Funções, números, cálculo, Esquemas de Cálculo

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Números Reais e FunçõesNúmeros Reais e Funções

Licenciatura em Física (2020.1)

PRÉ-CÁLCULO

Prof. Abimael Lopes de Melo [email protected]

Números e funções reais

 (^) Conjunto dos Números Naturais (N)  (^) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}  (^) Conjunto dos Números Inteiros (Z)  (^) Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}  (^) Não-Negativos: Z

• = {0, 1, 2, 3, ...}  (^) Não-Positivos: Z

• = {..., -3, -2, -1, 0}  (^) Não nulos: Z* (^) = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}  (^) N  Z (N está contido em Z)  (^) Conjunto dos Números Racionais (Q)  (^) Q = {a/b | a,b  Z, b  0}  (^) Z  Q (Z está contido em Q)

Números e funções reais

bd ad bc d c b a     (^) Operações com números racionais  (^) Adição:  (^) Subtração:  (^) Multiplicação:  (^) Divisão: bd ad bc d c b a    bd ac d c b a   bc ad c d b a d c b a   

Números e funções reais

 (^) Reta Real  (^) Cada ponto de uma reta real representa um número real  (^) Numa reta real os números estão ordenados de maneira crescente da esquerda para a direita.  (^) Um número a é menor que qualquer número b colocado a sua direita e maior que qualquer número c a sua esquerda. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

R

c a b

Números e funções reais

 (^) Plano Cartesiano  (^) O plano cartesiano é definido por dois eixos ortogonais  (^) Eixo x é o eixo das abscissas  (^) Eixo y é o eixo das ordenadas  (^) A origem do sistema é o ponto O  (^) As coordenadas do ponto P são os números reais x 1 e y 1  (^) Par ordenado (x 1 , y 1 ) x y x 1 y 1 P(x 1 , y 1 ) O

Números e funções reais

 (^) Domínio  (^) É o conjunto de valores assumidos por x.  (^) Imagem  (^) É o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de correspondência para os elementos do domínio.  (^) Gráfico  (^) É a representação geométrica dos pares x e y no plano cartesiano.

Retas

 (^) Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular  (^) A equação abaixo é a equação na forma ponto

• coeficiente angular que passa pelo ponto (x 1 , y 1 ) e tem coeficiente angular m.

1 1 1 1

ou

y m x x y

y y m x x

Retas

 (^) Exemplo 1  (^) Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular - 3/2.  (^) x 1 = 2  (^) y 1 = 3  (^) m = -3/    

1 1

y x

y x

y x

y y m x x

Retas

 (^) Equação reduzida da reta:  (^) m - coeficiente angular  (^) b - coeficiente linear  (^) Equação geral da reta:  (^) A e B diferentes de zero. y  mx  b Ax  By  C R (0, b) X Y ( x , y ) b

Aplicações

 (^) Muitas variáveis importantes são relacionadas por equações lineares, como por exemplo, a relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit e Celsius.

F  C  ou C  F 

m b

Funções e Gráficos

 (^) Nomenclatura (Leonhard Euler)  (^) y é igual a f de x y  f ( x ) Variável independente (domínio) Variável dependente (contra-domínio ou imagem) X (domínio) Y (imagem)

Funções

Definição: Sejam R o conjunto dos números reais e, A e B dois subconjuntos de R. Uma função f de A em B é uma lei que associa a cada elemento x de A, um único elemento y = f(x) do conjunto B. Neste caso, dizemos que y é uma função de x, ou seja, f é uma função real de uma variável real e denotamos por:

• (^) x é chamada de variável independente.
• (^) y é chamada de variável dependente.
• (^) A é chamado de domínio, denotado por A = 𝔻(f).
• (^) B é chamado de contra domínio , denotado por B = C𝔻(f).

Funções e Gráficos

 (^) Domínios e imagens  (^) Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o domínio não é citado explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores de x para os quais a fórmula fornece valores reais de y – domínio natural.  (^) Se queremos restringir o domínio de algum modo devemos dizê-lo.  (^) Exemplo: O domínio de y = x (^2) é o conjunto dos números reais. Se queremos somente valores positivos de x devemos escrever y = x^2 , x > 0.  (^) Os domínios e as imagens de muitas funções de uma variável real a valores reais são intervalos ou combinações de intervalos, que podem ser abertos, fechados ou semi-abertos e finitos ou infinitos.

Funções e Gráficos

 (^) As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos restantes são chamados pontos interiores.  (^) Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os que não contêm são abertos.  (^) Aberto AB  (^) A < x < B ou (A, B)  (^) Fechado AB  (^) A ≤ x ≤ B ou [A, B]  (^) Fechado em A e aberto em B  (^) A ≤ x < B ou [A, B)  (^) Aberto em A e fechado em B  (^) A < x ≤ B ou (A, B] x A B x A B x A B x A B