Lista de Exercícios 4
Sequências e Indução Matemática
UFMG/ICEx/DCC DCC111 – Matemática Discreta
Ciências Exatas & Engenharias 1oSemestre de 2012
1. O conjunto dos números racionais Qé enumerável, ou seja, é possível atribuir (associar) a cada número
racional um número natural. Abaixo, os números racionais positivos estão representados na forma de um
par ordenado onde o primeiro número representa o numerador e o segundo o denominador. Começando do
número racional 1— par ordenado (1,1) — é possível associar o número natural 1e, seguindo o sentido das
setas, atribuir o próximo número natural definindo assim uma sequência de enumeração. Dado o número
racional positivo p
q, qual é o número natural correspondente?
↑.
.
..
.
..
.
..
.
..
.
.. . .
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6). . .
-
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5). . .
↑ & -
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4). . .
-&-
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3). . .
↑ & - & -
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2). . .
-&-&-
(1,1)→(2,1) (3,1)→(4,1) (5,1)→(6,1). . .
2. Prove por indução matemática que
12+ 22+. . . +n2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6, n ≥1.
3. Prove por indução matemática que
1+3+5+. . . + (2n−1) = n2, n ≥1.
4. Prove por indução matemática que
13+ 23+. . . +n3= (1 + 2 + . . . +n)2, n ≥1.
5. Prove por indução matemática que
2·1+2·2+2·3 + . . . + 2n=n2+n, n ≥1.
6. Prove por indução matemática que
n−1
X
i=1
i(i+ 1) = n(n−1)(n+ 1)
3,∀inteiros n≥2.
7. Ache a fórmula fechada para o produto
1−1
21−1
31−1
4. . . 1−1
n
∀inteiros n≥2e prove o seu resultado por indução matemática.
1
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