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Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica - 2019
Exerc´ıcios 8 — operadores lineares do plano
1) Indique quais das seguintes express˜oes definem transforma¸c˜oes lineares.
(a) T:R2→R2T(x, y) = (|x|,|y|);
(b) T:R3→R2T(x, y, z)=(x, z);
(c) T:R2→R3T(x, y) = (x2, y2,0);
(d) T:R2→R3
T(x, y)=(x−y, 3x, 2y−3);
(e) T:R2→R2T(X) = X+ (0,1);
(f) T:R4→R4T(X) = −X;
(g) T:R2→R2T(x, y)=(x+ 2y, x);
(h) T:R2→RT(x, y) = xy.
2) Determine T(1,2) sabendo que T:R2→R2´e uma transforma¸c˜ao linear tal que:
(a) T(1,0) = (2,3) e T(0,1) = (−5,1);
(b) T(1,1) = (1,0) e T(0,1) = (1,0);
(c) T(1,2) = (−1,−2) e T(1,−1) = (2,0);
(d) T(2,3) = (0,0) e T(−1,−1) = (0,0).
3) Determine a express˜ao T(x, y) e a matriz associada a Tpara cada uma das transforma¸c˜oes lineares do
exerc´ıcio anterior.
4) Mostre que se T:R2−→ R2for um operador linear ent˜ao T(0,0) = (0,0).
5) Mostre que se T:Rn−→ Rmfor uma transforma¸c˜ao linear ent˜ao T(0) = 0.
6) Mostre que se T:R2−→ R2for um operador linear, e se X, Y ∈R2com T(X) = (0,0) ent˜ao T(X+Y) =
T(Y).
7) Seja T:R2−→ R2a transforma¸c˜ao dada por T(x, y) = (2x, 3y).
(a) Mostre que T´e linear e determine a matriz que a representa.
(b) Determine a imagem por Tda reta x= 2.
(c) Determine a imagem por Tda reta y=−x.
(d) Determine a imagem por Tda circunferˆencia x2+y2= 4.
(e) Determine a imagem por Tda elipse x2
4+y2
9= 1.
(f) Determine todos os pontos (x, y) de R2tais que T(x, y) = (0,0).
8) Repita o exec´ıcio 7) para as transforma¸c˜oes:
(a) T(x, y)=(y, −x); (b) T(x, y)=(y, x); (c) T(x, y)=(x, x +y); (d) T(x, y) = (x, 0).
9) Use identidades trigonom´etricas para demonstrar as seguintes afirma¸c˜oes:
(a) Se Rθ=cos(θ)−sen(θ)
sen(θ) cos(θ)eRϕ=cos(ϕ)−sen(ϕ)
sen(ϕ) cos(ϕ)ent˜ao Rθ·Rϕ=cos(θ+ϕ)−sen(θ+ϕ)
sen(θ+ϕ) cos(θ+ϕ).
(b) Para a matriz Rθde (a) tem-se (Rθ)−1= (Rθ)T.
(c) Quais s˜ao as interpreta¸c˜oes geom´etricas de (a) e de (b)?
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