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As derivadas de funções exponenciais e logarítmicas, incluindo exemplos de cálculo e tabela de derivadas. Aprenda a calcular a derivada de funções como 2x^2 + 3x – 1, e^(2x), ln(x), entre outras.
Tipologia: Notas de estudo
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Exponencial.
Além disso, se u for uma função diferenciável de x , então tem-se a partir
de a a dx
d a x
x
ln
e
x
x
e dx
d e
que
dx
du a a dx
d a u
u
.ln.
ou y ' a .ln a. u '
u e. '
e u dx
d e u
u
ou y ' e. u '
u
Exemplo:
Resolução:
a) f(x) = 2
x+
y = 2
u y ' a .ln a. u '
u ' 2 .ln 2. 1
1
x y ' 2 .ln 2
1
x y
u = x + 1
b) f(x) = e
2x
y = e
u
y ' e. u '
u '. 2
2 x y e
x y e
2 ' 2
1. Derivada da função logarítmica
Se y = logax (a>0, e a ≠ 1), então:
e x
y log a
' (a>0, a ≠ 1).
Exemplos:
a)
2 23 1 3
x x y
Fazendo u = 2x
2
u
y ' a .ln a. u '
u
y ' 3 .ln 3. u '
u
' 3 .ln 3 .( 4 3 )
2 23 1
y x
x x
b)
x
y (^)
Temos
u
y (^)
, onde u = x. Assim,
y ' a .ln a. u '
u
.ln 2
y ' u
u
x
y
x
.ln 2
c)
1
1
x
x
y e
Fazendo y = e
u com u = 1
x
x , temos:
y ' e. u '
u
2
1
1
x
x x y e
x
x
2
1
1
x
y e
x
x
d)
x x y e
.ln
Neste caso fazemos y = e
u , onde u = x.lnx.
Então,
y ' e. u '
u
ln. 1
.ln x x
y e x
x x
' ( 1 ln )
.ln y e x
x x
e) log ( 3 7 1 )
2 y 2 x x
Temos y = log 2 u, onde u = 3x
2
e u
u y log 2
e x x
x y (^) 2 2
log 3 7 1
f)
ln x
e y
x
Temos y = lnu, onde u = x 1
e
x
. Logo,
u
u y
2
x
e
x
x e e
y x
x x
x
x y
Exercícios:
a) f(x) =
3 26 7 2
x x e b)
x f x e
3
( ) c)
x f x
ln 2 ) 2
d) f ( x ) e x e)
t
e f t
t 1 ()
2
f) f ( x ) log 2 ( 2 x 4 )
