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Baixe folhas exercícios álgebra linear e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica - 2019 Exerćıcios 8 — operadores lineares do plano 1) Indique quais das seguintes expressões definem transformações lineares. (a) T : R2 → R2 T (x, y) = (|x|, |y|); (b) T : R3 → R2 T (x, y, z) = (x, z); (c) T : R2 → R3 T (x, y) = (x2, y2, 0); (d) T : R2 → R3 T (x, y) = (x− y, 3x, 2y − 3); (e) T : R2 → R2 T (X) = X + (0, 1); (f) T : R4 → R4 T (X) = −X; (g) T : R2 → R2 T (x, y) = (x+ 2y, x); (h) T : R2 → R T (x, y) = xy. 2) Determine T (1, 2) sabendo que T : R2 → R2 é uma transformação linear tal que: (a) T (1, 0) = (2, 3) e T (0, 1) = (−5, 1); (b) T (1, 1) = (1, 0) e T (0, 1) = (1, 0); (c) T (1, 2) = (−1,−2) e T (1,−1) = (2, 0); (d) T (2, 3) = (0, 0) e T (−1,−1) = (0, 0). 3) Determine a expressão T (x, y) e a matriz associada a T para cada uma das transformações lineares do exerćıcio anterior. 4) Mostre que se T : R2 −→ R2 for um operador linear então T (0, 0) = (0, 0). 5) Mostre que se T : Rn −→ Rm for uma transformação linear então T (0) = 0. 6) Mostre que se T : R2 −→ R2 for um operador linear, e se X,Y ∈ R2 com T (X) = (0, 0) então T (X+Y ) = T (Y ). 7) Seja T : R2 −→ R2 a transformação dada por T (x, y) = (2x, 3y). (a) Mostre que T é linear e determine a matriz que a representa. (b) Determine a imagem por T da reta x = 2. (c) Determine a imagem por T da reta y = −x. (d) Determine a imagem por T da circunferência x2 + y2 = 4. (e) Determine a imagem por T da elipse x2 4 + y2 9 = 1. (f) Determine todos os pontos (x, y) de R2 tais que T (x, y) = (0, 0). 8) Repita o exećıcio 7) para as transformações: (a) T (x, y) = (y,−x); (b) T (x, y) = (y, x); (c) T (x, y) = (x, x+ y); (d) T (x, y) = (x, 0). 9) Use identidades trigonométricas para demonstrar as seguintes afirmações: (a) SeRθ = ( cos(θ) − sen(θ) sen(θ) cos(θ) ) eRϕ = ( cos(ϕ) − sen(ϕ) sen(ϕ) cos(ϕ) ) entãoRθ·Rϕ = ( cos(θ + ϕ) − sen(θ + ϕ) sen(θ + ϕ) cos(θ + ϕ) ) . (b) Para a matriz Rθ de (a) tem-se (Rθ) −1 = (Rθ) T . (c) Quais são as interpretações geométricas de (a) e de (b)? 1 2 10) Seja Tθ : R 2 −→ R2 o operador linear representado pela matriz Rθ do exerćıcio 9) (a). Mostre que para quaisquer vetores X,Y ∈ R2 vale: (a) (Tθ(X) · (Tθ(Y ) = X · Y . (b) ||Tθ(X)|| = ||X||. (c) O ângulo entre Tθ(X) e Tθ(Y ) é sempre igual ao ângulo entre X e Y . (d) Se A e B forem dois pontos quaisquer do plano, então a distância entre Tθ(A) e Tθ(B) é sempre igual à distância entre A e B. 11) Para cada um dos operadores dos exerćıcios 7) e 8), encontre dois vetores A e B ∈ R2 tais que T (x, y) = (A · (x, y), B · (x, y)). Qual é a relação entre a matriz de T e os vetores A e B? 12) Mostre que se T : R2 −→ R2 for um operador linear então existem sempre dois vetores A e B ∈ R2 tais que T (x, y) = (A · (x, y), B · (x, y)). Qual é a relação entre a matriz de T e os vetores A e B? 13) O paralelogramo determinado pelos dois vetores A e B ∈ R2 é o conjunto {(x, y) ∈ R2 : (x, y) = tA+ sB com 0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1}. (a) Determine a imagem pelos operadores dos exerćıcios 7) e 8) do paralelogramo determinado por A = (1, 3) e B = (−2, 1). (b) Mostre que se T : R2 −→ R2 for um operador linear então a imagem do paralelogramo determinado pelos dois vetores A e B ∈ R2 é o paralelogramo determinado por T (A) e T (B). 14) Descreva a imagem do quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1) pelo operador linear T : R2 −→ R2 que satisfaz T (1, 0) = (1, 1) e T (0, 1) = (−1, 2). 15) Sejam A e B ∈ R2 dois vetores linearmente independentes. Descreva a imagem do retângulo de vértices (0, 0), (3, 0), (3, 1) e (0, 1) pelo operador linear T : R2 −→ R2 que satisfaz T (1, 0) = A e T (0, 1) = B. 16) Qual é a área da imagem do quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1) pelo operador linear T : R2 −→ R2 que é representado pela matriz A = ( a b c d ) ? 17) * Um subconjunto C ⊂ R2 diz-se convexo se dados dois pontos P e Q em C o segmento de reta que liga P e Q estiver contido em C. Sabendo que o segmento é o conjunto de pontos (x, y) do plano que podem ser escritos como (x, y) = tP + (1− t)Q com 0 ≤ t ≤ 1, mostre o seguinte: (a) Se C for um subconjunto convexo de R2 e se T : R2 −→ R2 for um operador linear então T (C) é um subconjunto convexo de R2. (b) Se T : R2 −→ R for uma transformação linear então o conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : T (x, y) ≥ 0} é convexo. (c) Se T : R2 −→ R for uma transformação linear e se c ∈ R então o conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : T (x, y) > c} é convexo.