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Unidade I - A Matemática na Antiguidade
1. Situando a temática
Nesta unidade descrevemos de forma resumida sobre o nascimento e desenvolvimento de algumas ideias matemáticas nos povos da antiguidade como os babilônios, egípcios e gregos.
Este texto é complementado no MOODLE, onde se encontram atividades e exercícios relacionados.
2. Problematizando a temática
Todos os povos antigos desenvolveram algum tipo de Matemática básica tais como: Representações numéricas, sistemas de numeração, aritmética e geometria. Isso acontecia naturalmente, como consequência de necessidades do dia-a-dia tais como contagem ou medidas de terras. A observação das estrelas e dos astros em geral muitas vezes servia como inspiração para novas ideias.
3. Conhecento a temática
3.1 A Matemática no Egito
Os antigos egípcios usavam uma escrita denominada hieroglífica para elaborarem seus textos em monumentos, tumbas e papiros. Esse tipo de escrita foi decifrada em 1799 quando foi encontrada a Pedra de Rosetta, no antigo porto de Alexandria. Essa pedra continha uma mensagem em três escritas: grego, demótica e hieroglífica. Sabendo o grego, Champollion na França e Thomas Young na Inglaterra fizeram grandes progressos na decifração dos hieroglifos egípcios. O sistema de numeração hieroglífica egípcia foi facilmente decifrado. Esse sistema, tão antigo quanto as pirâmides, data de cerca de 3000 A.C. e baseava-se na escala de dez. Usando símbolos diferentes para algumas potências de dez, os números podiam ser escritos na pedra, madeira e outros materiais. A multiplicidade era denotada pela repetição dos símbolos colocados lado a lado ou empilhados uns sobre os outros. A unidade era representada por um traço vertical como I. Consequentemente, números como 2, 3 e 4 eram representados por I, II e III. Um osso de
calcanhar invertido, como ∩ , representava o dez, um laço que parecia um C
(como ) representava 100, uma flor de lotus (como ) representava
1000, um dedo dobrado (como ) representava 10000, um peixe
(como ) representava 100000 e uma figura ajoelhada (como ) representava um milhão. Por repetição desses símbolos, um número como 2302354 podia ser representado como
Há um limite para a quantidade de informação matemática que poderia ser encontrada em tumbas ou em calendários solares. Felizmente, várias fontes de informações registradas em papiros resistiram ao desgaste do tempo por mais de 3,5 milênios e chegaram até nós. Hoje em dia, podemos encontrar em museus espalhados por vários países o papiro de Rhind, o papiro de Moscou, o papiro de Berlim, o papiro Kahun, entre outros. Esses papiros mostraram ser excelentes fontes de informações, alguns deles com dezenas de problemas enunciados e resolvidos.
3.1.1. O papiro de Rhind
O papiro de Rhind é um antigo manual de Matemática que contém 80 problemas com suas soluções. Foi escrito por um escriba chamado Ahmes (ou Aahmesu) e, por isso, também é conhecido pelo nome de papiro de Ahmes. Foi encontrado em meados do século XIX, próximo ao templo de Ramsés II, na cidade de Tebas, no Egito. Em 1858 foi comprado pelo colecionador de antiguidades escocês chamado A. H. Rhind. Escrito por volta de 1700 A.C., é um rolo com cerca de 30 cm de altura e 5 m de comprimento e, atualmente, encontra-se no Museu Britânico.
Os homens da Idade da Pedra não usavam frações. Com o advento de culturas mais avançadas durante a Idade do Bronze parece ter surgido a necessidade do conceito de fração e de notação de frações.
Os egípcios representavam as frações 1/ n na forma n ^. As outras
frações eram escritas como uma soma de frações com numerador 1 , exceto
as que eram da forma
n + 1
n
como
. Por exemplo,
era escrita na forma
+ e
era
+ +. No papiro de Rhind aparece uma listagem de
decomposições como essas. Sugeriu-se que eram conhecidas algumas fórmulas tais como
Os gregos adotaram a representação egípcia de frações e esta permaneceu sendo utilizada na Europa por mais de 1000 anos.
3.1.2. Operações aritméticas
A operação aritmética essencialmente utilizada pelos egípcios era a adição. As multiplicações eram reduzidas a várias adições. Por exemplo, para calcular 73 vezes 19, eles dobravam 73 e obtiam 146. Dobravam novamente e obtiam 292 que é igual a 4 vezes 73. Dobravam 292 e obtiam 584 que é 8 vezes 73. Dobravam 584 e obtiam 1168 que é igual a 16 vezes
- Como 19 = 16 + 2 + 1, então 73 vezes 19 é igual a
3.1.3. Geometria no antigo Egito
Os antigos egípcios tinham alguns conhecimentos de geometria. Um dos maiores sucessos da época era o cálculo da área de um círculo. Em um problema do papiro de Rhind, o escriba assume que a área de um campo circular com diâmetro de 9 unidades é a mesma área de um quadrado de lado igual a 8 unidades. Comparando com a fórmula moderna A = π R 2 , isso
equivale a afirmar que 2
2
π ⋅⎛ de onde obtemos o valor de π como
sendo igual a =3,
2
⎛ . Em outro problema que envolvia um
octógono inscrito em um círculo, eles usaram essa mesma aproximação para π. Não se conhece teorema ou demonstração formal na Matemática egípcia. No entanto, comparações como essas encontradas nesses problemas estão entre as primeiras afirmações da história envolvendo figuras curvilíneas. A seguir, uma pequena parte do papiro de Moscou que mostra um problema de cálculo de volume de um tronco de pirâmide, bem como sua respectiva transcrição para escrita hieroglífica logo ao lado.
O papiro de Moscou contém 25 problemas, quase todos tirados da vida prática. Nesse papiro, eles calculam o volume de um tronco de pirâmide de base quadrada utilizando a fórmula moderna
V = h a^2 + ab + b^2
onde h é a altura e a e b são as medidas dos lados das bases quadradas.
Essa fórmula não aparece em lugar algum do papiro, mas pela sequência dos cálculos realizados, podemos deduzir que era essa fórmula que estava sendo
utilizada. No problema do papiro, tinha-se h = 6 , a = 2 e b = 4. No final,
o escriba conclui: “Veja, é 56; você achou-a corretamente". Em outro lugar (no papiro de Kahun) aparece o cálculo de um volume de cilindro onde eles multiplicam a altura pela área da base. Não se sabe como os egípcios chegaram a esses resultados.
3.2. A Matemática na Mesopotâmia
3.2.1. Introdução
Ao nos referirmos à Matemática na Mesopotâmia, também conhecida como a Matemática da Babilônia, estamos querendo dizer do tipo de Matemática cultivada na região entre os rios Eufrates e Tigre, grosso modo corresponde ao Iraque de hoje em dia. Há relativamente pouco tempo, o que sabíamos da Matemática da Babilônia eram apenas informações esparsas da literatura grega clássica. De acordo com essas referências, supomos que os babilônios tinham algum tipo de misticismo numérico ou numerologia. Hoje sabemos que não era só isso. No final do século XIX, arqueólogos começaram a escavar a região da Mesopotâmia. As escavações forneceram, entre outras coisas, milhares de tabletes de argila com inscrições que foram reconhecidas lidarem com números em alguns deles. Somente há algumas décadas que se chegou à compreensão da Matemática Babilônia.
Temos à disposição mais de 400 tabletes ou fragmentos de tabletes de conteúdo matemático que foram copiados, traduzidos e explicados em alguns volumes. Os tabletes estão guardados em museus e coleções de vários países. Um tablete intacto é aproximadamente do tamanho de uma mão e datam de cerca de 1700 A.C. A escrita é conhecida pelo nome de cuneiforme.
3.2.2. O sistema numérico babilônio
Os babilônios usavam o que podemos chamar de sistema numérico sexagesimal. É um sistema de numeração posicional onde são usados 59 símbolos, mais um espaço em branco que faria o papel do zero. Nesse tipo de sistema, se um símbolo A for colocado à esquerda de outro símbolo B, então o valor absoluto de A é 60 vezes o valor absoluto de B. É um sistema semelhante ao nosso sistema decimal só que no lugar de 10, eles usavam 60. Ninguém sabe justificar o porquê da escolha do 60. Talvez seja porque 60 tem muitos divisores inteiros.
3.2.4. Alguns textos babilônios
A seguir, apresentamos alguns textos que dão uma ideia da Matemática que era utilizada na antiga Babilônia. Basicamente, os textos daquela época podem ser classificados em duas classes: textos de tabelas e textos de problemas. Texto 1: Somei a área e dois terços do lado do meu quadrado, e o resultado
é 0;35. Tome 1, o “`coeficiente”. Dois terços de 1, o coeficiente, é 0;.
Metade disso, 0;20 , você multiplicará por 0;20 (e o resultado) que é
0;6,40 , você adicionará a 0;35 , e (o resultado) 0;41,40 , tem raiz
quadrada 0;50. Multiplique 0;20 por ele próprio e subtraia (o resultado)
de 0;50 , e 0;30 é (o lado) do quadrado.
Este exemplo enuncia e determina a raiz da equação quadrática
x^2 +^2 x
Note que um dos primeiros passos na resolução é transformar
no seu
equivalente sexagesimal que é 0;40. Se seguirmos a resolução passo a
passo seremos levados ao seguinte resultado
2
⎟ +^ −
x ⎛
De um modo geral, os babilônios sabiam como resolver a equação
x^2 + px = q de forma equivalente ao que seria com a utilização da fórmula
2
x p + q −^ p
Naquela época, não havia preocupação em se demonstrar fórmulas de modo que não sabemos a origem desse tipo de resultado.
Texto 2: Em um tablete semelhante ao da figura a seguir,
podemos ver um quadrado e suas duas diagonais.
Vemos também três números a = 30 , b =1;24,51,10 e
c =42;25,35escritos no quadrado. Se a representar a medida
do lado do quadrado como sugerido pela figura e c for a
diagonal, então, como c = ab e c = a 2 , devemos ter que b é
uma aproximação para 2. Isso está correto porque
b^2 = (1;24,51,10)^2 =1;59,59,59,38,1,40 que na notação
decimal corresponde a
1 + 59 × 60 −^1 + 59 × 60 −^2 + 59 × 60 −^3 + 38 × 60 −^4 + 1 × 60 −^5 + 40 × 60 −^6
= que é muito próximo de 2.
Os babilônios sabiam que a diagonal de um quadrado é 2 vezes o
seu lado. Isso mostra que eles tinham conhecimento pelo menos de um caso especial do Teorema de Pitágoras, só que uns 1200 anos antes da era em que Pitágoras viveu.
Texto 3: Em outros tabletes, podemos deduzir que os babilônios conheciam o enunciado geral do Teorema de Pitágoras. Por exemplo, no seguinte texto: (Em) um trapézio 30 é o comprimento, 30 o segundo comprimento, 50 a largura superior, 14 a largura inferior. 30 vezes 30 é 15, 0. Subtraia 14 de 50 e o resto é 36. Metade disso é 18. 18 vezes 18 é 5, 24. Subtraia 5, 24 de 15, 0 e o resultado é 9, 36. O que deveríamos multiplicar por si próprio para que o resultado seja 9, 36? 24 vezes 24 é 9, 36. 24 é a reta divisora. Adicione 50 e 14, as larguras, e (o resultado é) 1,4. Metade disso é 32. Multiplique por 24, a reta divisora, por 32, e (o resultado) é 12, 48 Este exemplo calcula a área de um trapézio isósceles de lados
l = 30 , B = 50 (base maior) e b = 14 (base menor). O primeiro passo é
calcular a projeção de l em B que é igual a = 18
x = B −^ b. Depois, é
calculada a altura (que o texto chama de “reta divisora”):
h = l^2 − x^2 = 15,0−5,24= 9,36= 24. Por fim, a área do trapézio é
calculada pela fórmula =12,
A = h × B + b.
3.2.5. Conclusão
Uma das partes principais da Matemática da Babilônia era a utilização do sistema posicional sexagesimal que fez com que os babilônios se tornassem excelentes calculistas. Quanto aos conhecimentos geométricos, os babilônios usavam sem restrições o Teorema de Pitágoras. Sendo assim, a descoberta desse Teorema precede Pitágoras em mais de um milênio. Além de conhecerem fórmulas para o cálculo de áreas de figuras geométricas simples, eles também conheciam aproximções grosseiras para o número π no cálculo da área e do perímetro de um círculo. Eles sabiam que π era aproximadamente igual a
3. Sendo assim, diversos textos mostram o alto grau de sofisticação da
Matemática da Babilônia.
3.3. Matemática Grega Antiga
A atividade intelectual das civilizações do Egito e da Mesopotâmia deixaram de contribuir com novos resultados matemáticos bem antes da era cristã. Enquanto a cultura dos vales dos rios ia declinando e o bronze foi cedendo lugar ao ferro na fabricação de armas, vigorosas culturas novas foram surgindo ao longo do litoral do mar Mediterrâneo. Os gregos (também chamados helenos) foram se estabelecendo ao longo das costas do Mediterrâneo a partir de 2000 A.C. Os primeiros jogos olímpicos realizaram-se em 776 A.C. e, nesse tempo, uma maravilhosa literatura grega já tinha se desenvolvido, evidenciada pelas obras de Homero e Hesíodo. Durante o sexto século A.C., apareceram dois homens, Tales de Mileto (624-548 A.C.) e Pitágoras de Samos (580-500 A.C.), que tiveram na
Quando retornou ao mundo grego, Pitágoras estabeleceu-se em Crotona, na costa do que hoje é a Itália, mas que na época dele era chamada Magna Grécia. Lá, ele fundou uma sociedade secreta que se assemelhava a uma seita religiosa, exceto pelas seus princípios que eram filosóficos e matemáticos.
Várias biografias de Pitágoras foram escritas na antiguidade, mas todas se perderam. Uma dificuldade que temos para caracterizar a obra de Pitágoras foi que a escola que ele fundou era comunitária, além de secreta. Conhecimento e propriedade eram bens comunitários, de forma que a atribuição de novas descobertas não era feita a um membro específico. Por isso, às vezes é conveniente falar da contribuição dos pitagóricos, em vez de contribuição de Pitágoras. A escola pitagórica era politicamente conservadora e tinha um código rígido de conduta. O vegetarianismo era obrigatório para seus membros. As palavras “filosofia” (ou “amor à sabedoria”) e “matemática” (ou “o que é aprendido”) supõe-se terem sido criadas pelo próprio Pitágoras para descrever suas atividades intelectuais. Os pitagóricos desempenharam um papel extremamente importante na história da Matemática. No Egito e na Mesopotâmia, a aritmética e a geometria eram essencialmente exercícios de aplicação de processos numéricos a problemas do dia-a-dia. Para os pitagóricos, a Matemática se relacionava mais com o amor à sabedoria do que com as exigências da vida prática. O lema da escola pitagórica era “Tudo é número”. Percebe-se nesse lema uma forte afinidade com a Mesopotâmia para os quais associavam medidas numéricas a tudo o que os cercavam, desde os movimentos dos astros no céu até os valores dos escravos. Até mesmo o teorema a que o nome de Pitágoras está ligado muito provavelmente veio dos babilônios. Resolveu-se chamá-lo de Teorema de Pitágoras porque os pitagóricos foram os primeiros a dar uma demonstração dele. Em 1940, o matemático norte- americano E. S. Loomis publicou um livro com 370 demonstrações distintas do Teorema de Pitágoras. Um dos problemas que mais interessava aos pitagóricos era a construção de pentagramas ou pentágonos estrelados. Se iniciarmos com um
pentágono regular ABCDE e traçarmos suas cinco diagonais, essas
diagonais se cortam em pontos que formam outro pentágono regular
A ′ B^ ′ C ′ D ′ E ′.
Cada um dos pontos A ′^ , B ′^ , C ′^ , D ′^ e E ′^ divide as diagonais de
um modo notável. Cada um deles divide uma diagonal em dois segmentos de comprimentos desiguais, tais que a razão da diagonal toda para o maior é igual à razão deste para o segmento menor. Se considerarmos na figura, por
exemplo, a diagonal AC , então temos que AC está para E ′ C^ assim como
E ′ C está para AE ′^ , ou seja,
AE
E C
EC
AC
=. ( Essa subdivisão de segmentos
é a bem conhecida “seção áurea” de um segmento -- mas esse nome só foi usado dois mil anos depois dos pitagóricos ). Essas proporções podem ser deduzidas a partir das semelhantes entre vários triângulos desenhados no
pentágono, tais como os triângulos ABC e ABE ′^.
Na Grécia, a palavra número era utilizada apenas para denominar os inteiros. Uma fração não era considerada uma entidade única, mas como uma razão ou relação entre inteiros. Os pitagóricos tratavam alguns inteiros com certo misticismo. O número um, diziam eles, é o gerador de todos os outros e era o número da razão; o dois era considerado o primeiro feminino e era o número da opinião; o três era o primeiro número verdadeiramente masculino e era o número da harmonia; quatro era o número da justiça; cinco era o número do casamento (que era a união dos dois primeiros números considerados verdadeiramente masculino e feminino); seis era o número da criação; o sete era objeto de especial respeito por causa dos sete planetas conhecidos (por isso, a semana hoje tem sete dias). O número que era mais sagrado era o dez que era considerado o número do universo, inclusive era a soma de todas as possíveis dimensões geométricas ( um ponto gera as dimensões, dois pontos geram uma reta, três pontos geram um triângulo e
quatro pontos geram um tetraedro. Daí, 1 + 2 + 3 + 4 = 10 seria o número
mais sagrado ). Além desses, havia toda uma classificação para determinadas
sequências de números. Por exemplo, os números da forma
n ( n +1) como
3,6,10,15, " eram chamados de triangulares e os da forma
n (3 n −1)
como 5,12,22," eram chamados pentagonais.
Pitágoras tomou conhecimento na Mesopotâmia das três médias aritmética, geométrica e subcontrária (posteriormente denominada harmônica). Os pitagóricos generalizaram isso acrescentando mais 7
definições para ficar com um total de 10 tipos de médias. Se a e c são dois
números tais que a < c , então define-se b como sendo a média de a e c
através de uma das seguintes relações:
Tirando-se o valor de b em função de a e c nas três primeiras
equações, obtemos:
b = a +^ c , b = ac e
a c
b ac
= 2 que são as expressões
conhecidas para as médias aritmética, geométrica e harmônica entre a e c ,
respectivamente.
b
c
c b
b a
a
c
b a
c a
a
c
c b
c a
a
b
b a
c a
a
b
c b
c a
a
a
c b
b a
b
a
c b
b a
c
a
c b
b a
a
c
c b
b a
a
b
c b
b a
- Na figura ao lado, a área do quadrado maior é igual à soma dos dois quadrados e dos dois retângulos menores, isto é,
( a + b )^2 = a^2 + 2 ab + b^2. Fica ilustrado dessa forma o quadrado da soma de
dois números.
- O retângulo ABCD tem a mesma área que o polígono
GBFJIH. Portanto, ( a + b )( a − b )= a^2 − b^2.
3.3.4. A era de Platão
No século IV A.C., os matemáticos da época não estavam espalhados pelo mundo grego como os do século anterior. Eles se associaram à Academia de Platão, em Atenas. Embora o próprio Platão não tenha dado contribuição significativa a resultados matemáticos técnicos, ele era o centro da atividade matemática da época e era quem guiava e inspirava o seu desenvolvimento. Acima da porta de sua escola podia-se ler “Que ninguém que ignore a geometria entre aqui”. Seu entusiasmo pelo assunto fez com que se tornasse conhecido não como matemático, mas como “criador de matemáticos”. A Pitágoras é atribuído ter tornado a Matemática uma disciplina liberal, mas Platão teve grande influência para que se tornasse parte essencial do currículo para a educação de homens de estado. Uma contribuição de Platão foi no que podemos chamar “método analítico”. Em uma demonstração matemática, começa-se com o que é dado, ou de modo geral, nos axiomas e postulados. Avançando passo a passo, chega-se à afirmação a ser provada. Outro caminho aceitável em uma demonstração seria começar com a proposição a ser provada e, a partir dela, deduzir algo que seja reconhecido como válido; se, nesse caso, for possível inverter os passos desse raciocínio, então o resultado é uma demonstração da proposição. As ideias pitagóricas sobre poliedros regulares foram adotadas por Platão. Há somente cinco poliedros regulares (aqueles cujas faces são polígonos regulares congruentes e têm ângulos iguais em todos os vértices) que são o tetraedro (4 faces triangulares), cubo (6 faces quadradas), octaedro (8 faces triangulares), dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro ( faces triangulares). Esses poliedros são conhecidos hoje em dia como Poliedros de Platão. Eudoxo de Cnido, viveu na primeira metade do século IV A.C. e é
considerado o melhor matemático da sua época, apesar de todos os escritos de todos os seus trabalhos terem se perdido. É atribuído a ele uma estimativa para o cálculo da circunferência da Terra como sendo 6000 km (na época, citados como “40000 estados”) e a afirmação de que o diâmetro do Sol era nove vezes o diâmetro da Terra. Seus discípulos obtiveram vários resultados com as curvas que hoje em dia denominamos de cônicas.
3.3.5. Os Elementos de Euclides
Não conhecemos nada com certeza sobre Euclides, a não ser seus trabalhos que ficaram preservados. Estima-se que ele tenha vivido durante o reinado de Ptolomeu I do Egito (304-285 A.C.). Assim, podemos dizer que ele viveu por volta de 300 A.C.
Sua obra mais importante, “Os Elementos” , consiste de um conjunto de 13 livros. A simples tradução desses textos formaria um grande volume impresso. Nesses 13 livros, Euclides descreve todo o conhecimento matemático da sua época. Seu grande feito foi a apresentação do material de uma forma bela, organizada e harmoniosa. Os conteúdos dos 13 livros são:
- Construções elementares, congruências, áreas, teorema de Pitágoras
- Álgebra geométrica
- Geometria do círculo
- Construção de alguns polígonos regulares
- Teoria das proporções de Eudoxo
- Figuras semelhantes
- Teoria dos números
- Teoria dos números (continuação)
- Teoria dos números (continuação)
- Classificação de certos irracionais
- Geometria espacial, volumes
- Áreas e volumes calculados pelo método da exaustão (integração)
- Construção dos cinco sólidos regulares
Uma olhada rápida no índice de livros acima dá uma ideia da amplidão do trabalho de Euclides. A maioria trata do estudo da geometria, os livros 2 e 10 são de natureza algébrica e os livros 7, 8, 9 tratam do ramo da
seja, se os axiomas forem verdadeiros, então o mesmo acontece com todos os teoremas subsequentes. Depois que enunciou os postulados e axiomas da geometria, Euclides demonstrou vários teoremas a partir deles. Os cinco primeiros teoremas demonstrados foram os seguintes:
Teorema 1: Paralelogramos com a mesma base, situados entre duas retas paralelas dadas, têm a mesma área.
Teorema 2: Triângulos que têm a mesma base e estão situados entre retas paralelas são iguais (ou seja, têm a mesma área).
Teorema 3: Se um paralelogramo e um triângulo têm a mesma base e estão situados entre duas paralelas dadas, então a área do paralelogramo tem duas vezes a área do triângulo.
Teorema 4: Em qualquer paralelogramo, os complementos dos paralelogramas construídos sobre a diagonal do paralelogramo dado são iguais (em área).
Teorema 5: (Teorema de Pitágoras) Em triângulos retângulos, a área do quadrado construído sobre o lado que subentende o ângulo reto (isto é, a hipotenusa) é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os lados que contêm o ângulo reto.
3.3.6. Arquimedes de Siracusa
Nenhum tratado de Matemática clássica supera os trabalhos de Arquimedes em importância dos assuntos e elegância de estilo. Isso já era reconhecido na antiguidade. Eis como Plutarco (que viveu na segunda metade do primeiro século D.C.) se refere aos trabalhos de Arquimedes: Não é possível encontrar em toda a geometria problemas mais difíceis e complicados, ou explicações mais simples e lúcidas. Alguns atribuem isso à sua genialidade; enquanto outros acham que foram produzidos por esforço e trabalho incríveis, embora aparentemente sejam resultados fáceis e obtidos sem esforço.
Durante toda a chamada Idade Helenística, o centro da atividade matemática permaneceu em Alexandria. Mas o maior matemático desse tempo e de toda a antiguidade viveu e morreu em Siracusa, apesar de ter estudado por algum tempo em Alexandria. Enquanto “Os Elementos” de Euclides são uma compilação dos resultados conhecidos na época, cada um dos livros de Arquimedes é uma
Esse resultado foi obtido calculando-se os polígonos de 96 lados que podem ser inscritos e circunscritos a uma circunferência. Sua aproximação (por
excesso) que é mais conhecida é a fração 22/7. O número π também
costuma ser denominado “constante de Arquimedes”. No livro “Sobre as espirais” ele estuda a curva que chamamos hoje em dia de “espiral de Arquimedes” (na figura a seguir). Se uma reta que
passa por um ponto O gira uniformemente em torno de O , como o ponteiro
de um relógio, e um ponto P se move uniformemente sobre essa reta, então
P traçará uma espiral deste tipo. Sua equação em coordenadas polares é
r = a ⋅ θ, θ ≥ 0.
No livro “A quadratura da parábola”, ele demonstrou que a área de um segmento de parábola é quatro terços da área de seu triângulo inscrito de maior área. Um segmento de parábola é a região delimitada por um arco de parábola e uma reta que não seja paralela ao seu eixo de simetria. Arquimedes gostou tanto desse teorema que chegou a demonstrá-lo de três maneiras distintas.
Em “O Método”, Arquimedes aplica certos métodos mecânicos muito parecidos com o cálculo integral de hoje em dia a uma variedade de problemas com resultados impressionantes. Se fizermos a figura a seguir girar em torno da linha pontilhada de uma volta completa, geraremos um cone inscrito em um hemisfério, o qual, por sua vez, está inscrito em um cilindro.
Os volumes desses três sólidos estão na razão 1 : 2 : 3 , ou seja, o
volume do hemisfério é duas vezes o volume do cone e o volume do cilindro é três vezes o volume do cone. Arquimedes se sentia tão orgulhoso com esse teorema que desejava que uma esfera, um cilindro circunscrito e sua razão
2 : 3 fossem gravados em seu túmulo. E seu desejo foi satisfeito. Quando
Cícero foi governador da Sicília, achou o túmulo de Arquimedes abandonado e o restaurou. Parte da fama de Arquimedes na antiguidade era devido às suas muitas invenções. Por exemplo, a polia composta foi usada em máquinas de guerra na época e mostra sua grande percepção teórica no ramo da Mecânica que hoje denominamos Estática. Além disso, inventou o parafuso sem fim -- um engenho que é utilizado ainda hoje em dia para elevar água. Arquimedes foi morto aos 75 anos em 12 A.C. durante o saque a Siracusa pelos romanos.
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Unidade II - A Matemática na China, Índia e Arábia
1. Situando a temática
Nesta unidade fazemos um breve estudo da Matemática que foi desenvolvida pelos antigos povos do oriente: antigos chineses, hindus e árabes.
2. Problematizando a temática
Nos séculos que antecederam a Idade Média, o estudo e desenvolvimento das ideias matemáticas ficou em evidência nos povos da China, Índia e Arábia. Esses povos não só absorveram os conhecimentos de povos mais antigos, como também contribuíram com novas idéias. O nosso sistema de numeração posicional é proveniente dessa época.
3. Conhecento a temática
3.1. Matemática na chinesa antiga
As civilizações da China e da Índia são muito mais antigas do que as da Grécia, mas não mais do que as do Egito ou da Mesopotâmia. Algumas avaliações colocam as primeiras civilizações da China por volta do ano 1000 A.C. O mais influente livro de Matemática chinês foi o Chuí-Chang Suan-Shu , ou seja, “Nove capítulos sobre a arte matemática”. Esse livro contém 246 problemas sobre medidas de terras, agricultura, engenharia, impostos, cálculos, soluções de equações e propriedades dos triângulos retângulos. Enquanto nessa mesma época os gregos estavam elaborando trabalhos logicamente ordenados e sistemáticos, os chineses repetiam o velho hábito dos babilônios e egípcios de compilar coleções de problemas específicos. Apesar de terem muita coisa em comum com os egípcios da época (como o método da falsa posição para resolver equações), tudo indica que a origem da Matemática chinesa é independente de influências ocidentais. Nas obras chinesas, são usados resultados corretos para as áreas de triângulos, retângulos e trapézios. A área do círculo era calculada tomando
três quartos do quadrado do diâmetro ( 2
A = d ) ou também um dozeavos
do quadrado da circunfência ( 2
A = C ) -- resultados corretos se
adotarmos a aproximação 3 para π. Há problemas resolvidos pela regra de
três e também são encontrados os cálculos de raízes quadradas e cúbicas.”Nove capítulos” é significativo também por conter soluções de
