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| | (o) | Ea T ra) S ça a O é j a GELSON IEZZI CARLOS MURAKAMI FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 1 ELEMENTAR CONJUNTOS FUNÇÕES 84 exercícios resolvidos 484 exercícios propostos com resposta 398 testes de vestibulares com resposta 73 edição Ga? EDITORA CAPÍTULO TV — RELAÇÕES.........co, sus. iqoserenserssusos 1. Par ordenado II. Representação gráfica II, Produto cartesiano . IV. Relação binária .. V. Domínio e imagem VI. Relação inversa ........ VII. Propriedades das relações ... CAPÍTULO V — INTRODUÇÃO Às FUNÇÕES I. Conceito de função ... II. Definição de função .. Il. Notação das funções . IV. Dominio e imagem V. Funções iguais ...... Leitura: Stevin e as frações decimais .. CAPÍTULO VI — FUNÇÃO CONSTANTE — FUNÇ ÃO AFIM I. Função constante . II. Função identidade . NI. Função linear... IV. Função afim . V. Gráfico VI. Imagem .. VII. Coeficientes da função afim .. VIII. Zero da função afim ............ IX. Funções crescentes e decrescentes ... X. Crescimento/decréscimo da função afim . XI. Sinal de uma função ... XII. Sinal da função afim . XIII. Inequações ... XIV, Inequações simultâneas XV. Inequações-produto ... XVI. Inequações-quociente . CAPÍTULO VII — FUNÇÕES QUADRÁTICAS I. Definição H. Gráfico . 1. Concavidade . IV. Forma canônica . o VI. Máximo e mínimo . VII. Vértice da parábola MIL-Imagem. assess IX. Eixo de simetria . X. Informações que auxiliam a construção do gráfico XI. Sinal da função quadrática . XII. Inequação do 2º grau XIII. Eid cada de um número real com as raizes da equação do 2º grau. XIV. Sinais das raízes da equação do 2º grau 180 Leitura: Dedekind e os números reais 183 CAPÍTULO VII — FUNÇÃO MODULAR ..... 185 I. Função definida por várias sentenças abertas . 185 II. Módulo ............. 188 Hi. Função modular .. 189 IV. Equações modulares 196 V. Inequações modulares ... 200 Leitura: Boole e a álgebra do pensamento ... 205 CAPÍTULO IX — OUTRAS FUNÇÕES ELEMENTARES ..... 207 I. Função f(x) = xº 207 II. Função recíproca ...... 208 HI. Função máximo inteiro . 212 CAPÍTULO X — FUNÇÃO COMPOSTA — FUNÇÃO INVERSA 214 I. Função composta 214 I. Função sobrejetora 222 II. Função injetora ... 223 IV. Função bijetora 224 V. Função inversa .... 234 Leitura: Bertrand Russel e o logicismo .. 249 APÊNDICE I — EQUAÇÕES IRRACIONAIS .........ssesesesesss 251 APÊNDICE Il — INEQUAÇÕES IRRACIONAIS ................ 262 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS ............................ni iso. 272 TESTES DE VESTIBULARES .........sssssssssssssssssscsscssessseecas 315 RESPOSTAS DOS TESTES ......ccsssssscsssssssrssssssicesiscesscereros 379 NOÇÕES DE LÓGICA Não são consideradas proposições as frases: f) Três vezes cinco mais um. (3-5 + 1) £g) A raiz quadrada de dois é número racional? (42 E Q?) h) O triplo de um número menos um é igual a onze. (3x — | = 11) A frase f não tem predicado, a frase g é interrogativa e a frase A não pode ser classificada em verdadeira ou falsa. H. Negação 2. A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir ou- tra, denominada negação de p e indicada com o símbolo np. Exemplos a) p: Nove é diferente de cinco. (9 = 5) mp: Nove é igual a cinco. (9 = 5) b) p: Sete é maior que três. (7 > 3) np: Sete é menor ou igual a três. (7 < 3) ce) p: Dois é um número inteiro. (2 E Z) mp: Dois não é um número inteiro. (2 É Z) d) p: Três é divisor de onze. (3111) mp: Três não é divisor de onze. (3/11) e) p: Quatro vezes cinco é igual a vinte. (4-5 = 20) mp: Quatro vezes cinco é diferente de vinte. (4. 5 = 20) Para que » p seja realmente uma proposição devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (W) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decre- tar) o seguinte critério de classificação: dadeira quando p é falsa e » p é falsa quando p é verdadeira. A proposição » p tem sempre o valor oposto de p, isto é, v p é ver- Esse critério está resumido na tabela ao lado, p Nip: denominada tabela-verdade da proposição mp. v F F vV Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que » p é verdadei- ra no exemplo d e »p é falsa nos demais. 2 NOÇÕES DE LÓGICA EXERCÍCIOS 1. Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições, quais são verdadeiras? a) 5-4 = 20 J1+3=x1+6 b)5-4=3 9 2) > (2 )2+7:3=5-.4+3 893+4>0 IAH D=5-3+45-1 h11-4.2 2. Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verda- deiras? a 3.7=21 1 1 b3-(1-NV xs o (65) <5) J3-2+1>4 f)u2 0 q2x1 paq2>0€e2x1 2) pi 2. =1 q: (-22 < (13 praq-l<-letapat-ip NOÇÕES DE LÓGICA 4, Conectivo v Colocando o conectivo v entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p v q, denominada disjunção das sentenças p e q. Exemplos 19) p: 5 > 0 (cinco é maior que zero) q: 5 > 1 (cinco é maior que um) pvq: 5>00u5>l (cinco é maior que zero ou maior que um) p: 3 = 3 (três é igual a três) q: 3 < 3 (três é menor que três) pv q: 3< 3 (três é menor ou igual a três) 3º) p: 10 é número primo q: 10 é número composto q v q: 10 é número primo ou número composto 45) pr 3%< 25 q: 2 <(-3% pwqiI< >» o Pal Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (V ou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: A disjunção p v q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; se p e q são ambas falsas, então p v q é falsa. Esse critério está resumido na ta- D=pSe E pvq bela ao lado, denominada tabela-verda- a pes a de da proposição p v q. proposição p q v F v ES|-V V PF | + F Revendo os exemplos anteriores, temos: 19 p:5>0 (V) ds > 1 (V) então: pvq:5>0cu5>1 (V) NOÇÕES DE LÓGICA 29)p: 3=3 (V) q3<3 (PB então: pvq3<3 (V) 39 p: 10 é número primo (F) q: 10 é número composto (W) então: p v q: 10 é número primo ou composto (V) 29 ps 2 MB ra(ap (NM então: pvq%<2%H o 2R<(-3P (F) EXERCÍCIO 3. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas: aa d 16 esa geo em aiii 6351 60492=1 2 4 c) 214 ou 21(4 + 1) CD =-1 e Z<(-27 d) 3656 +2)=3:5+3.2 e 317 g) “16 =6 ou mdc(4,7) = 2 IV. Condicionais Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposi- ções mediante o emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicio- nais: o condicional se ... então ... (símbolo: —) e o condicional ... se, e somen- te se, ... (símbolo: +). 5. Condicional — Colocando o condicional — entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p — q, que se lê: “se p, então q”, “p é condição necessária para q”, “q é condição suficiente para p”. 6 NOÇÕES DE LÓGICA 6. Condicional Colocando o condicional — entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p * q, que se lê: “p se, e somente se, q”, “p é condição » « necessária e suficiente para q”, “'q é condição necessária e suficiente para p” u “se p, então q e reciprocamente”, Exemplos 19 p: 2112 q: 2 MID = peq: 2112+2.7/12.7 à E cd 239 p 2 É q:3.426:2 antas eds e Cd PES q 3-.4x6:2 39 D: 6 = 12:3 q: 3-6 = 18 pºq:6=12:33.6=ãh18 49) p: 443 q4.5<3.5 peq4<3e4.543-5 Vamos postular para o condicional p <> q o seguinte critério de classi- ficação: O condicional — é verdadeiro somente quando p e q são ambas ver- dadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer, o condicional = é falso. Assim a tabela-verdade da propo- penta pa sição p = q é a que está ao lado. ção p* q q v v v VI FÊ F FIV F FI vV Revendo os exemplos dados, temos: I)péVeqéV, então peqeévV. 29) péVeqêéF, então p*>qéF. 3) péFeqgéV, então peqéF. 4) péFeqéF, então peqéV, NOÇÕES DE LÓGICA EXERCÍCIOS 4. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo. a2-1=1>5+7=3-4 e) 218 > mme (2, 8) = 2 )2L=4e(c2=as 96<2+6-2>0 )5+7:1=10>3-3=9 . . gd 3 = 25 d) mdc (3, 6) = 1 = 4 é número primo 5 7 5. Admitindo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor (V ou F) de cada proposição abaixo. Bp=>r sp>(g->r) bpea Dp>(a vn gr>p g) vp maq D(pvn)ea h) per 6. Sendo a proposição p > (r v s) falsa e a proposição (q n mus) = p verdadeira, classifique em verdadeira ou falsa as afirmações p, g, res. V. Tautologias 7. Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q; r, ...) mediante o emprego de conectivos (v ou a ) ou de modificador (») ou de condicionais (> ou =). Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verda- deira quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos valo- res lógicos de p, q, etc. Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta só V'na coluna de v. Exemplos 19 (pa vp)>(q v p) é uma tautologia, pois: p q | mpasepáçêup avp | (Panp>(ayvop) v v F F vV v v F F F v v F v V F v v F F v F F v NOÇÕES DE LÓGICA VII. Relação de implicação 9. Dadas as proposições p e q, dizemos que “*p implica q”* quando na tabela de pe q não ocorre VF em nenhuma linha, isto é, quando não temos simulta- neamente p verdadeira e q falsa. Quando p implica q, indicamos p = q. Observações 1º) Notemos que p implica q quando o condicional p — q é verdadeiro. 2º) Todo teorema é uma implicação da forma hipótese = tese Assim, demonstrar um teorema significa mostrar que não ocorre o caso de a hipótese ser verdadeira e a tese falsa. Exemplos 1) 214 = 214.5 significa dizer que o condicional “*se 2 é divisor de 4, então 2 é divisor de 4 . 5” é verdadeiro. 2º) p é positivo e primo = mdc (p, p) = p quer dizer que o condicional “se p é número primo e positivo, então o máximo divisor comum de pe p? é p” é verdadeiro. VIII. Relação de equivalência 10. Dadas as proposições p e q, dizemos que “p é equivalente a q” quando pe q têm tabelas-verdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico. Quando.p é equivalente a q, indicamos: p & q. Observações 1º) Notemos que p equivale a q quando o condicional p — q é verdadeiro. 2º) Todo teorema, cujo reciproco também é verdadeiro, é uma equiva- Iência. hipótese & tese nu NOÇÕES DE LÓGICA Exemplos 19 P> 08 (vq> mp) cpa |p>a | va | mp | vg vV vV v F E V vIEF F Vl E F pe A de v FIF|oY p= % v 2º) 218 e mdc (2, 8) = 2 significa dizer que é verdadeiro o bicondicio- nal “2 é divisor de 8 se, e somente se, o máximo divisor comum de 2e 8 é 2”. EXERCÍCIOS 7. Verifique, por meio das tabelas-verdades, a validade das equivalências abaixo. a) da conjunção c) da conjunção relativamente à disjunção paqegap palav)se(pagv(par) Paqganrepa(gar pvlganne(pvaan(pvr PAPSPp palpvg ep PAVÉD pv(pagep pafef b) da disjunção d) da negação pvgeavp np) & p (Ppvgvrepv(gvr n(pa qe mnpv avg pvpep n(pv gg onpa vg pvvev pvfep em que p, q, r são proposições quaisquer, v é uma tautologia e f uma proposição logicamente falsa. IX. Sentenças abertas, quantificadores 11. Há expressões como: aax+1=7 bx>2 o) x) = 2x 12 NOÇÕES DE LÓGICA Exemplos 19 E x(x + 1 = 7), que se lê: “existe um número x tal que x + 1 = 7". (Verdadeira) 29) (1 w)( = 2x?), que se lê: “existe um número x tal que x) = 2x2”. (Verdadeira) 39) (da)(a? + 1 < 0), que se lê: “existe um número a tal que a? + 1 é não positivo”. (Falsa) 49 (Im) (mm + 1) é m? + m), que se Iê: “existe pelo menos um número m tal que m(m+1I)éZm? + m”. (Falsa) 14. Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: Il, que se lê: “existe um único”, “existe um e um só”, “existe só um”. Exemplos 19) (3lx)(x + 1 = 7), que se lê: “existe um só número x tal que x + 1 = 7”. (Verdadeira) 2º) (dix) (xº = 2x7), que se Iê: “existe um só número x tal que xº = 2x2”. (Falsa) 3º) (Jlxy)(x + 2 > 3), que se lê; “existe um só número x tal que x + 2 > 3”. (Falsa) EXERCÍCIO 8. Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quan- tificadores: ax-5x+4=0 e (=x) =x b(a+)(a-D)=a2-1 f)5Sa+4< 1l E pd a [E = SI t4 ÉS g) NX x cm dm +92m+3 mn -a- 14 NOÇÕES DE LÓGICA X. Como negar proposições Já vimos o que é a negação de uma proposição simples, no item II deste capítulo. Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercício 7, os quais consti- tuem processos para negar proposições compostas e condicionais. 15. Negação de uma conjunção Tendo em vista que u(p A q) & Mp v nyq, podemos estabelecer que a negação dep n géa proposição vp v mg. Exemplos 1) prazxo q bx0 paqga*0eb=x0 n(pa q:a=0 ou b= 2º) p: 214 q: 319 pn q:2l4 e 319 n(pa q: 2+4 ou 349 16. Negação de uma disjunção Tendo em vista que lp v q) & (nup A nug), podemos estabelecer que a negação de p v gé a proposição Vp a ug. Exemplos 1º) p: o triângulo ABC é isósceles q: o triângulo ABC é equilátero Pp v q: o triângulo ABC é isósceles ou equilátero v q): o triângulo ABC não é isósceles e não é equilátero 2º) osnoo (28) p: q: p ny É ch <8 | 15 
