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Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica: Transformações e Coordenadas, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Universidade do Porto (U.Porto)Geometria Analítica e Álgebra Linear

matriz inversa sistema de equações, produto vetorial e independência operadores lineares do plano transformações lineares, bases, mudanças de coordenadas

Tipologia: Exercícios

2020

Compartilhado em 04/01/2020

fibb1123
fibb1123 🇵🇹

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Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica - 2019
Exerc´ıcios 9 — transforma¸c˜oes lineares, bases, mudan¸cas de coordenadas
1) Determine, caso exista, uma transforma¸c˜ao linear f:Rn−→ Rm(para valores de nemapropriados) nas
condi¸c˜oes seguintes:
(a) f(1,0) = (3,4,0), f(0,1) = (2,3,−1) e f(1,1) = (−1,0,0);
(b) f(1,0) = (3,4,0), f(0,1) = (2,3,−1) e f(1,1) = (5,7,−1);
(c) f(2,3) = (−1,5,0);
(d) f(1,0,0) = (1,1), f(0,1,1) = (2,0) e f(0,−1,1) = (4,3);
(e) f(1,0,0) = (1,1), f(0,1,1) = (2,0) e f(1,1,1) = (4,3);
(f) f:R2−→ R2e{(x,y ) : f(x, y) = (0,0)}={(x, y)∈R2:x2−y2= 0}.
2) Determine a matriz Mpara cada uma das seguintes transforma¸c˜oes lineares:
(a) f:R2−→ R2f(x, y) = (3x−y, 2x+ 7y);
(b) f:R3−→ R2f(x, y, z)=(x+ 3y, −2x+ 3z)
(c) f:R3−→ Rf(x, y , z)=3x−5y+ 2z;
(d) f:R−→ R3f(x)=(−3x, 2x, x).
3) Determine T(1,2,1) para as transforma¸c˜oes lineares cuja matriz ´e uma das seguintes:
(a)
235
1−1 2
013
; (b) 235
1−1 2; (c) 111; (d)
111
235
1−1 2
013
.
4) Determine T(x, y, z) para as transforma¸c˜oes lineares do exer´ıcio 3).
5) Para a matriz Aθda reflex˜ao do plano na reta pela origem que tem vetor diretor vθ= (cos θ, sen θ), calcule
det(Aθ), (Aθ)2, (Aθ)−1e interprete geometricamente o resultado.
6) Determine a matriz para as seguintes isometrias lineares L:R2−→ R2e use esta matriz para calcular
L(x, y):
(a) L´e a rota¸c˜ao em torno da origem e de ˆangulo 3π/2 no sentido anti-hor´ario.
(b) L´e a rota¸c˜ao em torno da origem e de ˆangulo 2π/3 no sentido anti-hor´ario.
(c) L´e a reflex˜ao na reta que passa pela origem e faz um ˆangulo de 2π/3 com a parte positiva do eixo dos
xx.
(d) L´e a reflex˜ao na reta que passa pela origem e faz um ˆangulo de π/4 com a parte positiva do eixo dos
xx.
7) A proje¸c˜ao Bde A∈R2sobre uma reta Rpela origem ´e definida como B∈ R tal que (A−B)⊥ R.
(a) Determine a express˜ao da aplica¸c˜ao P:R2−→ R2que a cada (x, y )∈R2associa a proje¸c˜ao de (x, y )
sobre a reta pela origem de vetor diretor Dpara:
D= (1,0), D= (0,1), D= (1,−1), D= (3,2), D= (d1, d2).
(b) Para cada um dos valores de Dem (a) verifique que P´e uma transforma¸c˜ao linear e determine a sua
matriz.
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Algebra Linear e Geometria Anal´´ ıtica - 2019 Exerc´ıcios 9 — transforma¸c˜oes lineares, bases, mudan¸cas de coordenadas

  1. Determine, caso exista, uma transforma¸c˜ao linear f : Rn^ −→ Rm^ (para valores de n e m apropriados) nas condi¸c˜oes seguintes: (a) f (1, 0) = (3, 4 , 0), f (0, 1) = (2, 3 , −1) e f (1, 1) = (− 1 , 0 , 0); (b) f (1, 0) = (3, 4 , 0), f(0, 1) = (2, 3 , −1) e f (1, 1) = (5, 7 , −1); (c) f (2, 3) = (− 1 , 5 , 0); (d) f (1, 0 , 0) = (1, 1), f (0, 1 , 1) = (2, 0) e f (0, − 1 , 1) = (4, 3); (e) f (1, 0 , 0) = (1, 1), f (0, 1 , 1) = (2, 0) e f (1, 1 , 1) = (4, 3); (f) f : R^2 −→ R^2 e {(x, y) : f (x, y) = (0, 0)} = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 − y^2 = 0}.

  2. Determine a matriz M para cada uma das seguintes transforma¸c˜oes lineares: (a) f : R^2 −→ R^2 f (x, y) = (3x − y, 2 x + 7y); (b) f : R^3 −→ R^2 f (x, y, z) = (x + 3y, − 2 x + 3z) (c) f : R^3 −→ R f (x, y, z) = 3x − 5 y + 2z; (d) f : R −→ R^3 f (x) = (− 3 x, 2 x, x).

  3. Determine T (1, 2 , 1) para as transforma¸c˜oes lineares cuja matriz ´e uma das seguintes:

(a)

; (b)

; (c)

; (d)

  1. Determine T (x, y, z) para as transforma¸c˜oes lineares do exer´ıcio 3).

  2. Para a matriz Aθ da reflex˜ao do plano na reta pela origem que tem vetor diretor vθ = (cos θ, sen θ), calcule det(Aθ), (Aθ)^2 , (Aθ)−^1 e interprete geometricamente o resultado.

  3. Determine a matriz para as seguintes isometrias lineares L : R^2 −→ R^2 e use esta matriz para calcular L(x, y): (a) L ´e a rota¸c˜ao em torno da origem e de ˆangulo 3π/2 no sentido anti-hor´ario. (b) L ´e a rota¸c˜ao em torno da origem e de ˆangulo 2π/3 no sentido anti-hor´ario. (c) L ´e a reflex˜ao na reta que passa pela origem e faz um ˆangulo de 2π/3 com a parte positiva do eixo dos xx. (d) L ´e a reflex˜ao na reta que passa pela origem e faz um ˆangulo de π/4 com a parte positiva do eixo dos xx.

  4. A proje¸c˜ao B de A ∈ R^2 sobre uma reta R pela origem ´e definida como B ∈ R tal que (A − B) ⊥ R. (a) Determine a express˜ao da aplica¸c˜ao P : R^2 −→ R^2 que a cada (x, y) ∈ R^2 associa a proje¸c˜ao de (x, y) sobre a reta pela origem de vetor diretor D para: D = (1, 0), D = (0, 1), D = (1, −1), D = (3, 2), D = (d 1 , d 2 ). (b) Para cada um dos valores de D em (a) verifique que P ´e uma transforma¸c˜ao linear e determine a sua matriz. 1

  1. A proje¸c˜ao B de A ∈ R^3 sobre um plano p contendo a origem ´e definida como B ∈ p tal que (A − B) ⊥ p. (a) Determine a proje¸c˜ao de e 1 = (1, 0 , 0), e 2 = (0, 1 , 0), e 3 = (0, 0 , 1), a 1 = (− 1 , 1 , 0), a 2 = (− 1 , − 2 , 1) sobre o plano contendo a origem perpendicular a N para: N = (1, 0 , 0), N = (0, 1 , 0), N = (0, 0 , 1), N = (1, 1 , 1), * N = (n 1 , n 2 , n 3 ). (b) Para cada um dos valores de N em (a) determine a express˜ao da aplica¸c˜ao PN : R^3 −→ R^3 que a cada (x, y, z) ∈ R^3 associa a proje¸c˜ao de (x, y, z) sobre o plano perpendicular a N. (c) Para cada um dos valores de N em (a) verifique que PN ´e uma transforma¸c˜ao linear e determine a sua matriz.

  2. Neste exerc´ıcio estudaremos a rota¸c˜ao Rθ,x : R^3 −→ R^3 de um ˆangulo θ em torno do eixo dos xx e sua rela¸c˜ao com as proje¸c˜oes do exerc´ıcio 8). Para isso, tome A = e 1 , e 2 , e 3 , a 1 , a 2 do exerc´ıcio 8) (a) (a) Determine as coordenadas de cada um dos Rθ,x(A). (b) Determine o cosseno do ˆangulo ϕ entre cada um dos A e Rθ,x(A). (c) Determine as coordenadas da proje¸c˜ao PN de Rθ,x(A) sobre o plano perpendicular a N = (1, 0 , 0). (d) Determine o cosseno do ˆangulo ψ entre cada um dos PN (A) e PN (Rθ,x(A)).

  3. Neste exerc´ıcio estudaremos a rota¸c˜ao Rπ/ 6 ,v : R^3 −→ R^3 de um ˆangulo θ = π/6 em torno da reta de diretor v = (− 1 , 1 , 0). (a) Verifique que [e 3 = (0, 0 , 1), w = (1, 1 , 0)] ´e uma base para o plano que cont´em a origem e ´e perpendic- ular a v = (− 1 , 1 , 0). (b) Para a rota¸c˜ao Rπ/ 4 ,z : R^3 −→ R^3 de um ˆangulo ϕ = π/4 em torno do eixo dos zz calcule ˜v = Rπ/ 4 ,z (v), ˜e = Rπ/ 4 ,z (e 3 ) e ˜w = Rπ/ 4 ,z (w). (c) Calcule ˆv = Rπ/ 6 ,x(˜v), ˆe = Rπ/ 6 ,x(˜e) e ˆw = Rπ/ 6 ,x( ˜w).

(d) Calcule o cosseno dos ˆangulos entre v e R−π/ 4 ,z (ˆv), entre e 3 e R−π/ 4 ,z (ˆe) e entre w e R−π/ 4 ,z ( ˆw). (e) Determine a matriz da rota¸c˜ao Rπ/ 6 ,v.

  1. Quais das seguintes matrizes representam transforma¸c˜oes lineares que s˜ao isometrias de R^2 ou de R^3?

(a)

; (b)

; (c)

(d)

; (e)

√^2 /^2

; (f)

√^2 /^2

  1. Verifique se o subconjunto ordenado β = [v 1 , v 2 ] ´e uma base de R^2 e, caso seja, encontre as coordenadas do vetor u na base β. (a) v 1 = (1, 1), v 2 = (0, 1), u = (1, 0) (b) v 1 = (1, 1), v 2 = (− 2 , −2), u = (1, 0) (c) v 1 = (1, −1), v 2 = (1, 1), u = (2, 1) (d) v 1 = (2, 1), v 2 = (− 1 , −0), u = (1, 1) (e) v 1 = (3, 1), v 2 = (1, 1 /3), u = (1, 2)
  1. Sugest˜oes e respostas
  1. det(Aθ) = −1, (Aθ)^2 = I, (Aθ)−^1 = Aθ, quando refletimos duas vezes, voltamos ao mesmo lugar.
  2. Se D ∈ R^3 for a proje¸c˜ao de A sobre N , dada por D = cN com c = (A · N )/(N · N ), ent˜ao B = (A − D) ∈ p porque (A − D) ⊥ N e (A − B) = D = cN ⊥ p. Por exemplo, para N = (1, 1 , 1) a

matriz de PN ´e

  1. S˜ao isometrias (a), (c), (d) e (e). Para (a) e (c) verifique que s˜ao reflex˜oes, para (b) verifique diretamente, por exemplo, que ||T (1, 0)|| 6 = ||(1, 0)|| onde T ´e o operador linear representado pela matriz, ou use o exerc´ıcio 19). Para (d), (e) e (f) verifique diretamente se ||T (x, y, z)|| = ||(x, y, z)|| onde T ´e o operador linear representado pela matriz. A matriz de (d) represnta a rota¸c˜ao de π 6 + π 2 em torno da reta t(1, 1 , 1). Como se pode verificar isto?

  2. N˜ao s˜ao bases (b) e (e). Para as outras al´ıneas, se voce calculou [u]β = (x 1 , x 2 ), verifique se sua resposta est´a certa calculando x 1 v 1 + x 2 v 2 o que deve dar u.

  3. e 14) Se voce calculou [u]β = (x 1 , x 2 , x 3 ), verifique se sua resposta est´a certa calculando x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 o que deve dar u.

  4. N˜ao s˜ao bases (b) e (d).

  5. Para A =

a b c d

, calcule A·AT^ = I para obter as mesma condi¸c˜oes sobre a, b, c, d que garantem que

||A · X||^2 = ||X||^2 para X = (x, y)T^. Estas condi¸c˜oes foram usadas para provar que uma isometria do plano ´e sempre uma rota¸c˜ao ou uma reflex˜ao.