel.
Q4. Seja T : R^3 → R^3 o operador linear cuja matriz em rela¸c˜ao `a base canˆonica ´e:
[T ]can =
Sabe-se que 0, −1 e 1 s˜ao autovalores de T , com autoespa¸cos: V (0) = [(0, 0 , 1)], V (−1) = [(1, − 1 , 0)], V (1) = [(1, 1 , 0)]. Se uma qu´adrica possui equa¸c˜ao 2xy +
2 y + z = 0 relativamente a um certo sistema de coordenadas ortogonal ent˜ao uma equa¸c˜ao reduzida para essa qu´adrica ´e:
(a) −r^2 + s^2 + t = 0; (b) −r^2 + s^2 + 2 t = 12 ; (c) −r^2 + s^2 = 0; (d) −r^2 + s^2 + 2t = 0; (e) −r^2 + s^2 +
2 t = 0.
Q5. Seja n ≥ 1 e sejam A, B ∈ Mn(R) matrizes reais. Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (I) se A e B s˜ao sim´etricas ent˜ao a matriz A + B ´e diagonaliz´avel; (II) se A ´e sim´etrica ent˜ao a matriz A^2 tamb´em ´e sim´etrica; (III) se A e B s˜ao sim´etricas ent˜ao a matriz AB tamb´em ´e sim´etrica. Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao verdadeiras; (b) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e verdadeira; (c) apenas a afirma¸c˜ao (II) ´e verdadeira; (d) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao verdadeiras; (e) todas as afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras.
Q8. Assinale a alternativa contendo uma matriz M tal que a mudan¸ca de vari´aveis: (^)
x y z
= M
u v w
transforma a express˜ao 2xy + 2xz + 2yz numa express˜ao quadr´atica nas vari´aveis u, v, w sem termos mistos:
(a) M =
√^1 3
√^1 2
√^1 6 √^1 3 −^ √^1 2 √^1 6 √^1 3 0 −^
√^2 6
(b) M =
√^1 3
√^1 2
√^1 6 − √^13 √^12 − √^16 √^1 3 0 −^ √^2 6
(c) M =
2 3
1 3
2 3 2 3 −^
2 3 −^
1 3 1 3
2 3 −^
2 3
(d) M =
√^2 5
2 3 √ 5 −^
1 3 0
√ 5 3
2 3 √^1 5 −^
4 3 √ 5
2 3
(e) M =
− √^13 √^12 √^16
√^1 3 0 √^2 6 √^1 3
√^1 2 −^
√^1 6
Q9. Sejam a, b n´umeros reais e:
A =
a b 0 0 0 1 0 − 1 0
Considere as seguintes afirma¸c˜oes:
(I) se a 6 = 0 ent˜ao a matriz A ´e diagonaliz´avel sobre R; (II) se a 6 = b ent˜ao a matriz A ´e diagonaliz´avel sobre C; (III) se a = b ent˜ao a matriz A n˜ao ´e diagonaliz´avel sobre C.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirma¸c˜ao (II) ´e verdadeira; (b) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e verdadeira; (c) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao verdadeiras; (d) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao verdadeiras; (e) apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao verdadeiras.
Q10. Sabe-se que 2i ´e um autovalor da matriz:
A =
e que o autoespa¸co V (2i) tem dimens˜ao 2. Assinale a alternativa correta:
(a) A^6 = −64 I; (b) A^6 = 64 I; (c) A^5 = − 16 A; (d) A^5 = 32 I; (e) A^5 = −32 I.
Q14. Seja a um n´umero complexo e seja T : C^3 → C^3 o operador linear que ´e representado em rela¸c˜ao `a base canˆonica pela matriz:
[T ]can =
1 i a 1 i a 1 i a
Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (I) se a = 0 ent˜ao T ´e diagonaliz´avel; (II) o operador T possui 3 autovalores distintos; (III) o n´ucleo de T tem dimens˜ao 2. Assinale a alternativa correta:
(a) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao verdadeiras; (b) apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao verdadeiras; (c) apenas a afirma¸c˜ao (II) ´e verdadeira; (d) apenas a afirma¸c˜ao (III) ´e verdadeira; (e) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao verdadeiras.
Q15. Sejam a e c n´umeros complexos e seja T : C^3 → C^4 a transforma¸c˜ao linear definida por: T (x, y, z) = (ax + iy, cz, ax − cy, x + z), (x, y, z) ∈ C^3. Assinale a alternativa correta:
(a) se a = 0 e c = 0 ent˜ao dim
Ker(T )
(b) se a 6 = 0 e c = 0 ent˜ao dim
Im(T )
(c) se a = 0 e c 6 = 0 ent˜ao dim
Im(T )
(d) se a 6 = 0 e c 6 = 0 ent˜ao dim
Ker(T )
(e) se a = 0 e c 6 = 0 ent˜ao dim
Ker(T )
Q16. Seja A ∈ M 3 (R) e considere o sistema de equa¸c˜oes diferenciais:
x′(t) y′(t) z′(t)
= A
x(t) y(t) z(t)
Denote por F(R, R^3 ) o espa¸co vetorial das fun¸c˜oes (x, y, z) : R → R^3 e por S o subespa¸co de F(R, R^3 ) formado pelas solu¸c˜oes desse sistema. Considere as seguintes afirma¸c˜oes:
(I) se λ 6 = 0 ´e um autovalor real de A e se (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ R^3 ´e um autovetor de A associado a λ ent˜ao
x(t), y(t), z(t)
= e−λt(x 0 , y 0 , z 0 ) pertence a S; (II) se A ´e diagonaliz´avel sobre C, mas n˜ao sobre R, ent˜ao dim(S) < 3; (III) se A tem 3 autovalores reais distintos ent˜ao dim(S) = 3.
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirma¸c˜ao (III) ´e verdadeira; (b) todas as afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras; (c) apenas as afirma¸c˜oes (II) e (III) s˜ao verdadeiras; (d) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao verdadeiras; (e) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao verdadeiras.
