Baixe Fundamentos da Matemática Elementar 10 e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
Osvaldo Dolce José Nicolau Pompeo - geometria espacial posição e métrica OSVALDO DOLCE JOSÉ NICOLAU POMPEO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 10 ELEMENTAR GEOMETRIA ESPACIAL POSIÇÃO E METRICA 116 exercícios resolvidos 1128 exercícios propostos com resposta 273 testes de vestibulares com resposta 5º edição 6º reimpressão ATUAL CI CAPÍTULO Y — DIEDROS --- 1. Definições ... AEE SECÇÕES: ce ciream III. Diedros congruentes — Bissetor — Medida . IV. Secções igualmente inclinadas — Congruência d: pd 54 VI — TRIEDROS = masa 101 - Conceitos e elementos .. O qunanaeo E Relações entre as faces .. HI. Congruência de triedros .. IV. Triedros polares ou suplementares .. V. Critérios ou casos de congruência entre triedros . VI. Ângulos poliédricos convexos ...........ueeeeeatiiemios 19 CAPÍTULO VII — POLIEDROS CONVEXOS ++... 123 I. Poliedros convexos II. Poliedros de Platão .. III. Poliedros regulares ... CAPÍTULO VIII — PRISMA ---+=--.=---:-..-. peseeneeenaenaeeaceneeees 137 1. Prisma ilimitado ... 137 FL. Prisma peso pencosonqnasar 139 II. Paralelepípedos e romboedros IV. Diagonal e área do cubo ......... V. Diagonal e área do gs retângulo VI. Razão entre paralelepipedos a VII. Volume de um sólido .. VIII. Volume do E RR “retângulo « e do “cubo o IX. Área lateral e área total do prisma .. ed X. Princípio de Cavalieri .. 164 XI. Volume do prisma ... 166 XII. Secções planas do cubi 176 XIII. Problemas gerais sobre prismas Leitura: Cavalieri e os indivisíveis ........ CAPÍTULO IX — PIRÂMIDE -:: I. Pirâmide ilimitada ... NH. Pirâmide ..... HI. Volume da pirâmide .. IV. Área lateral e área total da pirâmide .. CAPÍTULO X:— CILINDRO esses 215 I. Preliminar: noções intuitivas de geração de superfícies cilíndricas . a E sDAS II. Cilindro . III, Áreas lateral e total . IV. Volume do cilindro CAPÍTULO XI — CONE ............. so 233 I. Preliminar: eia intuitivas de geração de superfícies cônicas 233 II. Cone .. ae Se E HI. Áreas lateral e total .. IV. Volume do cone. . 238 239 CAPÍTULO XII — ESFERA ... I. II. TI. Fuso e cunha Md a IV. Dedução das fórmulas das áreas do cilindro, do c cone e da esfera Leitura: Lobachevski'e as geometrias não euclidianas .. pesto 250 252 254 CAPÍTULO XII — SÓLIDOS SEMELHANTES — TRONCOS 268 I. Secção de uma pirâmide por um plano peca à base... 268 II. Tronco de pirâmide de bases paralelas .. REA III. Tronco de cone de bases paralelas IV. Problemas gerais sobre sólidos semelhantes e troncos V. Tronco de prisma triangular .. VI. Tronco de cilindro CAPÍTULO XIV — Rss E Sê ge dd DE SÓLIDOS .......... Es é I. Esfera e cubo . II. Esfera e octaedro regular HI. Esfera e tetraedro regular .. IV. Inscrição e circunscrição envolvendo poliedros nc 307 V. Prisma e cilindro .. E Era E VI. Pirâmide e cone. VII. Prisma e pirâmide VII. Cilindro e cone ............. CAPÍTULO I Introdução I. Conceitos primitivos e postulados 1. —Asnoções (conceitos, termos, entes) geométricas são estabelecidas por meio de definições. Em particular, as primeiras noções, os conceitos primitivos (no- ções primitivas) da Geometria, são adotadas sem definição. Adotaremos sem definir os conceitos de: PONTO, RETA e PLANO. > O ponto 4. A reta r. O plano e. Do ponto, da reta e do plano temos um conhecimento intuitivo decorrente da experiência e da observação. O espaço é o conjunto de todos os pontos. Nesse conjunto desenvolvere- mos a Geometria Espacial. INTRODUÇÃO 2. As proposições (propriedades) geométricas são aceitas mediante demons- trações. Em particular, as primeiras proposições, as proposições primitivas ou postulados são aceitos sem demonstração. Assim, iniciamos a Geometria com alguns postulados, relacionando o pon- to, a reta e o plano. 3. Postulado da existência a) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos. 4. Postulado da determinação > m a) Dois pontos distintos determi- nam uma única reta que passa por eles. b) Três pontos não colineares de- terminam um único plano que passa por eles. 5. Postulado da inclusão Se uma reta tem dois pontos dis- tintos num plano, então ela está conti- da no plano. <=> (AzBr=ABAEaBEG=rCa. 6. Retas concorrentes — definição Duas retas são concorrentes se, e Pp somente se, elas têm um único ponto comum. Ê s 7. Retas paralelas — definição Duas retas são paralelas se, e so- - a a a mente se, ou são coincidentes ou são co- planares e não têm ponto comum. a tacCabCaeaNb=D)=>afyb INTRODUÇÃO IH. Determinação de plano 8. Existem quatro modos de determinar planos. 1º modo: por três pontos não colineares. 2º modo: por uma reta e um ponto fora dela. 3º modo: por duas retas concorrentes. 4º modo: por duas retas paralelas distintas. O primeiro modo é postulado e os demais são os três teoremas que seguem. 9. Teorema 1 Se uma reta e um ponto são tais que o ponto não pertence à reta, então eles determinam um único plano que os contém. Hipótese Tese PéÊr = GlelPEa e rCo) Demonstração Sendo um problema de existência e unicidade, dividimos a demonstração nestas duas partes. 12 parte: Existência a) Construção: r aa p A Tomamos em r dois pontos distintos, 4 e B. Os pontos 4, Be P, não sendo colineares (4, B E r e P É r), determi- nam um plano a. b) Prova de que « é o plano de re P. a =(A,B, P) e=(4,BP > PEq RARE |= ca Logo, existe pelo menos o plano « construído por r e P. Indicaremos por a=(r,P). (1) 4 INTRODUÇÃO 2º parte: Unicidade Provemos que a é o único plano determinado por r e P. Se existissem a e a' por re P, te- ríamos: (e =(r,P;A, BEN = a=(A,B, P) = E (o = (r,P;A,BENr =— pipe Logo, não existe mais que um plano (r, P). (2) Conclusão: ((1) e (2) => IlalPE aq ercCa. 10. Teorema 2 Se duas retas são concorrentes, então elas determinam um único pla- no que as contém. Hipótese Tese (tNs=fP) = GlalrCa esCo) Demonstração 1º parte: Existência a) Construção: Tomamos um ponto 4 em r e um ponto B em s, ambos distintos de P, Os pontos 4, Be P, não sendo colineares (4, PE re B É r), determi- nam um plano a. b) Prova de que «a é o plano der es. («=(A,B,P;A,PErA
[Ca («=(A,B,P;BPESBAP) — sCa Logo, existe pelo menos o plano « construído, passando por re s. Indica- remos por «a = (1,8). (1) INTRODUÇÃO EXERCÍCIOS 7. 10. Quantos são os planos que passam por uma reta? Solução Infinitos. a) Construção: Seja r a reta. Tomamos um ponto A fora der. A retare o ponto 4 determinam um plano a. Fora de a, tomamos um ponto B. Aretareo ponto B determinam um plano B. Fora de a e 3, tomamos um ponto C. Aretareo ponto C determinam um plano y. Desse modo podemos construir, por r, tantos planos quantos quisermos, isto é, construímos infinitos planos. b) Prova: Todos os planos assim construídos passam por r, que com os pontos corres- pondentes os está determinando. Quantos planos passam por dois pontos distintos? - Prove que duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são co- planares. Se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma delas e um pon- to da outra, contém a outra. Solução Sejam res as duas retas, P um pon- todesea o plano (r, P). As retas res determinam um plano e”. Te- mos, então: (mu = (ps) Ps => q = (r,.P) => q = q. Sea = a' contéms, então o plano a contém a reta s. INTRODUÇÃO 11. Num plano a há uma reta r e um ponto P não pertencente a r. Prove que: se con- duzimos por P uma reta s, paralela a r, então s está contida em a. 12. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Três pontos distintos determinam um plano. b) Um ponto e uma reta determinam um único plano. c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos. d) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos. e) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos. HI. Posições das retas 12. Retas reversas — definição Duas retas são chamadas retas reversas se, e somente se, não existe plano que as contenha. r . ad a aeb reversas r reversa com s não existe plano (a, b) e não existe plano (r, s) e anb= 4 rhs=0 13. Quadrilátero reverso — definição Um quadrilátero é chamado quadrilátero reverso se, e somente se, não existe plano contendo seus quatro vértices. Sea =(4,B,D) e CÉ «, então ABCD é quadrilátero reverso. INTRODUÇÃO 14, 15. 16. 17. 10 Tomemos fora de « um ponto X. Os pontos distintos Pe X determi- x nam uma reta s =,PX. b) Prova de que r e s são reversas: Se existe um plano 3 = (r, s), temos: tche PER — B=(r,P = B=a (B=asCBXESs) = X E a(o que é absurdo, pois tomamos X É a). Logo, não existe um plano contendo 7 e s. Assim, obtivemos duas retas r e s, reversas. Prove que um quadrilátero reverso não é paralelogramo. As diagonais de um quadrilátero reverso são reversas. Duas retas distintas r e s, reversas a uma terceira reta £, são reversas entre si? Duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos. Solução Sejam r e s duas retas reversas e / uma reta concorrente com r e con- corrente com s. As retas concorrentes r e s determi- nam um plano a. t As retas concorrentes s e t determi- nam um plano 8. Os planos a e são distintos pois, sea = B,asretasr (dea)es (de 8) estariam neste plano « = 8,0 que é absurdo, pois contraria a hipóte- se de serem reversas. 18. IV. 16. INTRODUÇÃO Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas. b) Duas retas ou são coplanares ou são reversas. c) Duas retas distintas determinam um plano. d) Duas retas concorrentes têm um ponto comum. e) Duas retas concorrentes têm um único ponto comum. f) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes. g) Duas retas concorrentes são coplanares, h) Duas retas coplanares são concorrentes. 1) Duas retas distintas não paralelas são reversas. 3) Duas retas que não têm ponto comum são paralelas. k) Duas retas que não têm ponto comum são reversas. 1) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes. m) Duas retas não coplanares são reversas. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): aarNs=O => res são reversas. b)ressãoreversas = rNs=40. )rNs=O = ressão paralelas. d)risrás = rNs= 8. e) A condição r Ns = (Z é necessária para que r e s sejam reversas. f) A condição r Ns = (2 é suficiente para que r e s sejam reversas. g) A condiçãor Ns = (2 é necessária para que duas retas distintas r e s sejam paralelas. h) A condiçãor Ns = (2 é suficiente para que duas retas re s sejam paralelas. Interseção de planos Postulado da interseção Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm pelo me- nos um outro ponto comum. 17. («*BPEaePER = (IQIQ=ZP,QEC e QE) Teorema da interseção desses planos é uma única reta que passa por aquele ponto. E Se dois planos distintos têm um ponto comum, então a interseção Hipótese Tese (e PEaPEB = (GlileNB=i e PE) ii INTRODUÇÃO EXERCÍCIOS 20. 21. 22. 23. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta comum que passa pelo ponto. b) Dois planos distintos que têm uma reta comum, são secantes. c) Se dois planos têm uma reta comum, eles são secantes. d) Se dois planos têm uma única reta comum, eles são secantes. e) Dois planos secantes têm interseção vazia. f) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns. £g) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns. h) Se dois planos têm um ponto comum, eles têm uma reta comum. << <> Num plano a há duas retas AB e CD concorrentes num ponto O. Fora de « há um ponto P. Qual é a interseção dos planos 8 = (P, 4, B)ey = (P,€, DJ? Solução Os planos 8 e y são distintos e P pertence a ambos. AB n CD - (0) — DE AB-0€E6 SE OECD => 0€% Logo, 8 Ny = OP. Num plano « há dois segmentos de reta AB e CD, contidos em retas não paralelas e, fora de a, há um ponto P. Qual é a interseção dos planos 8 = (P, 4, B)e v=(PC,D)? Um ponto P é o traço de uma reta r num plano «. Se 8 é um plano qualquer que passa por r, O que ocorre com a interseção a NB = i? Solução (PeErrcêB) — PEB8 (a *8,PEaPEB) = PEi Logo, a interseção de 8 com a passa por P. 13 INTRODUÇÃO 24. 25. 26. 27. 28. 14 Duas retas r e s são reversas. Em r há um ponto R e em s há um ponto S. Qual é a interseção dos planos « = (r, S)e B = (s, R)? Qual é a interseção de duas circunferências de raios congruentes, centros comuns e situadas em planos distintos? As retas que contêm os lados de um triângulo ABC furam um plano a nos pontos O, PeR. Prove que O, Pe R são colineares. = . co < <> Os triângulos não coplanares ABC e A'B'C" são tais que as retas AB e A'B' são — e e > concorrentes em O; AC e A'C' são concorrentes em P; BC e B'C' são concorren- tes em R. Prove que O, Pe R são colineares. Solução Sendo a = (4, B, C)ea' = (A', B', C'), temos: Ra Cass <> =— ABNA'B' = [0] > OE ABeO E A'B' < <> (OE ABABCO) — 0€Ea (0EAB,AB' Co) = 0€a' O ponto O pertence a a e o” distin- tos. Analogamente, PE a e PE Úu,rREDeRE Os pontos O, Pe R, sendo comuns awe” distintos, são colineares, pois pertencem à interseção desses planos, que é uma única reta. Teorema dos três planos secantes Se três planos a, 8 e y são distintos e dois a dois secantes, segundo três retas a, bc(BNy=aa«aNy=b,aNB =õc), estude essas três retas. Solução 1º caso: Por uma reta passam infinitos planos. Então, por a = b = c passam a, Bey. As retas a, b e c podem ser coinci- dentes. 
