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FUNÇÕES
Função é uma relação. Se tivermos dois conjuntos, a relação entre eles será uma função se todo elemento do primeiro conjunto estiver relacionado (ligado) apenas com um elemento do segundo conjunto.
Com essa definição podemos dizer que função é um tipo de dependência, um valor depende do outro, matematicamente podemos dizer que função é uma relação de dois valores, por exemplo: f(x) = y, sendo que x e y são valores, onde x é o domínio da função (a função está dependendo dele) e y é um valor que depende do valor de x sendo a imagem da função.
Um exemplo prático de função é: o valor que iremos pagar no final do mês na conta de água e energia de nossas casas está em função (está dependendo) de quanto iremos gastar de m3 de água e quantos KW de energia foram consumidos durante o mês. Essa relação é uma função.
Exemplo 1
F(X)= 12x
F(2)=12. 2
F(2)= 24
Exemplo 2
F(X)= 4 x
F(4)=4.
F(4)= 16
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.
Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe:
Função crescente Função decrescente
Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.
Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.
Exemplos de funções do 1º grau
y = 4x + 2, a = 4 e b = 2
y = 5x – 9, a = 5 e b = –
FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.
Exemplo 2
O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a:
primeiro devemos fazer o esboço do gráfico. Veja como é:
- sabendo que o eixo X representa o tempo e o eixo Y representa a altura, então calculando o Yv teremos a altura máxima atingida, e a outra raiz será o tempo que o projétil permanece no ar.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função exponencial natural é a função exp:R R+, definida como a inversa da função logarítmo natural, isto é:
Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x
O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x.
Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.
A Constante e de Euler
Existe uma importantíssima constante matemática definida por
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:
Ln(e)=
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707- 1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:
e=2,
Conexão entre o número e e a função exponencial
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:
ex = exp(x)
Significado geométrico de e
Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.
Propriedades básicas da função exponencial
Se x e y são números reais e k é um número racional, então:
- y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).
- exp[Ln(y)]=y para todo y>0.
- Ln[exp(x)]=x para todo x real.
- exp(x+y)=exp(x) exp(y)
- exp(x-y)=exp(x)/exp(y)
- exp(x.k)=[exp(x)]k
Exemplo 1
Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:
N(t)=No ert
Então, após 36 horas da última contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.
Exemplo 2
LOGARITMOS
O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.
A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usaremos a definição:
Ln(u)=área(1,u)
Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1). Assim:
Ln(1)=
Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0.
O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.
Propriedades gerais dos logaritmos
Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas:
Propriedades básicas dos logaritmos naturais
Ln(1)=
Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)
Ln(xk)=k.Ln(x)
Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)
Exemplo 1
- Resolver a equação 3x = 7
Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:
log 3x = log 7
Pela propriedade L3:
x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,
Exemplo 2
- Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?
Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de juros compostos cuja fórmula é:
onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.
Solução:
Sejam M1 e M2 os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:
M1 = 50000(1 + 0,05)t e M2 = 45000(1 + 0,06)t
Temos que determinar o tempo para que M1 = M2. Assim:
FUNÇÃO POTENCIA
Toda função do tipo y = x n, onde "n" é um número natural, é chamada Função Potência. São exemplos de funções potências:
e assim por diante.
Exemplo 1
A equação exponencial (2x)x = 16 X 8x2.
Primeiro escrevemos toda a equação como potências de base2obtendo:
2x2 = 24 X (23)x
até chegar a
2x2 = 24+3x
ou então,
x2 = – 2
Exemplo 2
A equação exponencial 2 X 3x – 9x + 3 = 0.
Podemos escrevê-la como: 2 X 3x – (32)x + 3 = 0, ou, o que é o mesmo, como:
2 X 3x (3x)2 + 3 = 0.
Mudamos (32)x por (3x)2, pois o resultado do cálculo desta potência não varia com esta modificação.
Ordenando os termos da última expressão, obteremos:
(3x)2 – 2 X 3x – 3 = 0.
Se tratarmos esta expressão como se fosse uma equação de segundo grau, podemos considerar 3x como incógnita, 3x = y, e isolando-a, obteremos:
y2 – 2y – 3 = 0
Agora comprovamos se alguma das soluções é válida:
Para y = 3, teremos 3x = 3
onde deduzimos que: x = 1.
Se y = – 1, teremos 3x = – 1
o que implica que não teremos solução para este valor, porque as funções exponenciais são sempre positivas.
POLINOMIAL
Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:R R definida por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o termo constante.
Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.
Uma das funções polinomiais mais importantes é f:R R definida por:
f(x) = a x² + b x + c
O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros
Exemplo
O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:
p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27
FUNÇÃO RACIONAL
Toda função do tipo y = 1/x n, com x diferente de zero, é um caso particular de Função Racional. São exemplos dessas funções:
e assim por diante.
O domínio de y = 1/x n é o conjunto dos reais, menos o zero, pois 1/ 0 não está definido.
A função y = 1/x estudada no capítulo de proporcionalidade inversa também é um caso particular de Função Racional, onde "n" é um número ímpar. Vamos analizá-la:
se x = 1/2 => y = 16
se x = 2 => y = 1/
FUNÇÃO INVERSA
Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:
R-1 = { (y,x) BxA: (x,y) R }
Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por
R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}
Então:
R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}
Observação: O gráfico da relação inversa R-1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).
Exemplo
Encontre a função inversa de f(x) = x3 + 2.
Escreva y = f(x);
Y = x3 + 2
Resolva essa equação para x em termos de y (se possível);
x3 = y – 2
Para expressar f-1 como uma função de x, troque x por y. A equação resultante é y = f-1(x).
DERIVADAS
Derivada de uma função do 1.º grau
A derivada de uma função do 1.° grau é igual ao coeficiente de x.
f(x) = ax + b →f’(x) = a
Derivada da função potência
A derivada de uma função potência de x, de expoente genérico “n", é verificada pela definição de derivadas e pelo binômio de Newton.
f(x) = xn→ f’(x) = n. xn-
Derivada do produto de função por uma constante
A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.
g(x) = K. f(x) →g(x) = K. f (x)
Derivada da soma de funções
A derivada de uma soma de unções é igual à soma das derivadas dessas funções.
f(x) = u(x) + v(x)→ f(x) = u(x) + v(x)
Derivada da função potência
Importante:
Como conseqüência desta relação, obtém-se a seguinte fórmula: y = eu →y’ = eu. u’
Derivada da função logarítmica
A derivada de uma função logarítmica é dada pela fórmula:
Derivada da função seno
A derivada da função seno de um arco u, onde u é a função de x, é:
y = sen u→ y’ = u’. cos u
Derivada da função co-seno
A derivada da função co-seno de um arco u, onde u é uma função de x, é:
y = cos u→ y’ = – u’. sen u
Derivada da função tangente
A derivada da função tangente de um arco u, onde u é uma função de x, é:
y = tg u →y’ = u’. sec2 u
Importante:
y = sen x →y’ = cos x
y = cos x →y’ = – sen x
Exemplo 1
Exemplo
