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FORÇA E MOVIMENTO: DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL EM MOVIMENTO NUM PLANO cão na DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS MATERIAIS E atra MECÂNICA DOS FLUIDOS E E FÍSICA 12*4H0 «de-:) Um problema fundamental, epormilharesdeanos completamente obscurecido pelas suas próprias complicações, é o do movimento. Todos os movimentos obras gde pa que sulea as águas, tirA Evolução da Fica de Albert Linsteir ei ET Leopold Enfetd -— Amalisado já o movimento rectilimeo, aomiforme e remiforimennemêe curdo, er msoeinrerndo circular rornyfiarme ale aemoçe prorêdc cale munberal, Erermors aham en massa estue- ale ame cats da portátil material que se move ea plamo com mrociimennto crriado. Qumnho mos sistemas de particulas murderiars, veremos que mo é mecessrio conhecer q eneoineabo cit canta mim os partículas e que podemos descrever o imeoimento no sis- dera como genre Bug À seueio, e e carracderizaramas co ameçroemoemndo ode rubaçiãos, Trens estabelecer outra importante dez de conservação: a Lei dir Consernação do Momento Avrgular, Ao movimento dos fluidos serão aplicndas leis do Mesinicr já combeçidos e deduzidas uuêries forums desses leis. O esti co nrovimento vi ser, portanto, aesermmolmido nuca perspectima de compliant crescente DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL EM MOVIMENTO NUM PLANO Para começas, iremos redelinir, com base em conhecimentos matemá- tiens mais avançados, as grandizas que servem para descrever o movimento. São elas a posição, a velocidade « a aceleração, designadas por grandezas ci- nemáficas (da grego linea, que siguílica movimento). POSIÇÃO, VELOCIDADE, ACELERAÇÃO Quando uma partícula material se encontra em movimento em rela- cão a um referencial previamente esculhido, a sua posição em cada instante é dada pelas suas coordenadas cartesianas X, y é x nesse sistema (ver Fisica, 11º ano, pág. 13). Mas a posição pode também ser definida por um vector com emigem na origem desse referencial e extremidade na particula material múvel. Esse vector chama-se vector posição, 1. Seja então Puma parficula material em muvimento em relação à um selerencial cartesiano rectangular URIA (fig, 21). Estando É em movimento, q seu vector pusiçõo +, com or- gem em O e extremidade em E variará em norma e direcção. Logo, 7 é uma função do tempo, o que se exprime simbolicamente pela equação 7 = T (lj. O vecior posição F tem, nos eixos coordenados, componentes axiais 1, Re fe que também se destgmam por projecções subre os vinis coordenados. Cha Ep; phyãseneleyuedu/ ps eh it edu /reseserch een E UMA PARTÍCULA MATERIAL EM MOVIMENTO HUM PLANO Consideremos então as situações da fig. 1.1: — em (5, a trajectória é rectilinea, tendo-se Feito coincidir o eixo OM com essa trajectória; — em 06, a trajectória é uma curva plana, tendo-se deito coincidir o plano XOY com o plano onde P se meme; — em (E), a trajectória é uma curva no espaço a três dimensões. Sendo, em 8), r=0 et-femb is d, as expressões de 7, em função das suas componentes axiais, são respectivamente: O F=A E r=A+5 EfaanÃto Sejam E 6, & é, us vectores unibirios Ou versimes dos eixos OX, ON e OZ, isto é, vectores de norma igual à unidade, com à direcção eu sentido destes eins. Como as coordenadas da particula P são x,y e 2,as componentes axiaissávigualsa n=1"&e Wo6 e G=5 é - Voltando aos exemplos dados (fig. 11), podemos escrever às expressões do vector posição tm junção das coordenadas cartesianas de P: Ora Df-rã+yã As imordenadas cartesanas de uma partícula P identificam-se, por- fanio, com as medidas algébricas das componentes do vector posição f. Dado que Fé uma função do tempo, também as medidas algébricas das suas com- pomentes oserãor x = 208). 4 = (8) e 2 = 2 (1) Estas equações designam-se por equações paramélricas do movimento: A 12 — r=a(i Es René Descartes, filizots é motemútico fromcês | FS dE e v=vit (1586 1648]. Em 1637 pinos quatra pps) E Ly=yt “a at recados: Disrursa o dlétado, “Ópiico, Maragrolagio e Geontetris. Mesto “úlfimo, estabelecem 05 fundamentos “Para determinar = equação cartesiana da Leajectória em função das En Esto ad nd conedenadas de P climina-se 0 parâmetro | entre as equações paramétricas. E Os relevenciais, as conedenadas «as uquações das curvas (lrajectórias) dizem-se cartesianos, em homenagem ao seu inventos, Descartes (fig. 1.2) a ls vector velocidade v é iosgente à jecério, sendo F=- &, em que ciluea a da langénte) tem o sentido positivo. tenjecório. por =), tem o sentido segutivo do a drefactóia, sendo =". Junodo > À, 7 tem o sentido poviliva da E UMA PARTÍCULA MATERIAL EM MOVIMENTO NUM PLANO As medidas algêbricas das componentes de 7º são, portanto: mero = t=t Assim se obteve uma expressão para 7 no relesencial OXVZ. Mas sen- doa velocidade tangente à lrajectória mo ponte onde a particula se excontra, podemos também exprimir 1 em função do versor da tangente à Erajechúria nesse peméo. Arbitrando um sentido positivo para a trajectória, e definindo um vector unitário 2, com esse sentido, teremos T=7"k em que 7 é a velocidade escalar Se a partícula se mover no sentido arbitrado como positivo, =. € 7 tem o sentido de é, Sep <0) então T tem sentido contrárioa E, (fig. 1.5). Jáxvimos (Física, TI“ ano, página 34) que, se a velocidade de uma par- Hicula variar em múdulo é em direcção, define-se aceleração 7 num determi- nado instante pela expressão (Rg. 1.6): Ei "aro At Dado que este Emite é a derivada de ? em ordem ao tempo, a acele- ração indica à laxa de variação temporal da velocidade: = Para determinar a expressão died, a partir du conhecimento de 7, pro- cedemos como anterioemente. Sendo drum e aplicando as regras de derivação, ubtêm-se: T=n Ato tea As medidas algêbricas das componentes de 5 são, portanto: Mo M= MU FORÇA E MOVIME 1. 4 posições de uma partícula moterial P gue se move no plano OXY são definidos pelo vector posição: Fera adte Is TI Pora o instante t = 25: 1.1.1 Escrevo 0 expressão cortesiona do vecior posição. 1.1.2 Coleule a normo do vector posição. 1.1.3 Indique os coordenodas de P no referencial OXY, 1.7 Escrevo 05 equações paramétricos do movimento. 1.3 Determine 0 equoção cortesiano do irojectório, represente-o groficomente no intervolo de tempo [05,45] e indique, sobre o figura oblida, o vector posição r no instante 1=2 5. 2. Considere o movimento referido anteriormente definido pelo vector posição: = g+3-8 UM 2.1 Poro o instante genérico 4, indique: 7.1.1 A expressão cortesiana do vector velocidade v. 2.1.2 A norma do vacior velocidade. 2.1.3 A equação dos velocidades y = w [1], sobendo que o ponto se move no sentido arbitrado como positivo para a trojectário. 2.1.4 expressão coclestona do vector oceleraçõe a. 2.2 Para o instante 1= 25, indique: 2.2.1 A expressão cortesina da vector velocidade. 2.2.2 A normo do vector velocidade. 2.2.3 A velocidade estolor. 7.2.4 A expressão coriesiano do veclor vccleração 0. 2.3 Represente, sobre n trajectória, os vectores Ve & paro t= 25. RESOLUÇÃO VIA Poot=25, =P +3x2e, ousejof=48,+6 é, [m) iZFf=VE+6 =72m=7m 11.3x=4mey=bm io E PES FORCA E MOVIMENTO MOVIMENTO CURVILÍNEO DE UMA PARTÍCULA MATERIAL ÁCTUADA POR UMA FORÇA CONSTANTE Se, antes de lhe serem aplicadas forças, uma particula material liver uma velocidade inicial 7, ela seguirá com movimento rectilinco e umfirme com virtude da inércia. Começando a aciuar uma força constante, ou forças de resultante constante, representada por ! É, com dirceção diferente da de 1, a trajectória da partícula, a partir desse instante, passa a ser curvilinea. Porquê? Arelação É m=d mostra que ed Lém a mesma direcção e o mesmo sent- do. Sabemos também que as variações de velocidade Ai têm a mesma adirce- ção e o mesmo sentido que É Mas A7= v>7,, uu seja, 7 Ze É têm dire voues diferentes, o mesmo acontece com é, é 4d. À soma destas duas, que é a velocidade 7, vai ter direvção diferente da de 2, Logo, a trajectória É uma curva plana. Este movimento curvilinco pude considerar-se come sendo a sobrepos- «ão de denis movimentos simultâneos e independentes num plano: um mei mento rectilineu e umifirme com velocidade tj; um movimento com a direcção de É de aceleração constante d, sectilinco e uniformemente variado. Vercmus à seguir que 0 movimento compesto É variado mas não uniformemente. Tara concretizar esta siluação, estudaremos o movimento dos projécicis. Movimento de um Projéctil O termo «projéctl» aplica-se tanto a uma bala como a qualquer outro objecto que seja lançado ao ar (uma bola, uma pedra, etc). Se um projéciil for lançado ao ar cum uma velocidade imicial 7%, horizontal cu obliqua, passa a ser acluado por uma força vertical, o peso [e vai descrever wma trajectória curva mam plano vertical. Consideraremos desprezáveis: —am eia der ar; —a variação da intensidade do peso, pelo que apenas estudaremos lançamentos próximos da superfície da Terra; — a variação da direcção do peso, o que só acontece para lançamen- tos de curto alcance. A fotografia estroboscópica do movimento de duas bolas (fig. que parte, em queda livre, do repouso e outra que é projectada simultanea- mente segundo a horizontal, mestra que us duas bolas: chegam 0 mesmo Lempo ao plano horizontal é — encontram-se, ne mesmo instante, à mesma altura, embora a dis- tância entre elas vá aumentando. 4 A hoo que cmi emo quesdo Hivre dem menimento uniformemente acelerado. À bolo gue, simuboneomense, é loncodo no horizontol, Jem, drguad e movimento uniformemente acelarndo e, segundo a horizontal, monimento uniforme. CA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL EM MOVIMENTO NUM PLANO Portanto, para a bula lançada horizontalmente, a componente vertical do movimentn [de aceleração constante 4) nai é afectada pelo movimento horizon- tal (de velocidade constante). Os dois movimentos são, pais, independentes um do outro. Com base neste facto, iremos deduzir às expressões dos veciures posi- cão, vulocidade e aceleração em função do tempo, para e lançamento obliquo de projéciis, particularizando em seguida para o lançamento horizontal, Lançamento obliquo Na Tançamento obliqua, se representarmos por 47; q deslocamento que o projéctil teria ma direcção e sentido de 7, emvirtude da inércia, teremem: An=T4l Representando por 4 é; u deslocamento que o projóchil teria, segu nen 4 1.8 a direcção e o sentido de 2, devido à gravidade, Beremos: Dedeslocamento 4 r de ums projécil é igual à ima AP =AR HA O deslocamento total A F deverá ser AF = AR + AR dfig 1.8) ou seja: Ls AF= Air qa Sejam AF= = 7, é 4l= 1-4, Considerando, = d e &, = [Listoé, que o projétil se encontra na origem dos eixos no instante zero, ubtém-se o vector posição: E Er F=Tat+ FE pe ds No referencial escolhido (fig, 1,9), 3%, tem componentes segundo OX e Nou seja, To = Tas ! Boy log, À, = Cage E Ty &- Como É tem sentido contrário ode Ot = [7] -E,. Então: E Fuel Gen IRS, = e Eis 41 uu Ez ae t+ [Bog q 18 | Ha lancamento obligoa de projértcis: Y My = ta Atendendo também a que “e = 175] -c058 e vu, que 6 é o ângulo de lançamento com a horizontal, oblêm-se: as equações paramétricas do movimentm LE Dl x=[7)-cos6:l pes is vo Tay tg Ly= |] esind-t=5 [gl -É — a equação da trajectória V=- EL =x +tan0ex 2h,[- costa Fo anima DE UMA PARTÍCULA MATERIAL EM MOVIMENTO NUM PLANO INVESTIGAR [6] Um estudante seguro no mão um olvo À, que pode ser o tempo de umo lato (ou de um tacho). Outro estudante colo- co 0 dispositivo paro lonçar projécteis de moda q lançar ohliguamente apenas uma estero, e aponto-o no direcção do olvo 4. A um sinol feito por um terceiro estudante, o primeiro Jonço o projécsil e o segundo deixo cair o alvo. Que se observa? em Que se conclui da experiência? Repito o experiência paro outros ângulos de lançamento, incluindo 0º, colocando A no direcção de velocidade inicial do projéciil. LANCAMENTO HORIZONTAL DE PROJÉCTEIS Objectivo Verificar q independência dos movimentos, segundo o horizontol e a vertical, no caso do movimento de um projécil lonçado horizontalmente. Fundamento do Método Por meio de um dispositivo odequada, são loncados duas esferas, umo verticalmente poro baixo e ouira horizontol- mente. Com umo câmera da video, foz-se um filme que depois se possa num televisor. A função «STILLa do teleco- mondo permite observar os posições das esteros on fim de intervolos de tempo iguais. Essas posições podam ser registadas num acetato eslocndo sobre o olvo do televisor. Material “Modo de Proceder 1, Instale o dispositivo para loncar profécois o cerca de Tm do chão. Com o manipulo M, fixe a molo existente no interior do tubo hosizontabgor forma o que, to loda es- querdo, saiu uma porçõo do hoste com cerca de | cm. Colo- que os esferas À e B nos extremidades do hoste. 2. Rode o manipula M. A molo empurra o haste para o direita. À esfera A coi no vertical a o esfera B é lan- toda horizontalmente. 3. Foço um filme de video, com boas condições de iluminação. Posse o gravação num televisor. 8. Usando a função «STILL do telecomando, vô observando os posições dos duas esferas oo fim de intervo- Jos de tempo iguais, duronte o mavimento. Registos 1. Corstruo os gráficos x =x (1) é p=ylire ferentes no movimento de codo umo des esferas, Pode efec- tuor os medições sobre 0 acetato com uma régua, mas também pode converter estos nos distôncios verdadeiros. Forca E MOVIM |= o 5. Coloque, sobre o alvo do televisor, um acetato. Registe, sobra este, posições das duos esferos oo fim de in- tervalos de tempo iguois. e Cálculos 2. Escrevo 05 equações paramétricos do movimento de cado umo ds esferas. Conclusões Tire conclusões dos resultados abtidos. trajectório do pedro será uma linha mais comprido que u primeiro, que medio simplesmente o comprimento do mastro, é foi percorrida ma mesmo lempa. Fazendo andar o barco ainda mois depresso, q pedro no coir deverá se- guir emo hinha mois comprido que a onterior, finalmente, a velocidade do barco pode ser aumentado paro qualquer | valor, enquanto o pedro, na queda, descreveri linhas cada vêz mais compridas, mas sempre nos mesmas duos pulso- cões. Anologomente, se de uma tocre dispárarmos um ca- nbão nivelado porolelomente ao horizante, não importo se q cargo for pequena ou grande, de mado que a bolo caio q um, ou quatro, ou seis au dez ou mais milhoes de jaréns, iodos estes disparos exigiria tempos iguois é coda tempo deveró sar igual ao que levaria bola o ir do boco da conhião nó solo sa Fosse deixodo coir verticalmente sem + nenhum outro impulso.» | Com háse nestas considerações, Gnfileu deduziu a forma parabólico du trojectório de um projétil e, o portir das propriedades geométricos dos parábolos, demonstrou que, pora uma determinado velocidode inicial, 0 olcance aminximo se obtinha poro um ângulo de lançumento de 45º com a horizontal (focto já conhecido dos artilheiros], € que o oltance era 0 mesmo para dingulos de lançamento complementares. && trobnlhos de Galileu sobre projécieis levaram-no à importontes conclusões. Assim, d experiência da figura 1.13 mestra que q trajectória depende do referencial. Qu- tro aspecto do mesma experiência É que, para à abservo- dor que vai no barco, ela desosre dn mesma maneira quer 6 barco esteja parado quer tenha movimento recilineo € uniforme, ou sejo, 0 pedro coi sempre no hose do mastro. Foi n portir destos considerações que Galileu chegou vo conceito de referenciol de inérdio & aum princípio à que, | mais tarde, Einstein chomou Principio do Relntividude de | Galileu (ver Fisica, 11º ano, página je | FORCA E MOVIMENTO A 1.13 Uia pe, iza cor do topo da mastro de um barco, demora = mesmo lernpo o atingir o cenvês, quer o barco astejo parnda, quar lenha mevimanto vectilineo e unifarima. MA PARTÍCULA MATERIAL EM MOVIMENTO NUM PLANO 1, Considere o lancamento obliguo para cimo de um projéctil, com uma velocidade %, que faz um ângulo de lonçomento & com o horizontol, num local onde 0 oceleração da gravidade é q. Determine: 2.1 O tempo de subido. 1.2 Aalivro máxima. 1,3 O oltance horizontal X. Analise o expressão obtido. 2. De ume altura de 15 m lanço-se horizontalmente ume hole com a velocidade de 20 m/s, Considere gl =10m/sº e despreze o resistência do or. 2.1 Escreva 05 equações poromélricas do movimento. 2.2 Quanto fempo demora o quedo? À gue distôncioa da verticol que posso pelo ponto de lancamento ci a bola? 2,3 Quol o módulo da velocidade da bola imediniomente ontes de atingir o solo? 3. Uma bolo de futebol é rematada com umo velocidade de 20 m,/5 segundo um ângulo de 30º com à hori- zontol. Considere [5] = 10m/5º e despreze o resistência do ar. 3.1 Escrevo 05 equações poroméiricos do movimento de bolo. 3,2 Coleule q altura máxima atingido. 3.3 Quel o oltanee horizontal do bolo? RESOLUÇÃO 1.1 Pora colculor a tempo de subida, considera-se «, = 0, donde O = [5 -sin 6 [g]] t Portanto: f- 1á] sino —-M Es 1.2 A altura máximo é o ordenado que corresponde q este instante. Laga: saco hf-sn0 1 vi -sntg =y)sina- ep Dom RE UE tha E fis [ll nte 2 1.30 alcance horizontol do projéctil, X, corresponde à obeissa no instonte 21 dl E que Êo tempo de subido mais o tempo de descida, Logo: El a 2] sind X= [5] -tms6- E DE UMA PARTÍCULA MATERIAL EM MOVIMENTO HUM PLAMO Então: 4 m (Om -sP e mllOm-s PUSm)= em! h v=2m-s] 3.7 0 cóltulo dos medidos olgébricas dos componentes de 1, conduz a: fa = [20 695 30%] mes > ma = (MD VT/M mos] Voy = [20 x sin 30 ms! + ta = (20x Jus! »t As equoções poramétricos da movimento são: o 4=H-! e qui x=133r I E I (su Tg Ft to a Dol Lp-mxdi-s0n y=101-508 22 4=03 | [stj w=10-10+ Ho ponto de altura máxima, v, = 0. Substituindo, vem: 0=10m-s!-(WOm-ste t=10s5 Meste insiênie, o ordenada y é iguol à olturo mústimo: p= 00m 105) = (50m-s JULOs) es y=50m Atendendo e que o sistema bolo + Terri é conservativo, e à que na olturo múxima q velocidade da bolo é minima e igual à sua componente horizontal, teremos: me [20 xe 005 30º m sp 1 It E= 7 m-(20m-s-!) 1 Altura máxima 2 m Ponta de lancamento : =m(1m-s2) hoj E E=0 E Então; om tbm-sif- a milhas 30 msi eme (1Dm-s3) ha Doris =5,0m 3.3 0 alcance horizontal é q obcisso x que corresponde o = 2,05 [tempo de subido mais tempo de descida), logo: x=[17,3m-s!205) > x = 35m FORCA E MOVIM Componentes Tangencial e Normal do Vector Aceleração Conforme já se sabe do ano anterior: = ne mevimento rectilinco variado, a força É que aclua muma parth- cula c a aceleração É que «la adquire têm a direcção da velocidade à sendo portanto a aceleração langente à Lrajechúria, Ou seja, E. Curmo neste caso à força fez variar a velocidade escalar v, podemas escreverd, = 18; — no movimento ciscular uniforme, É ed têm direcção pespendicu- far à de 7, sendo portanto a aceleração perpendicular à frajectória. A aceleração é radial e centrípeta (ou normal), x seja, T = 5 tou d= he tem módulo v?r. : Nausto caso, à força fez variar a direcção da velocidade. Designando por é, (ou 6) O vector unitário némenal à trajectória no ponto onde a partícula se encontra, e cunteipeto, poresnos escrever Nó caso geral de um movimento curvilingo e variado, à força fea aceleração 7 não têm a dicecção da tangente nem a diseoção da cormal à tro- jectória A força É deverá ser, portanto, igual à soma de duas componentes (fig, 1.14 — componente langencial B=md ou meo pela variação do vector velocilade em múdulo; — uumponente centripeta (ou normal) É = 8-4, ou E=m responsável pela variação do vector velocidade em direcção. Que significa 1 se a trajectória não fue circular? Num intervalo de tempo muito pequeno, a pequena parte da curva descrita por uma paricula em movimento coincide com um pequeno are de cit- cunferência (Ag, 115). É o raiu desta cincunterência que se tuma para saio de curvatura r da trajectória no pomtu médio dp referido arco. O centro da mesma circunferência é o centro de curvalura. Sendo =D 1 E também = d+ 7. Logo: responsável Obtiveros o vector aceleração é, não em função de & em função de é e 0 que no estudo do menvimênto é mit u E, as útil, porque: — determinando à compenente &,, ficamos a saber se o movimento é uniforme ou variado; — determinando a componente à, , ficunos a saber se a trajectória é rectilinea ou curvilinea. 4 1.14 Mnvistento curvilines e voriado: F=R+F d= + ! à A 1.15 Raio de curveturo q contro da curvatura em des instantes. 
