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A linguagem matem´atica
Ricardo Bianconi
1 o^ Semestre de 2002
1 Introdu¸c˜ao
O objetivo deste texto ´e tentar explicar a linguagem matem´atica e o racioc´ınio l´ogico por tr´as dos textos matem´aticos. Isto n˜ao ´e uma tarefa f´acil, pois depende de um refinamento do racioc´ınio l´ogico do dia a dia e do aprendizado de uma linguagem que n˜ao ´e a do dia a dia. Basta comparar um texto matem´atico com um mais liter´ario que vemos como ´e estranha a linguagem. N˜ao se deve desanimar com as dificuldades que vamos encontrar. O desenvolvimento do entendimento ´e gradual e depende da experiˆencia de cada leitor ou leitora. Em matem´atica, todas as palavras tˆem um sentido preciso. Por isso, faz-se necess´ario que conhe¸camos seus significados. Vamos come¸car com a parte chamada de proposicional. Vamos esclarecer express˜oes como “se ... ent˜ao...”, “... e... ”, “... ou... ”, “... se, e somente se,... ”, “... sempre que ...,” “condi¸c˜ao necess´aria”, “condi¸c˜ao suficiente”, “condi¸c˜ao necess´aria e suficiente”, “equivalente”, “portanto” e assim por diante. Na gram´atica portuguesa, estas s˜ao palavras ou express˜oes chamadas de conjun¸c˜oes, que s˜ao usadas para ligar duas frases ou ora¸c˜oes para obter uma ora¸c˜ao mais complexa. Frases s˜ao as ora¸c˜oes mais simples, da forma sujeito-verbo-predicado, que podem ser apresentadas diretamente (por exemplo “f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua”) ou de uma maneira imperativa (por exemplo “sf seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua”). Podemos ter tamb´em frases do tipo sujeito-verbo (como em “existe uma fun¸c˜ao cont´ınua”, em que o sujeito ´e a express˜ao “uma fun¸c˜ao cont´ınua” e o verbo ´e “existe”). O verbo “existir” tamb´em pode ser usado para criar ora¸c˜oes compostas, como em “Existe uma fun¸c˜ao f , tal que f ´e cont´ınua e n˜ao deriv´avel em x = 0”, em que o sujeito ´e a ora¸c˜ao composta “uma fun¸c˜ao f , tal que f ´e cont´ınua e n˜ao deriv´avel em x = 0”. Este verbo ser´a tratado com mais detalhes na se¸c˜ao sobre quantifica¸c˜ao. Uma ora¸c˜ao pode estar afirmando um fato correto (verdadeiro) ou errado (falso) em matem´atica. Nas frases como em “f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua”, a veracidade depende de qual fun¸c˜ao a letra f representa. Uma vez que saibamos se estas frases s˜ao verdadeiras ou falsas, podemos determinar a veracidade de ora¸c˜oes compostas a partir de frases, usando as conjun¸c˜oes acima.
2 A linguagem “proposicional”
2.1 “E”, “ou”, “n˜ao”
Comecemos com a conjun¸c˜ao “e”. Suponhamos que as letras A e B representem ora¸c˜oes. A veraci- dade da ora¸c˜ao “A e B” s´o ocorre quando cada ora¸c˜ao A ou B ´e verdadeira. Por exemplo “x > 0 e x^2 ≤ 4” s´o ´e verdadeira quando ambas as frases x > 0 e x^2 ≤ 4 forem verdadeiras. (A veracidade desta duas frases depende do valor atribu´ıdo `a vari´avel x.) A conjun¸c˜ao “ou” em matem´atica sempre tem a conota¸c˜ao de “ou n˜ao exclusivo”, o que geral- mente n˜ao ocorre na linguagem natural do dia a dia. Por exemplo, “x < 0 ou x^2 ≥ 4” s´o ´e verdadeira quando pelo menos uma das frases x < 0 ou x^2 ≥ 4 for verdadeira. Pode ocorrer que ambas sejam verdadeiras. A conjun¸c˜ao “n˜ao” ´e simples; “n˜ao A” ´e verdadeira quando A for falsa e vice-versa. Podemos representar a veracidade ou falsidade de proposi¸c˜oes com as chamadas tabelas-verdade. Na primeira linha listamos as proposi¸c˜oes b´asicas (denominadas por letras A, B, etc.) e as mais complexas (como, por exemplo, A ∧ B, que significa “A e B”). Nas linhas seguintes listamos V (para “verdadeira”) e F (para “falsa”). Veja a tabela 1.
A B A ∧ B A ∨ B ¬A V V V V F V F F V F F V F V V F F F F V
Tabela 1: Tabelas-verdade das conjun¸c˜oes “e” (∧), “ou” (∨) e “n˜ao” (¬).
Vamos ver alguns exemplos em que estas conjun¸c˜oes ocorrem.
Sejam β, o plano da cˆonica; α, o plano contendo a circunferˆencia da intersec¸c˜ao de uma das esferas com o cone; F , o foco correspondente a esta esfera e d a diretriz.
Neste caso, temos uma ora¸c˜ao do tipo A ∧ B ∧ C ∧ D, sendo que A ´e “seja(m) β, o plano da cˆonica”que ´e o mesmo que dizer “β ´e o plano da cˆonica”; B ´e “α (´e) o plano contendo a circunferˆencia da intersec¸c˜ao de uma das esferas com o cone”, C ´e “F (´e) o foco correspondente a esta esfera” e D ´e “d a diretriz”. Nestas frases o verbo “ser” foi omitido, mas est´a subentendido. Vejamos outro exemplo.
A equa¸c˜ao final pode ser da forma c^2 t^2 − d^2 w^2 = 0, ou da forma c^2 t^2 + d^2 w^2 = 0, ou da forma c^2 t^2 + d^2 w^2 + p^2 = 0.
- se A, ent˜ao B;
- A ⇒ B;
- A implica B;
- ¬B ⇒ ¬A;
- ¬A ∨ B (fa¸ca a tabela-verdade);
- B, sempre que A (sempre que A ocorre, ent˜ao B tamb´em deve ocorrer);
- B, se A;
- B ⇐ A;
- A, somente se B (se B n˜ao ocorre, ent˜ao A n˜ao pode ocorrer);
- A e, portanto, B;
- A ´e condi¸c˜ao suficiente para B (supondo a implica¸c˜ao verdadeira, basta que A seja verdadeira para que possamos concluir que B ´e verdadeira);
- B ´e condi¸c˜ao necess´aria para A (supondo a implica¸c˜ao verdadeira, se B for verdadeira, A tem que necessariamente ser verdadeira). Vamos ver alguns exemplos. Se F 1 e F 2 s˜ao os focos da elipse E, ent˜ao, variando o ponto P em E, P F 1 +P F 2 ´e constante. Neste caso temos uma implica¸c˜ao A ⇒ B, sendo que A ´e a afirma¸c˜ao “F 1 e F 2 s˜ao os focos da elipse E” e B ´e a afirma¸c˜ao “variando o ponto P em E, P F 1 + P F 2 ´e constante”. Vamos ver mais um exemplo. ... isto implica que ´e uma tangente
a par´abola. Neste caso temos uma implica¸c˜ao A ⇒ B, sendo que A ´e “isto” (referindo-se a uma afirma¸c˜ao anterior) e B ´e “´e uma tangentea par´abola” (em que o sujeito est´a oculto e refere-se a um objeto mencionado anteriormente).
2.3 Equivalˆencia
Duas proposi¸c˜oes A e B s˜ao equivalentes se ambas s˜ao verdadeiras ou ambas s˜ao falsas. Denotamos “A ´e equivalente a B” por A ⇔ B. Usamos esta flecha dupla porque A ⇔ B ´e a mesma coisa que (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A). Em portuguˆes, isto ´e escrito da forma “A se, e somente se, B”, o que pode ser escrito como “A, se B e A somente se B”, ou “A ´e condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para B”. Em termos de tabela-verdade, veja a tabela 3. Um exemplo.
A B A ⇔ B
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabela 3: Tabela-verdade da implica¸c˜ao.
e = 1 se, e somente se, a cˆonica ´e uma par´abola.
Aqui temos A ⇔ B, sendo A a frase e = 1 (ou seja, “e ´e igual a 1”) e B ´e “a cˆonica ´e uma par´abola”. Este exemplo poderia ser reescrito da forma:
Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a cˆonica seja uma par´abola ´e que e = 1.
3 Quantifica¸c˜ao
Vamos tratar agora da quantifica¸c˜ao. Aqui vamos estudar o papel do verbo “existir” e da express˜ao “para todo”. Estas express˜oes permitem construir afirma¸c˜oes sobre a quantidade de elementos que satisfazem uma certa propriedade (por isso chamamos de “quantifica¸c˜ao”).
3.1 Existe
O uso do verbo “existir” ´e sempre da forma “existe (pelo menos um) X, tal que A(X)”, sendo que A(x) ´e uma propriedade de X. Por exemplo, “existe x, tal que x ∈ R ∧ x^2 = 2”, que ´e da forma “existe x, tal que A(x)”, sendo A(x) a propriedade “x ∈ R ∧ x^2 = 2”. As vezes “` existe x, tal que A(x)” ´e escrito como ∃x A(x). A veracidade ou falsidade da afirma¸c˜ao “x ∈ R ∧ x^2 = 2” depende de que elemento est´a sendo representado pela letra x. No entanto a afirma¸c˜ao “existe x, tal que x ∈ R∧x^2 = 2)” que ´e verdadeira, pois podemos citar pelo menos um exemplo, x =
2, tal que x ∈ R e x^2 = 2.
3.2 Para todo
Outro tipo de afirma¸c˜ao de quantidade ´e da forma “para todo, x (vale) A(x)”, o que `as vezes ´e denotado como ∀x A(x), como, por exemplo, “para todo x, vale x ∈ R ⇒ x^2 ≥ 0”, ou ∀x (x ∈ R ⇒ x^2 ≥ 0). Uma afirma¸c˜ao da forma “para todo X, (vale) A(X)” ser´a verdadeira se a propriedade A(X) for verdadeira, n˜ao importa o que X representa. No exemplo “para todo x, vale x ∈ R ⇒ x^2 ≥ 0”, a propriedade A(x) ´e “x ∈ R ⇒ x^2 ≥ 0”, que ´e sempre verdadeira (pois se x 6 ∈ R, a implica¸c˜ao
Agora, para dizer que “existem exatamente trˆes elementos x, tais que A(x)”, significa dizer que “existem pelo menos trˆes elementos x, tais que A(x), e para todo elemento y, tal que A(y), y deve ser um dos xi”. Ou seja, em s´ımbolos: ∃x 1 ∃x 2 ∃x 3 [A(x 1 ) ∧ A(x 2 ) ∧ A(x 3 ) ∧ ∀y(A(y) ⇒ (y = x 1 ∨ y = x 2 ∨ y = x 3 ))].
4 Teoremas e demonstra¸c˜oes
Essencialmente, todos os resultados em matem´atica (ou seja, afirma¸c˜oes que podem ser chamados de teoremas, ou de proposi¸c˜oes, ou de lemas, dependendo do gosto de quem escreve) s˜ao da forma hip´otese(s) implica(m) tese. Dito de outra maneira, os resultados s˜ao da forma: partindo de alguns pressupostos (hip´oteses) posso concluir a tese. Quais s˜ao estes pressupostos? Eles podem estar explicitamente escritos no enunciado do resul- tado ou subentendidos. Por exemplo, n˜ao vamos escrever toda a hora os axiomas da teoria que estamos estudando. Eles s˜ao automaticamente assumidos como hip´oteses. Resultados provados an- teriormente tamb´em podem ser assumidos como hip´oteses. (A menos que haja men¸c˜ao expl´ıcita de que n˜ao devam ser usados!) O processo de demonstrar um resultado basicamente ´e partir dessas hip´oteses e, mediante raci- oc´ınios elementares, ir obtendo conclus˜oes intermedi´arias, at´e chegar `a conclus˜ao desejada. Uma demonstra¸c˜ao ´e uma lista de evidˆencias de que a afirma¸c˜ao do teorema ´e verdadeira. Mas quais s˜ao esses racioc´ınios elementares? Como devem ser apresentadas as evidˆencias da veracidade de um enunciado? Vamos tentar descrevˆe-los a partir de alguns exemplos, e depois faremos um sum´ario com todos eles. (1) A primeira t´ecnica ´e passar do geral para o particular:
Todos os homens s˜ao mortais. S´ocrates ´e um homem. Portanto S´ocrates ´e mortal.
Todos j´a devem ter ouvido estas trˆes frases. A primeira ´e uma afirma¸c˜ao geral sobre os homens, dando uma propriedade que vale para todos os homens, de serem mortais. A segunda d´a um exemplo particular de homem, S´ocrates. E a terceira conclui que este exemplo particular tamb´em tem a propriedade de ser mortal. Vejamos um exemplo mais matem´atico.
Todas as circunferˆencias s˜ao elipses. x^2 + y^2 = 1 ´e uma circunferˆencia. Portanto x^2 + y^2 = 1 ´e uma elipse.
Vamos analisar alguns exemplos do C´alculo Diferencial.
Toda fun¸c˜ao deriv´avel ´e cont´ınua. O seno ´e fun¸c˜ao deriv´avel. Portanto o seno ´e fun¸c˜ao cont´ınua.
(2) A segunda seria o oposto, generalizando uma propriedade. Aqui temos que ter mais cuidado. N˜ao basta termos verificado uma afirma¸c˜ao para um caso particular para concluir o geral. Por exemplo, se obtivermos uma propriedade que valha para a func˜ao seno, n˜ao podemos deduzir que valer´a para todas as fun¸c˜oes. (Um exemplo mais espec´ıfico: sabemos que a fun¸c˜ao seno tem a propriedade sen (x + 2 π) = sen (x); deste caso particular seria errado concluir que toda fun¸c˜ao f tem a propriedade f (x + 2 π) = f (x). Poderemos apenas concluir que existe f tal que f (x + 2 π) = f (x).) Mas se chegarmos a uma conclus˜ao usando um s´ımbolo para um elemento arbitr´ario, que n˜ao seja espec´ıfico, ent˜ao poderemos concluir que valer´a para todos os elementos no contexto em quest˜ao. Por exemplo, para provar que toda fun¸c˜ao deriv´avel ´e cont´ınua, consideramos uma fun¸c˜ao arbi- tr´aria f , e faremos as contas que permitem concluir que f ser´a cont´ınua. Da´ı vem a famosa frase: “como f ´e arbitr´aria, isto vale para toda f .” N˜ao foi especificado qual era tal f , mas foi usado este s´ımbolo para denotar cada f deriv´avel.
(3) A terceira permite concluir a tese a partir de uma implica¸c˜ao e a verifica¸c˜ao de sua hip´otese. Se valer uma implica¸c˜ao “Hip´otese implica Tese” e se valer a “Hip´otese” ent˜ao conclu´ımos que vale a “Tese.” Vejamos um exemplo:
Hav´ıamos concluido anteriormente que: se o seno for deriv´avel ent˜ao o seno ser´a cont´ınuo. Hav´ıamos tamb´em concluido que: o seno ´e deriv´avel. Portanto, conclu´ımos que: o seno ´e cont´ınuo.
(4) Equivalˆencias l´ogicas. Aqui, basicamente, substituimos uma frase por outra equivalente. Por exemplo:
A frase: “se f ´e deriv´avel ent˜ao f ´e cont´ınua” ´e equivalente a “ou f ´e cont´ınua ou f n˜ao ´e deriv´avel.”
5 Analisando demonstra¸c˜oes
Vamos, agora, juntar tudo o que vimos anteriormente para analisar e entender uma demonstra¸c˜ao. Primeiro, devemos encarar uma demonstra¸c˜ao como um conjunto organizado de evidˆencias de que o enunciado do teorema em quest˜ao est´a correto. Nos livros omitem-se muitos passos considerados ´obvios pelo autor (ou, pelo menos, f´aceis de serem descobertos). Cada passo da demonstra¸c˜ao deve ser uma das seguintes:
- Citar uma hip´otese.
(1) Uma primeira condi¸c˜ao para que haja solu¸c˜ao ´e que os denominadores n˜ao se anulem. Por isso conclu´ımos que x 6 = 1 e x 6 = 6. (2) Precisamos eliminar os denominadores, fazendo a “multiplica¸c˜ao cruzada,” ou seja, multipli- car ambos os membros da desigualdade por (x − 1)(x − 6). Mas, temos que tomar cuidado com o sinal deste fator, pois a propriedade da ordem que trata de multiplica¸c˜ao dos dois lados da desigual- dade requer que o fator seja positivo. Por isso, devemos dividir em dois casos: (x − 1)(x − 6) > 0 e (x − 1)(x − 6) < 0. (3) Se (x − 1)(x − 6) > 0, conclu´ımos que ou (x − 1) > 0 e (x − 6) > 0 donde x > 6, ou (x − 1) < 0 e (x − 6) < 0, donde x < 1. Portanto, se x > 6 ou x < 1, multiplicando ambos os membros da desigualdade por (x − 1)(x − 6), conclu´ımos que
(x + 1)(x − 6) < (x + 2)(x − 1).
(4) Ainda sob as hip´oteses x < 1 ou x > 6, vamos resolver a desigualdade acima. Usando a propriedade distributiva, conclu´ımos que
x^2 − 5 x − 6 < x^2 + x − 2.
(5) Somando-se oas dois lados −x^2 + 5x + 2, conclu´ımos que
− 4 < 6 x.
(6) Multiplicando-se ambos os membros por 1/6, obtemos que x > − 2 /3. Como estamos sob as hip´oteses x < 1 ou x > 6, podemos refinar a conclus˜ao de que ou − 2 / 3 < x < 1 ou x > 6. (Aqui argumento assim: como vale “A implica B,” ent˜ao tamb´em vale “A implica A e B.”) (7) Agora trataremos do caso em que (x−1)(x−6) < 0, ou seja, em que (x−1) > 0 e (x−6) < 0, donde 1 < x < 6. Observe que a outra possibilidade, em que (x − 1) < 0 e (x − 6) > 0 n˜ao ocorre, pois, neste caso, x deveria ser ao mesmo tempo maior que 6 e menor que 1. (8) Sob a hip´otese de que 1 < x < 6, (x−1)(x−6) < 0, donde −(x−1)(x−6) > 0. Multiplicando ambos os membros da desigualdade por −(x − 1)(x − 6) obtemos:
−(x + 1)(x − 6) < −(x + 2)(x − 1).
(9) Pela propriedade distributiva, conclu´ımos que:
−x^2 + 5x + 6 < −x^2 − x + 2.
(10) Somando aos dois membros x^2 + x − 6, obtemos:
6 x < − 4.
(11) Multiplicando por 1/6, obtemos x < − 2 /3. Como estamos sob a hip´otese de que 1 < x < 6, e como − 2 / 3 < 1, conclu´ımos que n˜ao h´a solu¸c˜oes `a desigualdade neste intervalo.
(12) Acabamos de provar que se x ´e um n´umero real que satisfaz a desigualdade x + 1 x − 1 < x^ + 2 x − 6
ent˜ao x deve satisfazer uma das desigualdades
− 23 < x < 1 ou x > 6 ,
(que ´e a solu¸c˜ao procurada). Na verdade, pode ser provado que, para cada x ∈ R,
x + 1 x − 1 < x^ + 2 x − 6 se, e somente se, − 2 3 < x < 1 ou x > 6.
Obviamente, n˜ao ´e necess´ario escrever tudo isto para resolver uma desigualdade. Isto s´o foi feito aqui para explicitar o racioc´ınio dedutivo que ´e usado para resolver qualquer tipo de problema, tanto “num´erico” quanto “te´orico.” Neste exemplo vemos porque s˜ao omitidos v´arios detalhes “triviais” de uma dedu¸c˜ao. Com todos estes detalhes a leitura torna-se mais enfadonha e complicada.
Observe que podemos resolver esta desigualdade de outro modo mais direto. Passamos tudo ao primeiro membro da desigualdade e depois estudamos os sinal da express˜ao obtida. Vamos fazˆe-lo, usando s´ımbolos:
x + 1 x − 1 <
x + 2 x − 6 ⇔^
x + 1 x − 1 −^
x + 2 x − 6 <^0 ⇔^
(x + 1)(x − 6) − (x + 2)(x − 1) (x − 1)(x − 6) <^0 ⇔
⇔ −^6 x^ −^4 (x − 1)(x − 6) < 0 ⇔ (− 6 x − 4 < 0 ∧ (x − 1)(x − 6) > 0) ∨ (− 6 x − 4 > 0 ∧ (x − 1)(x − 6) < 0) ⇔
⇔ − 23 < x < 1 ∨ x > 6. Analisem esta dedu¸c˜ao. Observe que escrevemos sempre ⇔ entre cada frase. Neste caso, podemos fazˆe-lo porque cada uma destas frases ´e equivalente `as outras.
Agora, um exemplo mais sofisticado. Vamos deduzir destes axiomas que todo n´umero real positi- vo tem raiz quadrada. Observemos que n˜ao explicitamos nestes axiomas quase nehuma propriedade de n´umeros reais que estamos acostumados a usar!
Prova de que todo n´umero real positivo tem raiz quadrada: Bom, comecemos com a ∈ R, a > 0. Vamos usar a propriedade do supremo, definindo o conjunto A = {x ≥ 0 : x^2 < a}. Como a > 0 e 0^2 = 0 < a, vemos que A n˜ao ´e vazio (pois exibimos um elemento dele). Vamos mostrar que A ´e limitado superiormente. Para isto, usaremos as propriedades da ordem. Se x > 1 ent˜ao x > 0 e por isso, x^2 > x e se x > 0 e x ≤ 1 ent˜ao x^2 ≤ x. Da´ı, se a > 1 e x^2 < a, ent˜ao x < a e se a ≤ 1 e x^2 < a ent˜ao x ≤ 1. Portanto, se M = max { 1 , a}, ent˜ao, para
ent˜ao x^2 6 = a. Vamos deduzir a f´ormula de Bhaskara, que resolve equa¸c˜oes do segundo grau.
√^ F´ormula de Bhaskara:^ (Supondo que^ a^6 = 0)^ ax^2 +^ bx^ +^ c^ = 0 se, e somente se,^ x^ = (−b^ ± b^2 − 4 ac)/ 2 a. Dedu¸c˜ao: A id´eia ´e completar quadrados perfeitos. Somando-se −c + b^2 / 4 a dos dois lados da equa¸c˜ao, obteremos:
a
x + b 2 a
= −c + b
2 4 a
donde, isolando-se x, obteremos o resultado.
An´alise da dedu¸c˜ao: Foram usadas apenas as propriedades da soma e produto de n´umeros reais. Detalhemos esta dedu¸c˜ao: (1) Citemos a equa¸c˜ao: ax^2 + bx + c = 0. (2) Somamos aos dois lados o termo −c + b^2 / 4 a, obtendo ax^2 + bx + c − c + b^2 / 4 a = 0 − c + b^2 / 4 a. (Aqui usamos a propriedade da soma: se a, b, c ∈ R e a = b, ent˜ao a + c = b + c.) (3) Rearranjamos os termos, conclu´ımos que: ax^2 + bx + b^2 / 4 a = −c + b^2 / 4 a. (4) Novamente rearranjamos os termos: a(x + b/ 2 a)^2 = (b^2 − 4 ac)/ 4 a. (Usando v´arias vezes a propriedade distributiva.) (5) Multiplicando os dois lados da equa¸c˜ao por 1/a, conclu´ımos que: (x+b/ 2 a)^2 = (b^2 − 4 ac)/ 4 a^2. (6) Usando o desafio aos leitores acima, temos duas solu¸c˜oes `a equa¸c˜ao em (5): (x + b/ 2 a) = (±
b^2 − 4 ac)/ 2 a. (7) Finalmente, somamos aos dois lados da equa¸c˜ao em (6) o termo −b/ 2 a, obtendo: x = (−b ±
b^2 − 4 ac)/ 2 a. Por fim, vamos apresentar uma demonstra¸c˜ao por redu¸c˜ao ao absurdo. Teorema: Se x, y ∈ R e x > 0 ent˜ao existe n ∈ N tal que nx > y. Demonstra¸c˜ao: Suponhamos, por absurdo, que para todo natural n, valha nx ≤ y. Conside- remos o conjunto A = {nx : n ∈ N}. O conjunto A ´e n˜ao vazio, pois x = 1x ∈ A, e ´e limitado superiormente por y, logo admite supremo. Seja s o supremo de A. Sabemos que 0 < x, donde s − x n˜ao ´e limitante superior de A. Portanto existe m ∈ N tal que s − x < mx. Mas, da´ı, s < (m + 1)x, contradizendo o fato de s ser o supremo de A.
An´alise da demonstra¸c˜ao: Esta ´e uma demonstra¸c˜ao por redu¸c˜ao ao absurdo, como ´e indicado no in´ıcio. Ent˜ao vamos mostrar que a nega¸c˜ao do teorema implica (ou seja, permite concluir) uma coisa falsa. Primeiramente, reconhe¸camos qual ´e a nega¸c˜ao do teorema: ele ´e da forma hip´otese implica tese. A hip´otese ´e: x, y ∈ R e x > 0; a tese ´e existe n ∈ N tal que nx > y. Como fica a nega¸c˜ao disto? Dizer que A n˜ao implica B ´e dizer que pode valer A e n˜ao valer B. Ou seja, a nega¸c˜ao do teorema fica sendo: hip´otese e n˜ao a tese. Vamos provar que isto implica uma contradi¸c˜ao (ou absurdo). Ou seja, a nega¸c˜ao do teorema ser´a usada como nova hip´otese.
(1) Citamos a hip´otese: para todo natural n, vale nx ≤ y. (Isto ´e a nega¸c˜ao da tese.) (2) Definimos o conjunto A = {nx : n ∈ N}. (Novamente usaremos a propriedade do supremo, particularizada a este A, etc.) (3) Mostramos que A n˜ao ´e vazio, exibindo um elemento dele: x = 1x ∈ A. (Escrevemos x = 1x para evidenciar que o pr´oprio x satisfaz a condi¸c˜ao para pertencer a A.) (4) De (1), conclu´ımos que A ´e limitado superiormente (por y). (5) Citamos a propriedade do supremo: se A n˜ao for vazio e for limitado superiormente ent˜ao possuir´a supremo (que ´e o menor limitante superior de A). (6) Conclu´ımos, de (3), (4) e (5), que existe o supremo (ou menor limitante superior) de A, que chamamos de s. (7) Citamos outra hip´otese: x > 0. (8) Conclu´ımos que s − x < s, (somando-se s aos dois lados da desigualdade; aqui usamos a propriedade da desigualdade que diz: se a, b, c ∈ R e a < b ent˜ao a + c < b + c). (9) Conclu´ımos (da defini¸c˜ao de supremo) que s − x n˜ao ´e limitante superior de A. (10) Conclu´ımos que existe algum elemento de A, que deve ser da forma mx, para algum m ∈ N, tal que s − x < mx. (11) Conclu´ımos que s < (m + 1)x, (somando-se x aos dois lados da desigualdade; novamente usamos a propriedade citada em (8)). (12) A conclus˜ao acima est´a dizendo que s n˜ao ´e limitante superior de A. Isto nega que s seja o supremo de A. Ou seja, conclu´ımos que existe um n´umero real que ´e e, ao mesmo tempo, n˜ao ´e limitante superior de A! Portanto, da nega¸c˜ao do teorema conclu´ımos uma contradi¸c˜ao. Da´ı conclu´ımos que o teorema tem que ser verdadeiro.
Bom, os leitores est˜ao convidados a usar este tipo de an´alise de todas as demonstra¸c˜oes que encontrarem pelo caminho, tornando o estudo de um texto ou de uma disciplina mais proveitoso.
6 Algumas dicas para demonstrar teoremas
Como j´a foi dito, n˜ao ´e f´acil descobrir uma demonstra¸c˜ao. Isto depende de experiˆencia. Mas podem ser dadas algumas sugest˜oes que talvez ajudem a descobri-las. Primeiro, pode-se tentar imitar demonstra¸c˜oes j´a vistas. Segundo, tentem caminhar “ao contr´ario,” ou seja, partam da tese, busquem transforma¸c˜oes ou resultados anteriores que permitam concluir esta tese. Verifique quais as hip´oteses que levam a tal tese. Olhe cada hip´otese como uma conclus˜ao intermedi´aria, buscando resultados anteriores que permitam conclui-las, e assim por diante, at´e chegarmos `as hip´oteses do que queremos demonstrar. Depois ´e s´o passar a limpo, na ordem certa.
