Lista de Exercícios 3
Métodos de Prova
UFMG/ICEx/DCC DCC111 – Matemática Discreta
Ciências Exatas & Engenharias 1oSemestre de 2012
1. Identifique o erro na prova do teorema abaixo.
Teorema: Para todos inteiros k, se k > 0então k2+ 2k+ 1 é um número composto.
Prova: Suponha que ké um número inteiro tal que k > 0. Se k2+2k+1 é composto, então k2+2k+ 1 = r·s,
para inteiros restal que 1< r < (k2+ 2k+ 1) e1< s < (k2+ 2k+ 1). Já que k2+ 2k+ 1 = r·se
ambos resestão necessariamente entre 1 e k2+ 2k+ 1, então k2+ 2k+ 1 não é primo. Assim, k2+ 2k+ 1
é composto, o que devia ser mostrado.
2. Identifique o erro na prova do teorema abaixo.
Teorema: A soma de quaisquer dois inteiros pares é igual a 4kpara algum inteiro k.
Prova: Suponha que mensão dois inteiros pares quaisquer. Pela definição de par m= 2kpara algum
inteiro ken= 2kpara algum inteiro k. Por substituição, m+n= 2k+ 2k= 4k, o que devia ser provado.
3. Identifique o erro na prova do teorema abaixo.
Teorema: Seja num número inteiro ímpar. Sabe-se que bn/2c= (n−1)/2.
Prova: Suponha que né um número inteiro ímpar. Sabe-se que n= 2k+ 1 para algum inteiro k. Conse-
quentemente,
2k+ 1
2=(2k+ 1) −1
2=2k
2=k.
Como n= 2k+ 1, temos que k= (n−1)/2. Assim, por substituição temos que bn/2c= (n−1)/2.
Esta prova incorreta usa a questão a ser provada. A igualdade bn
2cé o que deve ser provado. Ao substituir
2k+1 por nnos dois lados da igualdade e assumindo que o resultado é verdadeiro, a prova assume a verdade
da conclusão a ser provada.
4. Prove se a seguinte afirmação é verdadeira ou não. Para todos inteiros n,4(n2+n+ 1) −3n2é um quadrado
perfeito.
5. Prove se a seguinte afirmação é verdadeira ou não. Existe um inteiro ktal que k≥4e2k2−5k+ 2 é primo.
6. Prove se a seguinte afirmação é verdadeira ou não. Para todos inteiros nem, se n−mé par então n3−m3
é par.
7. Prove se a seguinte afirmação é verdadeira ou não. O quociente de dois números racionais é um número
racional.
8. Prove se a seguinte afirmação é verdadeira ou não sem usar manipulação algébrica, ou seja, sem “resolver”
a equação. Suponha que mseja um número inteiro. Prove se 17|mna equação:
8·7·6·5·4·3·2·m?
= 17 ·16 ·15 ·14 ·13 ·12 ·11 ·10
9. Prove se a seguinte afirmação é verdadeira ou não:
∀inteiros a, b ec, se a|bea|centão a|(b+c)
10. Suponha que você está participando de uma promoção de uma loja que dá um cartão com números quando
um cliente faz uma compra. Se existem números nesse cartão que somam 100, então o cliente ganha um
prêmio de R$100,00. Um cliente recebe um cartão com os números
1
docsity.com
