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Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Matemática para Químicos II
DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
A Físico-Química se interessa bastante com o efeito na mudança de uma variável de um sistema, que apresenta outras variáveis. Cada variação de uma variável, para maior ou para menor, pode se considerar um incremento à referida grandeza. O Cálculo Diferencial é a “matemática das variações incrementais”. Ele é baseado fundamentalmente no conceito matemático conhecido como derivada. 1. PROBLEMA DA RETA TANGENTE No gráfico da função f abaixo, como se pode definir a reta tangente no ponto P(x1, f(x1))? Atribuindo-se um acréscimo ∆x para x1, obtém-se a
y
f (x 1 + ∆x )
∆y
f Q P
x
s
abscissa de
um novo
ponto Q da curva , cujas
coordenadas são (x1+ ∆x , f(x1+ ∆x )). A reta secante s que passa pelos pontos P e Q, tem declividade t
f (x 1 )
∆x
x 1 + ∆x x
ms =
∆y ∆x
. Considerando-se o acréscimo ∆x cada vez
menor ( tendendo a zero ), o ponto Q se desloca sobre a curva aproximando-se de P, e a reta secante s gira sobre o ponto fixo P,
tendendo a posição limite da reta t. Esta reta t é a tangente ao gráfico no ponto P. Portanto, podemos definir a reta tangente ao gráfico de uma função f num ponto P(x1, f(x1)) como sendo a reta, se existir, que passa por P e cuja declividade é
m t = lim
∆y ∆x
∆x →
ou lim
2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
A derivada da função f em relação a x no ponto x = x1 é o número notado por f ’(x1) e definido por:
f ′( x1 ) = lim
se esse limite existir.
f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) ∆y = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
Significado Geométrico: f ′( x1 ) representa a declividade da reta tangente a curva,
gráfico de f , no ponto P( x1 , f ( x1 )).
- DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA A derivada de uma função f é a função notada por f´e definida por:
f ′(x ) = lim
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) ou lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0 ∆x
Significado Geométrico: f ’(x) representa a declividade da curva,gráfico de f, em cada ponto. Notações:
f ’(x) , Dx f(x) ,
dy d , se y = f(x). f (x ) ou y’ , Dx y , dx dx
4. DERIVABILIDADE OU DIFERENCIABILIDADE
O processo de cálculo da derivada é chamado de derivação ou diferenciação. Uma função f é derivável ou diferenciável em x1 se f´(x1) existe. Uma função será derivável ou diferenciável em um intervalo aberto se ela for derivável em todo número no intervalo aberto.
5. TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO
Sabemos que se f é uma função onde y = f (x ) , a derivada da f é uma função definida e notada por f ′(x ) = lim existe. Já obtivemos algumas derivadas através desse limite e constatamos que esse processo é longo embora seja o mais eficiente para funções que apresentam certas dificuldades em alguns pontos. Entretanto, já tendo esse conhecimento, podemos lançar mãos de regras
∆x → 0
f ( x + ∆x ) − f ( x ) para os valores de " x" onde esse limite ∆x
- Encontre y’, sabendo que:
12x − 9
a) y = 7 – 6x
b) y = 3ex + 8ln x –
c) y =
x2 2 − 3 x+e
d) y =
x 3
ln x 2
e) y = ln 4 – 3e + 2π -
f) y =
p) y = ex lnx
2 3 − 2x
q) y =
r) y = 5x3ln x
s) y =
t) y = sen x. ln x
u) y =
tgx ex
- Seja a função definida por f(x) = 4x – x2. a) Determine para que valores de x a declividade da curva é positiva, para que valores é negativa e para que valores é nula. b) Escreva a equação da reta tangente no ponto P(1, 3). c) Esboce os gráficos de f e da reta tangente, no mesmo sistema de eixos. 3) Encontre a declividade da reta tangente ao gráfico da função dada por y = 2x + x.ln x no ponto x = 1. 3x − 1 4) Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função dada por f(x)= no 1− x ponto x = -1.
- A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO COMPOSTA: REGRA DA CADEIA TEOREMA ( Regra da Cadeia )
Se a função g for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então a função composta f o g será derivável em x, e ( f o g )´(x) = f ´(g(x)).g ´(x) Outra maneira de escrever a regra da cadeia: Se y = f(u) e u = g(x) então ( f o g )´(x) = f ´(g(x)).g ´(x) torna-se Dx [f(u)] = f ´(u). u’ ou
dy dy du =. dx du dx
d) y = h) y =
x2 + 5
3 2( x − 4 x )
2
1 ex
i) y = 3 ln x 2 m) y = e − x
2
2
j) y = ln (5x+2) n) y = ln(4-5x)
3
k) y = (x2+3x-1)2 o) y = e 2 x. ln 2 x s) y = eln 3 x 1 x x) y =
(3 x + 3 ) 3 (2 x + 5) 2
l) y = e 3 x + 2 p) y =
e3 x 1− x
q) y = x .ln x
r) y = − e v) y = 9 e 3x
x2 2
t) y = ln e5x
u) y = cos (3x2)
a) 3x4y2 – 7xy3 = 4 – 8y
- Ache uma equação da reta tangente à curva x3 + y3 = 9, no ponto (1,2).
- DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR ou DERIVADAS SUCESSIVAS
Se a função f for derivável, então f´ será chamada a derivada primeira de f. Se a derivada de f´ existir, ela será chamada de derivada segunda de f, denotada por f´´. Da mesma forma, a derivada terceira de f, é definida como a derivada de f´´, se existir. A derivada terceira de f é denotada por f´´´. A derivada n-ésima da função f, onde n é um número inteiro positivo maior do que 1, é a derivada da derivada (n -1)ésima de f. Denotamos a derivada enésima de f por f(n).
A notação de Leibniz para a derivada primeira é
dy. dx
d2y. dx 2
Para a derivada segunda de y em relação a x, a notação de Leibniz é
dny O símbolo é uma notação para a derivada enésima de y em relação a x. dx n dn Outros símbolos para a derivada enésima de f são [ f (x)] ; D xn [f(x)]. dx n
- Ache todas as derivadas da função f definida por f(x) = 8x4 + 5x3 – x2 + 7 13) Calcule
Respostas
d3 (2 sen x + 3 cos x − x 3 ) dx 3
- a) y’ = -
b) y’ = 3ex +
8 x
c) y’ =
d) y’ =
1 1 + 3 2x
1 x
x
2 3x 2
l)
3 x 2 − 3 2 3 x
m) y’= 3x2+ 4x – 1
n) y’ = 3xex(2+x)
o) y’ =
2x 2 + 2x − 4 (1 + 2 x )
p) y’=ex(
1 + ln x) x
q) y’ =
e x ( x − 1) 2x
2
r) y’= 5x2(1+3ln x)
s) y’=
4 (3 − 2 x )
t) y’=
sen x + ln x. cos x x
ul) y’=
sec 2 x − tgx ex
nula: x = 2
- positiva: {x ∈ IR / x < 2} 3) 3 4) y =
negativa : {x ∈ IR / x > 2}
x 3 − 2 2
b) y’=
