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Disciplina: Fundamentos da Matemática
Prof. Dr. Antônio de Andrade e Silva UFPB – Tutor de EAD Curso de Matemática – UFPBVIRTUAL [email protected] Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br Site do Curso: www.mat.ufpb.br/ead Site da UFPB VIRTUAL: www.virtual.ufpb.br Telefone UFPB VIRTUAL (83) 3216 7257
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Ementa
O Método Axiomático, Conjuntos, Conjuntos Parcialmente Ordenados, Axioma da Escolha e Aplicações, Números Naturais, Números Cardinais.
Descrição
Esta disciplina tem como objetivo levar o aluno a compreender os axiomas da Teoria dos Conjuntos, segundo “Zermelo-Fraenkel,” a ponto de aplicá-los em diferentes contextos tais como o axioma da escolha, modelagem de situações-problema envolvendo o princípio do máximo de Hausdorff, Lema de Zorn, conjuntos bem ordenados, construção dos números naturais, números cardinais. O programa da disciplina divide-se em seis unidades, das quais a primeira é responsável pela introdução do método axiomático e resultados utilizados em todo o texto. Em cada estudo específico, busca- se a caracterização do objeto por meio de propriedades que possibilitem ao estudante estabelecer correspondências entre determinadas situações-problema da vida real e a espécie de função focalizada, objetivando sua utilização na construção de uma tradução matemática da respectiva situação.
Objetivos
Uniformizar o conhecimento da Teoria dos Conjuntos via métodos axiomáticos e aplicar os mesmos ao estudo dos conjuntos, axioma da escolha e números. Assim, servir como ferramenta importante em outras disciplinas tais como Álgebra, Análise e Equações Diferenciais. Além disso, tem como finalidade desenvolver habilidades e atitudes no aluno que lhe permitam acompanhar e se adaptar ao desenvolvimento no âmbito da educação, ciência e tecnologia.
Objetivos Específicos
Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja apto a: Construir os axiomas da Teoria dos Conjuntos, compreender as suas diferentes representações e aplicá-los a problemas relacionados; Construir o conceito de relação de ordem, ter ideia clara das suas diferentes representações e aplicá-lo a problemas relacionados; Interpretar o Axioma da Escolha e utilizá-lo nas aplicações; Compreender o conceito de números naturais; Construir via o método axiomático o conjunto dos números naturais; Ler, interpretar e comunicar ideias matemáticas.
Conhecimentos Prévios
Noções Básicas de Conjuntos, Relações e Funções, Conjuntos Enumeráveis e Não-Enumeráveis.
Unidade I O Método Axiomático
Introdução Histórica O Método Axiomático Características de um Sistema de Axiomas Independência de um Sistema de Axiomas
Unidade II Conjuntos
Introdução Histórica Conjunto Gráfico e Famílias Funções
Unidade III Conjuntos Parcialmente Ordenados
Ordem Isomorfismos Elementos Notáveis e Dualidade Conjuntos Bem Ordenados
Unidade IV Axioma da Escolha e Aplicações
Axioma da Escolha Aplicações, Princípio do Máximo de Hausdorff e Lema de Zorn Princípio da Boa Ordenação
Unidade V Números Naturais
Números Naturais Aritméticas dos Números Naturais
Unidade VI Números Cardinais
Conjuntos Equipotentes Números Cardinais Aritméticas dos Números Cardinais
Esses agrupamentos de axiomas e postulados já eram conhecidos em Aristóteles ( 384-321 , a. C.) e em Euclides ( 330-260 , a. C.) como noções comuns e postulados. A partir dessas afirmações e de um certo número de definições, Euclides demonstrou 465 teoremas em uma sequência lógica. Por exemplo, o quinto postulado de Euclides, em sua forma original, foi enunciado como:
E 5 - Se uma linha reta intercepta duas outras linhas retas formando ângulos interiores no mesmo lado menor do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente se interceptarão no lado em que a soma é menor que dois ângulos retos.
Proclus (Proclus Lycaeus, 412-485 , d. C, filósofo grego) descreveu a controvérsia que estava se formando com relação a esse postulado mesmo nessa época, sendo ele próprio a favor da eliminação do postulado por classificá-lo de ingênuo, plausível e sem caráter de necessidade lógica. No período Renascentista inciou-se novo período de controvércias com relação ao quinto postulado a partir dos outros postulados, ou seja, domonstrá-lo a partir dos outros postulados e axiomas da geometria usando princípios da lógica. Duas retas distintas r e s , em Geometria Plana, são chamadas de paralelas se elas não se interceptam, isto é, r ∩ s = ∅. Assim, atualmente, o quinto postulado de Euclides é enunciado como:
E 5 - Dada uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma e somente uma reta s que contém P e é parelela à reta r.
Figura 1. Geometria Euclidiana.
Note que esse postulado afirma que retas paralelas existem.
No século dezenove, Lobachevsky (Nikolai Ivanovich Lobachevsky, 1792-1856, matemático russo) em 1820 , Gauss (Carl Friedrich Gauss 1777-1855 , matemático alemão) e Bolyai (János Bolyai , 1802-1860 , matemático húngaro) em 1823 , descobriam que poderiam obter uma teoria matemática "consistente" partindo de um postulado que afirma a existência de infinidade de retas paralelas contendo P.
Postulado de Lobachwsky-Gauss-Bolyai - Dada uma reta r e um ponto P fora de r, existem pelo menos duas retas s e t que contém P e são paralelas à reta r.
Figura 2. Geometria Hiperbólica. Riemann (Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826-1866 , matemático alemão), descobriu uma nova geometria partindo de um postulado que nega a existência de retas paralelas.
Postulado de Riemann - Duas retas nunca são paralelas.
Figura 3. Geometria Esférica. Com esses postulados temos três tipos de geometrias. Em cada uma dessas geometrias é claro que precisamos de muitos outros postulados. Hilbert (David Hilbert, 1862-1943 , matemático alemão), em 1899 , no seu célebre trabalho “Fundamentos da Geometria”, apresenta a ideia de que apenas um nome - axiomas - deve ser usado com relação às proposições fundamentais, e que certos termos básicos como ponto e reta são deixados completamente indefinidos. Embora esse trabalho de Hilbert seja reconhecido por muitos como sendo o primeiro a tratar de método axiomático em sua forma moderna, devemos reconhecer que ideias análogas também apareceram em trabalhos de outros estudiosos da época. Em 1882 apareceu a primeira edição do livro de Pasch (Moritz Pasch, 1843-1930 , matemático alemão) “Vorlesungen über Neuere Geometrie.” Pasch baseou seu tratamento da geometria em um pequeno número de “conceitos nucleares” e “proposições nucleares” que são introduzidas respectivamente sem definição e sem demonstrações, mas que ele acredita ter uma base comum de aceitação pela nossa experiência. Depois que o sistema básico de proposições (axiomas) é introduzido, a dedução lógica das outras proposições do sistema são obtidas de forma rigorosa. Suas ideias foram descritas por ele mesmo como segue: “Na realidade, se a geometria deve ser dedutiva, a dedução deve ser independente do significado dos conceitos geométricos, da mesma forma que deve ser independente de diagramas; somente as relações especificadas nas proposições e definições empregadas podem ser usadas. Durante a demonstração é útil e correto, mas de modo algum necessário, pensar no significado dos termos; aliás, se for necessário proceder desse modo a ineficiência da prova está clara. Se, entretanto, um teorema é rigorosamente derivado de um conjunto de proposições (os axiomas), a demonstração tem um valor que transcende o objetivo inicial. Pois se substituirmos os termos geométricos nos axiomas por outros termos certos, proposições verdadeiras serão obtidas, então fazendo substituições análogas nos teoremas obteremos um novo teorema sem termos que repetir a demonstração”.
3.2 O Método Axiomático
Nesta seção apresentaremos alguns modelos axiomáticos que serão necessários para o desenvolvimetos destas notas.
O modelo axiomático organiza as matérias (teorias) de um modo sistemático a partir de proposições primitivas e definições, procedendo ao desenvolvimento por via dedutiva.
Um sistema de axiomas é uma coleção formada pelos termos indefinidos, axiomas e "teoremas." Agora, apresentaremos um sistema "parcial" de axiomas como uma amostra do modelo axiomático.
Exemplo 2.1. O sistema de axiomas S da Geometria Euclidiana ( plana ): Termos indefinidos : Ponto e Reta. E 1 - Toda reta é uma coleção de pontos. E 2 - Existem pelo menos dois pontos. E 3 - Se P e Q são pontos distintos, então existe uma e somente uma reta contendo P e Q. E 4 - Se r é uma reta, então existe um ponto fora de r. E 5 - Dada uma reta r e um ponto P fora de r, existe uma e somente uma reta s que contém P e é parelela à reta r.
que contradiz o axioma E 5. Seja X ∈ r ∩ t. Então X é distinto de P , pois P ∉ t. Portanto, r contém pelo menos dois pontos P e X.
Figura 5. Esboço da Prova. Corolário 2.6. Toda reta fica completamente determinada por quaisquer dois de seus pontos que sejam distintos.
Prova. Seja r uma reta qualquer. Então, pelo Teorema 2.5, a reta r contém dois pontos distintos P e Q. Portanto, pelo axioma E 3 , a reta r é completamente determinada pelos pontos P e Q.
Teorema 2.7. Existem pelo menos quatro pontos distintos.
Prova. Pelo axioma E 2 existem pelo menos dois pontos distintos P e Q. Pelo axioma E 3 existe uma única reta r contendo P e Q. Além disso, pelo axioma E 4 existe um ponto R fora de r e, pelo axioma E 5 , existe uma reta s contendo R e paralela à reta r. Finalmente, pelo Teorema 2.5, s contém um ponto X distinto de R. Portanto, existem pelo menos quatro pontos P , Q , R e X.
Figura 6. Esboço da Prova. Teorema 2.8. Existem pelo menos seis retas distintas.
Prova. Pela prova do Teorema 2.7, existe uma reta r contendo P e Q ; uma reta s paralela à reta r contendo pontos distintos R e S. Logo, pelo axioma E 3 existem retas u e v contendo Q e S ; P e R , respectivamente. Note que, Q ∉ v , pois se Q ∈ v ,então v = r e R ∈ r ,o que é impossível. De modo inteiramente análogo, prova-se que S ∉ v e P R , ∉ u. Novamente, pelo axioma E 3 existem retas t e x contendo P e S ; Q e R , respectivamente. Observe que Q ∉ t e S ∉ x .Portanto, r , s , t , u , v e x são retas distintas.
Figura 7. Esboço da Prova. Note, nas provas dos resultados acimas, que as Figuras nos ajudam a memorizar os vários símbolos ( , r P Q , , …) bem como, seus significados de maneira mais fácil. Não obstante, nenhum significado especial foi dado aos termos “ponto” e “reta,” e, consequentemente, são válidas se substituirmos pessoas por pontos e duas pessoas por reta. Além disso, é claro que não provamos acima todos os teoremas possíveis. Finalizaremos esta seção apresentado mais um exemplo de sistema de axiomas para definirmos um “corpo”.
Exemplo 2.9. O sistema axiomas F formado por um conjunto não vazio K de objetos (estruturas algébricas).
Termos indefinidos : Elementos. O conjunto K é munido com duas operações binárias : : : e ( , ) ( , ) ,
K K K K K K
a b a b a b a b
+ × → • × →
chamadas adição e multipicação, tais que os seguintes axiomas são satisfeitos: F 1 - Sejam a b c d , , , ∈ K. Se a = c e b = d , então a + b = c + d e a • b = c • d , isto é, as operações + e • estão bem definidas. F 2 - a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ,para todos a b c , , ∈ K. F 3 - Existe 0 ∈ K tal que a + 0 = 0 + a = a ,para todo a ∈ K. F 4 - Para cada a ∈ K , existe − a ∈ K tal que a + ( − a ) = −( a ) + a =0. F 5 - a + b = b + a ,para todos a b , ∈ K. F 6 - a • ( b • c ) = ( a • b ) • c ,para todos a b c , , ∈ K. F 7 - Existe 1 ∈ K tal que a • 1 = 1 • a = a ,para todo a ∈ K. F 8 - O elemento 0 é diferente do elemento 1, isto é, K contém pelo menos dois elementos. F 9 - Para cada a ∈ K − {0}existe a −^1 ∈ K .tal que a • a −^1 = a −^1 • a =1, F 10 - a • b = b • a , para todos a b , ∈ K. F 11 - a • ( b + c ) = a • b + a • c ,para todos a b c , , ∈ K. F 12 - ( a + b ) • c = a • c + b • c ,para todos a b c , , ∈ K.
Teorema 2.10. Sejam a x , ∈ K. Então a + x = a ⇒ x = 0 e a • 0 = 0 • a = 0.
Prova. Pelo axioma F 4 (^) , 0 = −( a ) + a. Logo, 0 = ( − a ) + ( a + x ). Assim, pelo axioma F 2 , 0 = −( a ) + ( a + x ) = (( − a ) + a )+ x e pelos axiomas F 4 (^) e F 3 (^) , 0 = 0 + x = x .Finalmente, pelo axioma F 3 , 1 = 1 + 0. Logo, pelo axioma F 1 (^) , a • 1 = a • (1 + 0). Assim, pelos axiomas F 11 (^) e F 7 (^) , a = a + a • 0. Portanto, a • 0 = 0.
Exemplo 3.6. Os sistemas de axiomas S e F da Observação 2.2 e do Exemplo 2.9, respectivamentes, são satisfatórios.
Vamos determinar um método de verificarmos a consistência de um sistema de axiomas Σ. Para isso, vamos relembrar dois princípios da lógica clássica (Aristoteliana). Seja p uma sentença (ou proposição). Então:
- Princípio da contradição. Se p é verdadeira, então ∼ p é falsa, isto é, dadas duas proposições contraditórias uma delas é falsa.
- Princípio do terceiro excluído. p ou ∼ p é sempre verdadeira, isto é, dadas duas proposições contraditórias uma delas é sempre verdadeira. Exemplo 3.7. Seja p a proposição “hoje é quarta-feira.” O princípio da contradição vale, pois hoje não pode ser ambos quarta-feira e quinta-feira. O princípio do terceiro excluído afirma p ou ∼ p é sempre verdadeira.
Exemplo 3.8. Seja A um conjunto e P ( x ) uma propriedade “a qual é significativa para cada elemento x em A.” O princípio do terceiro excluído afirma ou existe um x ∈ Atal que P ( x ) é verdadeira ou ao contrário, para todo x ∈ A, P ( x ) é falsa.
Seja Σ um sistema de axiomas. Uma Σ- proposição é uma proposição que pode ser expressa com base nos termos indefinidos e universais de Σ.
Exemplo 3.9. Os axiomas e teoremas de Σ são Σ- proposição. Vamos enunciar mais dois princípios da lógica aplicados ao sistema de axiomas Σ. I. Todas as proposições implicadas pelos axiomas de Σ , são verdadeiras para todos os modelos de Σ.
II. O princípio da contradição se aplica a todas as proposições sobre um modelo de Σ , desde que elas sejam Σ -proposições cujos termos técnicos tenham os siginificados dados na interpretação. Sejam Σ um sistema de axiomas e I uma interpretação de Σ. Uma (Σ, I )- proposicão é o resultado de atribuirmos aos termos técnicos em uma Σ-proposição seus significados em I. Assim, os princípios (I) e (II) podem ser enunciados como seguem: I. Toda (Σ ,I ) -proposição, tal que a correspondente Σ -proposição é implicada por Σ , é verdadeira para M ( I ). II. (Σ ,I ) -proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras para M ( I ).
Teorema 3.10. Seja Σ um sistema de axiomas. Se Σ é satisfatório, então ele é consistente. Prova. Suponhamos, por absurdo, que Σ seja inconsistente. Então existem duas Σ-proposições contraditórias em Σ. Logo, pelo princípio (I), essas proposições podem ser vistas como (Σ, I )-proposições e são ambas verdadeiras para M ( I ), o que contradiz o princípio (II). Portanto, Σ é um sistema consistente.
Observação 3.11. Seja Σ um sistema de axiomas. A existência de uma interpretação em Σ garante a sua consistência.
Exemplo 3.12. A interpretação garante a consistência do sistema de axiomas F do Exemplo 2..
Sejam Σ um sistema de axiomas satisfatório e A 1 (^) , …, An os axiomas de Σ. Diremos que um axioma A j é independente em Σ se o sistema de axiomas ( Σ − A (^) j ) + ( ∼ Aj ), j =1, …, n , for satisfatório.
Observação 3.13. Sejam Σ um sistema de axiomas e A 1 (^) , … , Anos axiomas de Σ. Se A (^) jfor provado pelo sistema de axiomas Σ − Aj, então Aj não é independente. Neste caso, todo modelo que satisfaça Σ − A j satisfaz necessariamente Aj ( prove isso !). Portanto, não podemos achar uma interpretação para Σ − A j, que não seja interpretação de A (^) j.
Exemplo 3.14. O axioma E 5 do sistema de axiomas S da Observação 2.2 é independente.
Solução. Seja E 6 o seguinte axioma: “ existe uma reta r e um ponto P fora de r tal que não existe nenhuma reta s contendo P e paralela à reta r.” Afirmação. E 6 = ∼ E 5 e ( S - E 6 ) + ( ∼ E 6 )é um sistema de axiomas satisfatório. De fato, seja T o conjunto dos vértices de um triângulo equilátero, onde “vértice = ponto” e “aresta = reta.” Então T é uma interpretação para ( S - E 6 ) + ( ∼ E 6 ). Portanto, ( S - E 6 ) + ( ∼ E 6 )é um sistema de axiomas satisfatório e E 5 é independente em S.
Exemplo 3.15. O axioma F 9 do sistema axiomas F do Exemplo 2.9 é independente.
Solução. Sejam F 13 o axioma: “ para cada a ∈ K − {0} , não existe a −^1 ∈ K tal que a • a −^1 = a −^1 • a = 1 .” Afirmação. F 13 = ∼ F 9 e ( F - F 13 ) + ( ∼ F 13 )é um sistema de axiomas satisfatório. De fato, o conjunto dos números inteiros ℤ, com as operações usuais de adição e multiplicação, é uma interpretação para ( F - F 13 ) + ( ∼ F 13 ). Portanto, ( F - F 13 ) + ( ∼ F 13 ) é um sistema de axiomas satisfatório e F 9 é independente em F.
Exemplo 3.16. O axioma F 5 do sistema axiomas F do Exemplo 2.9 não é independente.
Solução. Vamos desenvolver ( a + b ) (1i +1)de duas maneiras: Pelos axiomas F 11 , F 7 e F 2 , obtemos ( a + b )•( 1 + 1 ) = ( a + b )• 1 + ( a + b )• 1 = ( a + b ) + ( a + b ) = a + ( b + a ) + b. Por outro lado, pelos axiomas F 12 , F 7 e F 2 , obtemos ( a + b )•( 1 + 1 ) = a • ( 1 + 1 ) + b • ( 1 + 1 ) = ( a + a ) + ( b + b ) = a + ( a + b ) + b. Logo, a + ( b + a ) + b = a + ( a + b ) + b. Portanto, pelos axiomas F 3 , F 4 e F 2 , obtemos [0 ( )] 0 ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) [0 ( )] 0 ,
a b a b a a a b b b a a b a b b b a b a
que é o resultado desejado.
Sabemos que com o sistema axiomas S não podemos provar todos os teoremas da Geometria Plana (Euclidiana). Na realidade vimos uma interpretação para o sistema S com apenas um número finito de pontos. É claro que isto não deveria ocorrer se fosse um sistema adequado para o estudo da Geometria Plana. Agora, vamos iniciar a noção de completividade de um sistema de axiomas, com a ideia de serem os axiomas desses sistemas suficientes para provarmos todos os teoremas, podemos afirmar que se encontrarmos um teorema tal que, tanto ele como sua negação não podem ser provados no sistema, então esse “teorema” é um candidato a um novo axioma do sistema.
Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é independente se todos os axiomas de Σ o são. Exemplo 3.17. O sistema axiomas F do exemplo 2.9 não é independente. Seja Σ um sistema de axiomas. Diremos que Σ é completo se não existir uma Σ-proposição p tal que
Unidade II Conjuntos
1. Situando a Temática
A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 por Cantor (Georg Cantor, 1845-1918, matemático alemão) e aperfeiçoada no início do século XX por outros matemáticos, entre eles, Zermelo (Ernst Zermelo, 1871-1956, matemático alemão), Skolem (Thoralf Albert Skolem, 1887-1963, matemático norueguês) , Fraenkel (Adolf Fraenkel, 1891-1965, matemático alemão), Gödel (Kurt Gödel, 1906-1978, matemático austríaco), von Neumann (John von Neumann , 1903-1957, matemático húngaro), entre outros. O que se estuda deste assunto no ensino fundamental, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise combinatória, probabilidades, etc. Nesta unidade vamos nos dedicar ao estudo dos conjuntos via método axiomático.
2. Problematizando a Temática
É comum na Teoria dos Conjuntos, se ouvirem frases como: (...) um “conjunto” é qualquer coleção, dentro de um todo de objetos definidos e distinguíveis, chamados de elementos ou membros, de nossa intuição ou pensamento. G. Cantor ( 1895 ). (...) por “conjunto” nada mais do que um objeto do qual se sabe não mais e quer-se saber não mais do que aquilo que se segue dos postulados. J. von Neumann ( 1928 ).
Esta e outras afirmações sobre definições de conjuntos vão ser contornadas via método axiomático, em que “conjunto” é um termo indefinido.
3. Conhecendo a Temática
3.1 Introdução Histórica
É importante observar que o matemático usa a palavra “definição” em um sentido diferente daquele do dicionário, ou seja, quando um matemático dá uma definição, pretende-se que não será um mero sinônimo que o leitor possa saber o significado, mas um critério para identificação; uma “caracterização” da coisa definida. Um paradoxo ou antinomia é uma contradição entre duas proposições ou princípios. Tomando uma abordagem informal ou ingênua que qualquer coleção de objetos é um conjunto, podem ocorrer os seguintes fatos:
- Se A é o conjunto de todos os animais da terra, então A ∉ A.
- Se ℕ é o conjunto de todos os “números naturais,” então N ∉N.
- Se B é o conjunto de todas as coisas abstratas, então B ∈ B.
- Se C é o conjunto de todos os conjuntos, então C ∈ C.
Vamos apresentar os paradoxos de Russell (Bertrand Arthur William Russell, 1872-1970, matemático e filósofo inglês).
Paradoxo Lógico ( 1902 ). Seja R = { A ∈ C : A ∉ A}.
Então:
- R ∈ R.
- R ∉ R.
Solução. (1) R ∈ R é impossível, pois se R ∈ R, então, por definição, R ∉ R, o que é uma contradição. (2) R ∉ Ré impossível, pois se R ∉ R, então, por definição, R ∈ R, o que é uma contradição. Portanto, R ∈ R ⇔ R ∉ R, o que contradiz o princípio do terceiro excluído.
Paradoxo Semântico (1906, atribuído por Russell a G. G. Berry). Seja T = {x : x é um número inteiro positivo que pode ser descrito por uma frase com menos de vinte palavras da língua portuguesa}. Então existe um inteiro positivo x 0 tal que
- x 0 ∉ T.
- x 0 ∈ T.
Solução. Suponhamos que as palavras da língua portuguesa estejam catalogadas em um dicionário. Então T é finito, pois um dicionário contém apenas um número finito de palavras e o número de frases envolvendo menos de vinte palavras é finito. Assim, existem inteiros positivos que são maiores do que todos os outros inteiros positivos de T. Portanto, existe um menor inteiro positivo x 0 que é maior do que todos os inteiros positivos de T. Então x 0 ∉T. Por outro lado, como x 0 = menor inteiro positivo que não pode ser descrito por uma frase com menos de vinte palavras da língua portuguesa (19 palavras) temos que x 0 ∈ T, o que contradiz o princípio do terceiro excluído.
Com o surgimento dos paradoxos houve muita controvérsia por parte dos matemáticos da época. Mas, com o trabalho de Dedekind (Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-1916, matemático alemão) em 1888 mostrando que os nossos “números naturais” podem ser construídos por meio da teoria elementar dos conjuntos: 0 = ∅, 1 = ∅{ }, 2 = ∅{ ,{ ∅ }}, … , a teoria passou a ser aceita. Enunciaram-se, em 1905 , várias correntes para contornar os paradoxos, as quais podemos classificar em três grupos: Axiomático, Logicista e Intuicionista. A primeira axiomatização da Teoria dos Conjuntos foi dada por Zermelo em 1908 , com certas modificações em 1922 devidas a Skolem e Fraenkel. No sistema de axiomas ZF os termos indefinidos e relações indefinidas são: Conjunto e Pertinência.
3.2 Conjuntos
Embora a ideia intuitiva de conjunto dada, no curso de Matemática Elementar, seja suficiente para os nossos propósitos, uma exposição geral da Teoria dos Conjuntos requer mais precisão, pois a não axiomatização da Teoria dos Conjuntos nos leva a várias contradições. Sendo assim, nesta seção iniciaremos o estudo formal da Teoria dos Conjuntos segundo Zermelo-Fraenkel. Intuitivamente um conjunto é uma coleção de objetos A tal que dado qualquer objeto X é possível determinar se X ∈ Aou se X ∉ A. As letras a,b,c,… serão usadas somente para indicar elementos e A, B, C,… elementos ou conjuntos. Assim, se x é um conjunto e existe um conjunto A tal que x ∈ A, diremos que x é um elemento. Além disso, uma sentença do tipo ∀ x ∃ y ∀ z : p x y z( , , ). Lê-se “para cada x existe um y tal que, para cada z, p(x,y,z) é verdadeira,” sua negação é ∃ x ∀ y ∃ z : ∼ p x y z( , , ). Lê-se “existe um x para cada y tal que, existe z, p(x,y,z) é falsa.” Note que na negação mantivemos a ordem das variáveis.
- O axioma ZF 2 nos permite formar o conjunto de todos os “elementos” x que satisfazem P(x), mas não o conjunto de todas os “conjuntos” x que satisfazem P(x). Assim, eliminamos todos os paradoxos lógicos.
- O axioma ZF 2 admite somente as afirmações P(x) que podem ser escritas inteiramente em forma de símbolos ∈ ∨ ∧ ∼ ⇒ ∃ ∀ , , , , , , , colchetes e variáveis livres x y z A B C, , , , , ,… Assim, eliminamos todos os paradoxos semânticos.
Sejam A e B dois conjuntos. A união ou a reunião de A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Em símbolos, A ∪ B = { x : x ∈ A ou x ∈ B}. Assim, ∀ x [ x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B]. A interseção de A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a ambos os conjuntos A e B. Em símbolos, A ∩ B = { x : x ∈ A e x ∈ B}. Assim, ∀ x [ x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A e x ∈ B]. Note que pelo axioma ZF 2 , os conjuntos A∪B e A∩B, estão bem definidos. O conjunto universal U é um conjunto que tem a propriedade de conter como subconjuntos todos os conjuntos em pauta. O conjunto vazio ∅ é o conjunto sem nenhum elemento. A existência do conjunto vazio será dada pelo axioma ZF 9. Note que se existem dois conjuntos A e B sem elementos, então A = B. De fato, ∀ x [ x ∈ A ⇒ x ∈ B], é uma afirmação verdadeira, pois é uma implicação com um antecedente falso (confira Exemplo 3.5 da unidade I). De modo inteiramente análogo, prova-se a outra inclusão. Sejam A e B dois conjuntos. Diremos que A e B são disjuntos se eles não têm elementos em comum. Em símbolos, A ∩ B= ∅. O complementar de A é o conjunto de todos os elementos que não pertencem a A. Em símbolos, A ′ = { x : x ∉ A}. Assim, ∀ x [ x ∈ A′ ⇔ x ∉ A]. A diferença de A e B é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B. Em símbolos, A − B = { x : x ∈ A e x ∉ B}. Assim, ∀ x [ x ∈ A − B ⇔ x ∈ A e x ∉ B]. Note que A − B = A ∩ B′ e, pelo axioma ZF 2 , o conjunto A − Bestá bem definido. É instrutivo observar que o relacionamento entre os conjuntos pode ser representado graficamente por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, quando a linha fechada é um círculo, chamaremos de diagrama de Venn.
Teorema 2.5. Sejam A, B e C três conjuntos. Então:
- ∅ ⊆ A e A ⊆ U.
- A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B.
- A ∩ B ⊆ A e A ∩ B ⊆ B,
- A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ∩ B =A
- A ∪ ( A ∩ B ) = A e A ∩ ( A ∪ B) = A.
- ( A ∪ B ) ′ = A′ ∩ B ′ e ( A ∩ B) ′ = A ′ ∪ B′. ( Lei de De Morgan )
- A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C e A ∩ ( B ∩ C )= A ∩ B ∩C
Prova. Vamos provar apenas uma afirmação do item ( 6 ). ∀ x [ x ∈ ( A ∪ B) ′ ⇔ x ∉ ( A ∪ B ) ⇔ x ∉ A ou x ∉ B⇔ x ∈ A ′ e x ∈ B′ ⇔ x ∈ (^) ( A ′ ∩ B ]′) , que é o resultado desejado.
3.3 Gráficos e Famílias
Seja a um elemento. Então, pelo axioma ZF 2 , obtemos o conjunto { }a = { x : x = a}. Assim, a é o único elemento do conjunto { }a. Sejam a e b elementos. Então, pelo axioma ZF 2 , obtemos o conjunto { , }a b = { x : x = a ou x = b}. De modo inteiramente análogo, obtemos os conjuntos { , , }, { , , ,a b c a b c d } e, assim por diante. Isto motiva o axioma.
ZF 3 - Axioma do par ( não ordenado ). Se a e b são elementos, então { , }a b é um elemento.
Observação 3.
- O axioma ZF 3 é equivalente a: dados dois conjuntos quaisquer existe um conjunto ao qual eles pertencem. Mais precisamente, dados dois conjuntos quaisq uer A e B, existe um conjunto C tal que ∀ x [ x ∈ C ⇔ x = A ou x =B]
- É claro que { , }a a = { }a. Assim, fazendo a = bno axioma ZF 3 , obtemos “se a é um elemento, então { }a é um elemento”, ou seja, existem conjuntos unitários. Em particular, ∅ e {∅ } são conjuntos distintos. Neste caso, existe uma ”infinidade” de conjuntos.
- Note que a ∈ A se, e somente se, { }a ⊆ A.
- Se A é um conjunto, então { x : x ∈ A} = A.
Teorema 3.2. Se { ,x y} = { , }u v , então [ x = u e y = v ] ou [ x = v e y = u].
Prova. Há dois casos a serem considerados:
- Casoo^. Se x = y, então, pelo axioma ZF 1 , { ,x y} = { }x. Portanto, por hipótese, x = u = v = y.
- Casoo^. Se x ≠ y, então, pelo xioma ZF 1 , [^ x^ =^ u^ ou^ x^ =^ v] e [^ y^ =^ u^ ou^ y^ =^ v]. Se x = u e y ∈ { ,u y } = { , }u v , então y = v, pois x ≠ y. Se x = v e y ∈ { ,v y } = { , }u v , então y = u, pois x ≠ y. Portanto, em qualquer caso, [ x = u e y = v] ou [ x = v e y = u].
Sejam a e b elementos. O conjunto {{ },{ , }}a a b chama-se par ordenado. Em símbolos, ( ,a b ) = {{ },{ , }}a a b.
Observação 3.3. ( ,b a ) = {{ },{ , }}b b a = {{ },{ , }}b a b. Neste caso, fica clara a distinção entre os pares ordenados ( ,a b )e ( ,b a ).
Teorema 3.4. Se ( ,a b ) = ( ,c d ), então a = c e b = d.
Prova. Por definição, obtemos {{ },{ , }}a a b = {{ },{ ,c c d }}. Então, pelo Teorema 3.2,
chama-se família de conjuntos ( indexada ), e I chama-se conjunto de índices para a família. Observe que qualquer conjunto C cujos elementos são conjuntos pode ser convertido para uma família de conjuntos pelo autoíndice, ou seja, usaremos o conjunto C ele próprio como conjunto de índices e associaremos a cada elemento do conjunto o conjunto que o representa. Em símbolos, { }A (^) A C∈ = { A : A ∈ C}. Note que a família de conjuntos {1, 2},{3, 4},{5, 6}, … ,{2 n −1, 2 },n … pode ser considerada como uma família de conjuntos indexada pelo conjunto dos números naturais N , em que A (^) n= {2 n − 1, 2 }n , para todo n ∈ N. Portanto, { A (^) n} n ∈ N = { A (^) n: n∈ N }
Observação 3.7. Formalmente , uma família { A (^) i }i ∈I é um gráfico G, cujo Dom( G )= I e A (^) i= { x : ( ,i x ) ∈ G}.
Exemplo 3.8. Se I = {1, 2}, A 1 = { , }a b e A 2 = { ,c d }, então { A (^) i }i (^) ∈I = G = {(1, a ), (1, b), (2, ), (2, c d)}.
Seja { A (^) i }i∈ I uma família de conjuntos. A união dos conjuntos A (^) i é o conjunto de todos os elementos que pertencem a pelo menos um conjunto A (^) ida família. Em símbolos,
∪i ∈I A^ i =^ {^ x^ :^ ∃^ i^ ∈^ I^ , com^ x^ ∈Ai},
ou ainda,
∪ i ∈I A^ i =^ {^ x^ :^ x^ ∈^ A^ i, para algum^ i^ ∈I}.
A interseção dos conjuntos A^ ié o conjunto de todos os elementos que pertencem a todas os conjuntos^ Ai da família. Em símbolos,
∩ i ∈I A^ i =^ {^ x^ :^ ∀^ i^ ∈^ I^ ,^ x^ ∈Ai},
ou ainda,
∩i ∈I A^ i =^ {^ x^ :^ x^ ∈^ A^ i, para todo^ i^ ∈I}.
ZF 4 - Axioma de subconjunto. Qualquer subconjunto de um conjunto é um conjunto.
Observação 3.9. Sejam A e B dois conjuntos. Já vimos, no item ( 3 ) do Teorema 2.5, que A ∩ B ⊆ A. Portanto, pelo axioma ZF 4 , A ∩ B é um conjunto.
ZF 5 - Axioma da união. Se C é um conjunto de conjuntos, então
∪A C∈ A^ =^ {^ x^ :^ x^ ∈^ A, para algum^ A^ ∈C}
é um conjunto.
Observação 3.10. Sejam A e B dois conjuntos. Então, pelo axioma ZF 3 , { A B, } é um conjunto. Assim, por definição,
∪ X ∈ { A B, } X^ =^ {^ x^ :^ x^ ∈^ X^ , para algum^ X^ ∈^ {^ A B,^ }}^ =^ A^ ∪B.
Portanto, pelo axioma ZF 5 , A ∪ Bé um conjunto.
Exemplo 3.11. Seja G um gráfico. Mostre que se G é um conjunto, então Dom( G )e Im( G) são conjuntos.
Solução. Primeiro note que a b, ∈ ∪ ( ,a b ). Seja x ∈ Dom( G). Então existe y tal que ( ,x y) ∈ G. Logo,
( ,x y) ∈ ∪G , pois os elementos de G são conjuntos. Em particular, { }x ∈ ∪G. De modo inteiramente análogo, x ∈ ∪ ∪( G ). Portanto, Dom( G) ⊆ ∪ ∪( G ), ou seja, Dom( G) é um conjunto.
Seja A um conjunto. O conjunto das potências de A é o conjunto de todos os subconjuntos de A. Em símbolos, P( A) = 2 A= { X : X ⊆A}. Note que pelo axioma ZF 4 , P ( A)é o conjunto de todos os subconjuntos X que satisfazem a propriedade X ⊆ A. Portanto, pelo axioma ZF 2 , o conjunto P( A)está bem definido.
ZF 6 - Axioma das potências. Se A é um conjunto, então P( A)é um conjunto.
Exemplo 3.12. Se A = {1, 2}, então P( A)= { ∅,{1},{2}, A}é um conjunto.
Observação 3.13. Se A é um conjunto, então, pelo axioma ZF 4 e ZF 2 , B = { X : X ⊆ A e P X( )}. é um conjunto. Assim, se X ∈ B, então X ∈ P ( A). Logo, B ⊆ P ( A). Portanto, pelos axiomas ZF 6 e ZF 4 , B é um conjunto, ou seja, se A é um conjunto e P X( ) é uma propriedade de X, então o conjunto de todas os subconjuntos de A é um conjunto.
Teorema 3.14. Se A e B são conjuntos, então A × Bé um conjunto.
Prova. Note, pelos axiomas ZF 5 e ZF 6 , que P( A ∪B) é um conjunto. Novamente, pelo axioma ZF 6 , P P( ( A ∪B))é um conjunto. Afirmação. A × B ⊆ P P( ( A ∪B)). Portanto, pelo axioma ZF 4 , A × Bé um conjunto. De fato, seja ( ,x y) ∈ A × B. Então x ∈ A ∪ B e y ∈ A ∪ B. Logo, { }x ⊆ A ∪ B e { ,x y} ⊆ A ∪ B. Assim, { },{ ,x x y } ∈ P( A ∪B). Portanto, {{ },{ ,x x y }} ⊆ P P( ( A ∪ B )) ⇒ ( ,x y ) ∈ P P( ( A ∪B)), ou seja, A × B ⊆ P P( ( A ∪B)).
Observação 3.15. Se A e B são conjuntos, então, pelo axioma ZF 4 , qualquer gráfico G de A × B é um conjunto.
3.4 Funções
O conceito de função é um dos mais básicos em toda a Matemática. Assim, nesta seção, vamos apresentar formalmente o conceito de função via gráfico. Sejam A e B dois conjuntos. Uma função de A em B é um subconjunto f de A × B que satisfaz às seguintes condições:
F 1 - Para cada x ∈ A, existe y ∈ Btal que ( ,x y) ∈ f. F 2 - Se ( ,x y 1 )∈ f e ( ,x y 2 )∈ f , então y 1 = y 2.
Notação : f :A → B e ( ,x y ) ∈ f ⇔ y = f ( )x ou x 6 y. Neste caso, diremos que y = f ( )x é o valor que f assume no elemento (no ponto) x. Além disso, a imagem de f pode, também, ser denotada por { f (^) x: x ∈ A}ou { f (^) x} x ∈A , em outras palavras, uma função f é uma família de conjuntos, em que A é o conjunto de índices.
