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Fundamentos de Matemática Elementar Osvaldo Dolce José Nicolau Pompeo “- «geometria plana sue ed OSVALDO DOLCE JOSE NICOLAU POMPEO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 9 ELEMENTAR GEOMETRIA PLANA 41 exercícios resolvidos 971 exercícios propostos com resposta 373 testes de vestibulares com resposta 7º edição 4º reimpressão ATUAL e EDITORA CAPÍTULO VIII — PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 122 I. Baricentro — Medianas ! RR +) II. Incentro — Bissetrizes internas . 124 III. Circuncentro — Mediatrizes . e 185 IV. Ortocentro — Alturas ......... sc 126 Leitura: Papus: o epílogo da geometria grega . = 130 CAPÍTULO IX — POLÍGONOS ... I. Definições e elementos ........ ' II. Diagonais — Angulos internos — Ângulos externos . =: 132 132 - 136 CAPÍTULO X — CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1. Definições — Elementos HW. Posições relativas de reta e circunferência . HI. Posições relativas de duas circunferências .. IV. Segmentos tangentes — Quadriláteros circunscritíveis .. CAPÍTULO XI — ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA .... I. Congruência, adição e desigualdade de arcos .. II. Angulo central .. HI. Ângulo inscrito . IV. Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito. .. CAPÍTULO XII — TEOREMA DE TALES .... 1. Teorema de Tales II. Teorema das bissetrizes . Rá Leitura: Legendre: por uma geometria rigorosa e didática ........ 196 CAPÍTULO XIII — SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E POTENCIA DE PONTO, uses esse casgreisicssssas sera pssmstabala I. Semelhança de triângulos ............ II. Casos ou critérios de semelhança HI. Potência de ponto CAPÍTULO XIV — TRIÂNGULOS RETÂNGULOS I. Relações métricas Il. Aplicações do teorema de Pitágoras .... CAPÍTULO XY — TRIÂNGULOS QUAISQUER .... Relações métricas e cálculo de linhas notáveis .... CAPÍTULO XVI — POLÍGONOS REGULARES Conceitos e propriedades Leitura: Hilbert e a formalização da geometria . CAPÍTULO XVII — COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA 288 Conceitos e propriedades ..c.esecensosaseainaciess a uicecaaranacas 288 CAPÍTULO XVIII — EQUIVALÊNCIA PLANA 300 I. Definições ... 300 1. Redução de polígonos por equivalência ... « 303 CAPÍTULO XIX — ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS ..... 312 I. Áreas de superfícies planas .. .312 11. Áreas de polígonos ............. 315 III. Expressões da área do triângulo . 329 IV. Área do círculo e de suas partes . = Sa V. Razão entre áreas .................... . 340 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS ..............eeeeetetes 360 TESTES DE VESTIBULARES .:...;;;;..sessesasasecserssessuselsanaasos 383 RESPOSTAS DOS TESTES NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS b) Notações gráficas eu O ponto P. A reta r. O plano a. IH. Proposições primitivas 3. As proposições (propriedades, afirmações) geométricas são aceitas me- diante demonstrações. As proposições primitivas ou postulados ou axiomas são aceitos sem de- monstração. Iniciaremos a Geometria Plana com alguns postulados relacionando o pon- to, a reta e o plano. 4. Postulado da existência a) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos. b) Num plano há infinitos pontos. A expressão “infinitos pontos” tem o significado de “tantos pontos quan- tos quisermos”. A figura ao lado indica uma reta reos pontos 4, B,P, R,SeM, sendo que: ex E A,BePestãoemrouaretar pas- Pp sa por 4, Be P, ou ainda MEnBERnrPENr A R, Se M não estão em r ou r não s passa por R, Se M, ou ainda RErsSErMEér. NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS 5. Posições de dois pontos e de ponto e reta Dados dois pontos A e B, de duas AB uma: ou 4 e B são coincidentes (4 = B) (é o mesmo ponto, um só ponto, com dois nomes: 4 e B) Â B ou 4 e B são distintos. (A = B) Dados um ponto P e uma reta r, de duas uma: Pp ou o ponto P está na reta ceara (a reta r passa por P) (PE t) PE r [=] ou o ponto P não está na reta r a e E (a reta r não passa por P) Pér P Er) 6. Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta. a E a : Es A Apos eeeea d Os pontos 4, Be C são colineares. Os pontos R, Se T não são coli- neares. 7. Postulado da determinação a) Da reta Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles. Os pontos 4 e B distintos deter- minam a reta que indicamos por AB. (AzZBAEr,BENr = r=AB A expressão duas retas coinciden- tes é equivalente a uma única reta. pt N E Eos À NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS b) Existência Usando o postulado da existência (item 4), tomemos uma reta r, um pon- toPemr (P E 1) eum ponto Q fora de r (O É 1). Os pontos P e Q são distintos, pois um deles pertence a r e o outro não. Usando o postulado da determinação (item 7a), consideremos a reta s de- <> terminada pelos pontos Pe Q (s = PQ). As retas r e s são distintas, pois se coincidissem o ponto Q estaria em r (e ele foi construído fora de r), e o ponto P pertence às duas. Logo, res são concorrentes. EXERCÍCIOS 1. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Por um ponto passam infinitas retas. b) Por dois pontos distintos passa uma reta. c) Uma reta contém dois pontos distintos. d) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta. e) Por três pontos dados passa uma só reta. 2. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Três pontos distintos são sempre colineares. b) Três pontos distintos são sempre coplanares. c) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas. d) Por quatro pontos todos distintos pode passar uma só reta. e) Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares. NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS 3. Classifique em verdadeiro (W) ou falso (F): a) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se À é distinto de B, então existe uma retaatal que 4 E acBE a. b) Quaisquer que sejam os pontos Pe Qeasretas res, se P é distinto de O, e Pe Q pertencem às retas res, então r = s. c) Qualquer que seja uma reta r, existem dois pontos 4 e B tais que A é distinto deB,com4 E reBEr. d) Se 4 = B, existe uma reta r tal que 4, BE r. Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas podemos construir? Classifique em verdadeiro (V) ou falso (FP): a) Duas retas distintas que têm um ponto comum são concorrentes. b) Duas retas concorrentes têm um ponto comum. c) Se duas retas distintas têm um ponto comum, então elas possuem um único pon- to comum. SEGMENTO DE RETA 12. Segmento de reta — definição Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pon- tos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. Assim, dados 4e B, A * B, o segmento de reta 4B (indicado por AB)éo que segue: px >p AB=[A,B/U [XIX está entre A e B) Os pontos À e B são as extremidades do segmento ABeos pontos que estão entre 4 e B são pontos internos do segmento AB. Se os pontos A e B coincidem (4 = B), dizemos que o segmento ABé o segmento nulo. 13. Semi-reta — definição Dados dois pontos distintos 4 e B, a reunião do segmento de reta AB com o conjunto dos pontos X tais que B está entre A e X é a semi-reta AB (indicada por AB). O ponto A é a origem da semi-reta AB: .———— jo a A x r [osk À AB = ABU [XIB está entre A e X] e Se 4 está entre Be €, as semi-retas AB e AC são ditas semi-retas opostas. AB Ac e e B A (6 SEGMENTO DE RETA 14. Resumo Considerando dois pontos distintos A e B, temos: <> A reta AB: b= a . > A B RE Sê O segmento AB: 8 ' — EM A semi-reta AB (ou Aa”): a g s ; nes A semi-reta oposta a AB (ou semi-reta Aa"): RS. . a A A semi-reta BA (ou Ba"): a” É ed . a A B A semi-reta oposta a BA (ou semi-reta Ba”): a B semi-reta Aa'' semi-reta AB = Aa ar B a ai = a A Em segmento AB semi-reta BA =“Bar” semi-reta Ba” —> — — Notamos ainda que: AB = ABN BA. 15. Segmentos consecutivos Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, uma extremi- dade de um deles é também extremidade do outro (uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro). B R M N Pp E Ss AB e BC são MN e NP são RS e ST são consecutivos consecutivos consecutivos SEGMENTO DE RETA 4) Postulado do transporte de segmentos Dados um segmento AB e uma se- B mi-reta de origem A”, existe sobre esta o —— | semi-reta um único ponto B' tal que A'B' seja congruente a AB. E e ae 19. Comparação de segmentos Dados dois segmentos ABe CD, pelo postulado do transporte podemos obter na semi-reta AB um ponto P tal que AP = CD. Temos três hipóteses a considerar: Ea) 2) 3º) 1º) O ponto P está entre A e B. Neste caso, dizemos que AB é maior que CD (AB > CD). — 2) 0 ponto P coincide com B. Caso em que AB é congruente a CD (AB = CD). 3º) O ponto B está entre 4 e P. Neste caso, dizemos que AB é menor que CD (AB < CD). 1 SEGMENTO DE RETA 20. Adição de segmentos Dados dois segmentos AB e CD, tomando-se numa semi-reta qualquer de origem R os segmentos adjacentes RP e PT tais que RP = AB e PT=CD, dizemos que o segmento RT é a soma de AB com CD. O Ta T 3a Ú o| > Sl - us a De RT = AB+ CD e também RT = RP+PT (0) segmento RS, que é é a soma de n segmentos congruentes a AB, é múl- tiplo de AB segundo n (RS = n- AB). Se RS = n- AB, dizemos que AB é submuiltiplo de RS segundo n. ft B RS -=5-AB -— Ed nd — e Ea R s 21. Ponto médio de um segmento a) Definição Um ponto M é ponto médio do segmento AB se, e somente se, M está o A entre Ae Be AM = MB. A M B MEAB e MA =MB b) Unicidade do ponto médio Se Xe Y distintos (X = Y) fossem pontos médios de AB, teríamos: AX=XB (|) e AY=YB (2) e ne A x yY B A Y xe me 12 SEGMENTO DE RETA ““dados dois segmentos, existe sempre um múltiplo de um deles que su- pera o outro”, permitem-nos estabelecer a razão entre dois segmentos quais- quer. Podemos então medir um deles tomando o outro como unidade de com- primento. 24. Distância entre dois pontos a) Distância geométrica Dados dois pontos distintos 4 e B, a distância entre 4 e B (indicada por da,B) é o segmento AB ou qualquer segmento congruente a AB. b) Distância métrica Dados dois pontos distintos A e B, a distância entre 4 e B é a medida (número, comprimento) do segmento AB. Se A e B coincidem, dizemos que a distância geométrica entre A e B é nula e a distância métrica é igual a zero. EXERCÍCIOS 6. Se o segmento AB mede 17 cm, determine o valor de x nos casos: a) b) A P B Pp B A e . —- e em . aii x 7 em x 21 cm c d ) ) x—3 as a A P B A B p x+3 x 2x 14 SEGMENTO DE RETA 7. Determine x, sendo M ponto médio de AB: 10. 11. 12. 13. a) b) A M B A M B o e o e - mes RAS 9 2-3 Determine PQ, sendo AB = 31; a) b) x 1 —— Pp Q B A P B Q Ae . o 2x E] x E Sal Determine AB, sendo M ponto médio de AB: a) b) A M B A M B R e + — — = 2-5 x+8 x x +7 4x 6 Quantas semi-retas há numa reta, com origem nos quatros pontos 4, B, Ce D da reta? Três pontos distintos de uma reta quantos segmentos distintos podem determinar? Quantos segmentos há que passam pelos pontos 4 e B distintos? Quantos há com extremidades 4 e B? Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Se dois segmentos são b) Se dois segmentos são c) Se dois segmentos são d) Se dois segmentos são e) Se dois segmentos são f) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares. colineares, então eles são consecutivos. adjacentes, então eles são colineares. colineares, então eles são adjacentes. adjacentes, então eles são consecutivos. consecutivos, então eles são adjacentes. 15 
