Lista de Exercícios 6
Funções
UFMG/ICEx/DCC DCC111 – Matemática Discreta
Ciências Exatas & Engenharias 1oSemestre de 2012
Conceitos
1. Determine e justifique se a seguinte afirmação é verdadeira ou não para todas as funções fde um conjunto
Xpara um conjunto Y: para todos sub-conjuntos AeBde X, se A⊆B, então f(A)⊆f(B).
2. Determine e justifique se a seguinte afirmação é verdadeira ou não, para todas as funções fde um conjunto
Xpara um conjunto Y: para todos sub-conjuntos AeBde X,f(A∩B) = f(A)∩f(B).
3. A definição de função injetiva ou um-para-um pode ser dada de duas formas:
∀x1, x2∈X, se f(x1) = f(x2)então x1=x2
e
∀x1, x2∈X, se x16=x2então f(x1)6=f(x2)
Porque estas duas definições são logicamente equivalentes?
Sequência como função
4. Apresente uma função definida no conjunto dos inteiros não negativos que construa a seqüência abaixo:
1,−1
3,1
5,−1
7,1
9,−1
11, . . .
Autômato finito
5. Determine qual é a linguagem aceita pelo autômato A1= (I , S, s0, F, N), onde
I={0,1}.
S={s0, s1, s2}.
F={s2}.
N={(s0,0, s1),(s0,1, s0),(s1,0, s2),(s1,1, s0),(s2,0, s2),(s2,1, s0)}.
6. Projete um autômato finito com alfabeto de entrada {0,1}que aceita o conjunto de todos strings que
terminam com três 1’s.
7. Um string de 0’s e 1’s é dito ter paridade par se contém uma quantidade par de 1’s e é dito ter paridade
ímpar se contém uma quantidade ímpar de 1’s. Projete um autômato finito com alfabeto de entrada {0,1}
que aceita o conjunto de todos strings que têm paridade par.
8. Seja o autômato AParidadePar = (I, S, s0, Q, N )da questão anterior (exercício 7). É possível achar um string
wque quando aplicado à função de estado final N∗(s, w)temos que ∀s∈S. se N∗(si, w) = N∗(sj, w)então
i=j, onde si∈Sesj∈S.
9. Projete um autômato finito com alfabeto de entrada {0,1}que aceita o conjunto de todos strings que
começam com o prefixo 01.
Princípio da casa de pombo
10. Seja S={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Suponha que seis inteiros sejam escolhidos de S. Existem dois inteiros
cuja soma é 15? Justifique sua resposta.
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