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GELSON IEZZI] FUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR GEOMETRIA ANALÍTICA 68 exercícios resolvidos com resposta 289 exercícios propostos com resposta 216 testes de vestibular com resposta - nu ATUAL EDITORA Capa Roberto Franklin Rondino Sylvio Ulhoa Cintra Filho Rua inhambu, 1235 — S. Paulo Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda. Rua Castro Alves, 135 — S. Paulo Artes Atual Editora Ltda. Fotolitos Marka Silk Screen Ltda, Rua Albuquerque Maranhão, 272 — S. Paulo Impressão e acabamento Companhia Melhoramentos de São Paulo Indústrias de papel Rua Tito, 479 - S. Paulo Etr measit. Catalogação-na-tonte Cóinara Neasileira do Lívio, SP? Hundmentos de matenárica clostatar (por) Celçam 977 Terzi le octrax! São Paulo, Atual Ed., 1977-78] Goruutoros: Carlos Hurakari, Osvaldo Dolce e Sac: tucl Hazaaos à autoria dog volimes individuais va- cia entre oe é uututes. Conteúdo: w.1. Conjuntus, Funções. 1977, Ei Trigonometria. es determinantes, prosabilidade. vob. Complexos, poliníuis, mações. 19) Comctria analítica, 1975. 1. tatenfrica (20 grau) E. Dolce, Cexaldo, 1935-| ti. lenni, Gelgon, 1959 HT. Hazzam, Sansel, 146-] IX. Mutakãos, Garios, 10 enu-s1o Todos os direitos reservados à ATUAL EDITORA LTDA Rua José Antônio Coelho, 785 Telefones: 71-7795 e 549-1720 CEP 04011 — São Pauto — SP - Brasil APRESENTAÇÃO “Fundamentos de Matemática Elementar” é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática, ao nível da escola de 2º grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para o curso colegial, os “Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também, como é óbvio, âqueles alunos de colegial mais interressados na “rainha das ciências”. No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de “Fundamentos” procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações. Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenação crescente de dificuldade. Partimos de probtemas simples e tentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A sequência do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercícios resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e asim, ter seu reforço positivo ou partir à procura do erro cometido. A última parte de cada volume é constituída por testes de vestibulares até 1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria estudada. Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas vidas e sua obras. Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores e o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores uma apre- ciação sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quais agra- decemos. Os autores CAPITULO IV — DISTÂNCIA DE PONTO A RETA t. Transiação de sistema 7-6 H. Distância entre ponto ereta ............ . 78-G fik. Área dotriângulo .....cccccscscsc crer crsrereser 83-G 1V. Variação de sinal da função Elx, v) 87-G V. Inequações do 1º grau 90-G VI. Bissetrizes dos ângulos de duas retas 93-G VII, Complemento-Rotação de sistema 98-G CAPITULO V — CIRCUNFERÊNCIA 1, Equação reduzida 99-6 H. Equação normal 100-G HH. Reconhecimento . 100-G IV. Ponto e circunferência 106-G V. Inequações do 2º grau 108-G VI. Reta e circunferência - 112-G VII. Duas circunferências . .....ccccccescrrccrrererrco N7-G CAPITULO VI — PROBLEMAS SOBRE CIRCUNFERÊNCIAS 1. Problemas de tangêngia .....cccscccccccrsaseraraaras II. Determinação de circunferências 1). Complemento CAPITULO VII — CÔNICAS À. Elípse .. 143-G H. Hipérbole .. 4486 HI. Parábola . 153-G tv. Reconhecimento de uma cônica ....... era 158-G V, Intersecções de cónicas ....... . eres 164-G . 185-G VI, Tangentes a uma cônica CAPÍTULO VIll — LUGARES GEOMÉTRICOS 4. Equação deum L.G. ... cics cc tl. Interpretação de uma equação do 2º grau . RESPOSTAS : Capítulo | Capítulo 1) Capítulo [1] Capítulo |V Capítulo V Capítulo Vi Capítulo VII TESTES 195-6 209-G Ponto e reta Circunferência Cónicas 216-G Lugares geométricos erra Creci 221-G Respostas .....ccccccccoo Cercrrrro 229-G René Descartes (1596 - 1650) 2. Exemplo Vamos localizar os pontos A(2, 0), BIO, -3), CI2, 5), Di-3, 4), +82 2.8 El-7,-3), Fla, -5), GS, 51 e HS.) no plano cartesiano lembrando que, no par ordenado, o primeiro número repre- senta a abscissa e o segundo a ordenada do ponto. 3. Teorema Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e a conjunto dos pa- res ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívoca, Demonstração 13 Parte As definições dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, Pea, corresponde um único par de pontos (P,, Ps) sobre oseixos x e y respecti vamente e, portanto, um Único par ordenado de números reais (xp, yp) tais que xp - OP, e yp- OP, Esquema: P —— (PP) —— xp, yp) 2-G 2 Parte Dado o par ordenado de números reais (xp, yp), existem P, Ex e P.Ey taisque OP, -xp e OP, = yp. Se construirmos x'4 x por P; e y'&y por P, essas retas vão concorrer em P. Assim, a todo par (xp, yp) corresponde um único ponto P, PE a. Esquema: (xp, yp) — APP) — P 4. Notemos que os pares ordenados (4,2) e (2, 4) não são iguais, Eles se diferenciam pela ordem de seus termos e, portanto, não representam o mesmo pon- to do plano cartesiano. De maneira mais geral, se a e b são números reais distintos, então: .d (a, bh * (b, a) (2,44 == + 414,21 5. A principal consequência do teorema do item 3 é que em Geometria Ana- lítica Plana: ai “dar um ponto P” significa dar o par ordenado (xp, yp); b) “pedir um ponto P” significa pedir o par de coordenadas (xp, yp); c) toda ponto P procurado representa duas incógritas (xp e yp). H. POSIÇÕES DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA 6. Oseixos xe y dividem o plano Y cartesiano em quatro regiões angulares chamadas quadrantes, que recebem os no- mes indicados na figura. É evidente que: 29 quadrame 1º quadrante Pe 1º quadrante > xp 20 e y => º o pz0 Y PE2º quadrante —— xp <0 e y PES quadrante e xp <0 e yp K+3P+ly- Peste -4+(y-ar então: 2 +6x+Sryl-14y149-n2-8x+16+y2-6y +89 (6x - 14y +49) -(-8x +16 - By) = 0 - 14: -By+33-0 Resposta: 14x - 8y + 33=0 Dados Alx 5), Bt-2,3) e Cl4, 1), obter x de modo que A seja equidistante de Bec. Determinar o ponto P, pertencente ao eixo das absctssas. sabendo que é equidistante dos pontas Al, 3! e B(-3,5) Determinar o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista de A(B, -Bt e BtIZ, 2 Dados os pontos Al8, 11), Bl-4, -5) e C(-6, 89), qulo ABC. obter Solução O circuncentro fcentro da circunferância circunscrita ao triângulo) é um ponto P eqúidistante dos três vértices. 1 apa = d ei yi (1! dra - des “Vie dps - de De-BPriy- ND (++ ty 82 2 -16x+64+y2 22x +12] -x2+8x+16+y2+10y+25 -24x - 32y - 1440 = 3x + 4y 18 W QB) tal rives re +ty 9? 2x2 18x + 16+y2+104+25-x2+12x+36+y2-1By+81 -Ax + 28y = 76 o x -Wy--18 (21 De (2), temas x — 7y - 19 que substituindo em (1) dá: My IM +4y 18 = 267075 ==» y.3 ==» «-7.3-19-2 Resposta: P(2, 3) Dados os pontos Ma, O) e NO, a, determina, P de modo que q triângulo MNP seja equilátero Dados os pontos B(2, 3) e Ci-4, 1 determinar o vértica A do triângulo ABC, sabendo que é 0 ponto do eixo y do qual se vê BC sob ângulo reto Salução NaAEy Abe vil 13 AÇIABR =(1 x-0 2) dÃc + dás - dêc De (2) temos: +4Btly ot ix 24 ly Boto tata dgo a? Levando em conta que x = O, temos 16 +1y2 - 2 + 114112 -8y+9)- 8 +4 2? - By -10-0 — yi ay 6 O == y=- 1 ou y-5 Resposta: A(O, -1] ou Ala, 5) Dados Al-2, 4) a Bl3, -1) vértices consecutivos de um quadrado, determunar os outros dois vértices. Dados A(S, 7) e Cl-2, -3), extremidades da diagonal de um quadrado, calcular as coordenadas dos vértices B e D, sabendo que xp > xp ER) Iv. RAZÃO DE SECÇÃO 15. Dados três pantos golineares A, B e C (com A £ B + C), chama-se razão de secção do segmento AB pelo ponto C o número real r tal que: pod: “Tê Exemplo Para esclarecermos a definição dada, consideremos sobre um eixo & os pon- tos C,D, E. F,G, H, £, J tais que os segmentos CD, DE, EF, FG, GH, Hie |) têm comprimento £. Tomemos A =F e B=hH e calculemos as razões (ABC), (ABD), (ABE), (ABF), (ABG), (ABH), (ABI), (ABI). e Vo RA & t Bt o ATO 3! (ABE) = (ABI) = T =” -3 AJ as tABF] = =0 AB) - E ço 46. O sinal da razão + não depende da orientação de eixo que contém AB nem do sistema cartesiano; depende de uma camparação de sentidos entre AC e CB, Podem ser verificadas facilmente as seguintes propriedades da razão de secção. Dr70 «= C éinterora AB ro = € éexteriora AB tas C=A 17. Uma pergunta importante é “cumo se poderia calcular o valor de r quando + são dadas as coordenadas de A, Be C7” Uma primeira idéia seria escrever: AC w (xy - x] [o PA mas esta não é uma boa saída pois: AC e ACI d 1) enão 1-0 - BC isto é, à tórmula acima daria TE To des sempre r:z O e quando C é exterior a AÉ incoreríamos em erro 29) é muito trabalhosa por causa da fórmula da distância. 39) dados A, B et, não é possível determinar C pois teríamos duas incóg- nitas (Xe, Yo) e uma só equação. 18. Contornamos essas dificuldades com a seguinte teoria 1º Caso: AB não é paralelo a Ox e nema Oy. Aplicando o teorema de Tales às vd transversais AB é A;B, do feixe de pa: ralelas AA, BB, CC, é notando que Ao ça 50 se AC e CE concordam ou não em sen: ag em sem 3 tido o mesmo ocorre com Ai e CB, qo 2 temos: KM MO o” Ã, [E e re A ce €,8, Aplicando analogamente o Teorema de Tales para as transversais AB e AB; do feixe de paraletas AA,, BB;, CCy. temos: Se tivermos Alxy, vi), Blxo, ya) é Clxa, yu), então teremos a partir de 1) ea): ye 1 = € é médio de AB VIVE r£ol. po 6 MM Yar [7 X3 =X Yam ya n-G S19 6.20 6.21 6.22 14-6 Determinar as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partes iguais, sabendo que A -t-4,7heB-(l,-8) Sotução B ev ibn xa tre o 2 º “ecc qr 14 2 ms tlita vo. VALLE 2 e tr Rr E) 22.4 = - =.B c D -— D divide o segmento AB na razão 2 XAtroaB o iM+20N 2 Dec are FZ 40" CYAPO VB THD la 9 mo Car? CSS Observemos também que D é ponto médio de BC: xp +x ti) + (3) xo - JBixe tn +tdo Respasta: C(3, 2) e DI7, -3) 7 Determinar os pontos que dividem AB em quatro partes iguais quando “A = (1, -3) eB- (2333 Até que ponto o segmento de extremos A(+1, -1) e Bl4, 5) deve ser prolongado no sentido ÂB, para que seu comprimento triplique? Calcutar o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pon- tos A(O, D|, 8(3, 7) e Cl5, 15, Solução O ponta M é tal que Mr ar go ss vetyc T+em YM z z 6.25 G.26 O comprimento da mediana AM é a distância entre A e M: dam = VW by - xa + ty - vab = +9-5 Resposta: dam = 5 Dados os vértices consecutivos, Al-2, 1) e B(4, 4), de um paralelogramo, E o ponto E(3, -1), intersecção de suas diagonais, determinar as outros dois vértices. Do triângulo ABC são dados: o vértice A(2, 4), a ponto M(1, 2h métlio do lado AB eo ponto N(-1, 1) médio do lado BC. Calcular o perímetro do triângulo ABC. Solução A 1º) M é o ponto médio de AB então: + xy - SAD => 1. 28 o 9-0 va tY M vue LADY — 2. ÍiyB portanto, BtQ, O) 2º) Né o ponto'médio de BC então: B N c xp +% xy = “Bj XE vg +y 0+ vn = “EYE — 1= Cio = v0-2 portanto, C(-2, 21 3º) perímetro = dag + dBg + doa = =Ve-07+u-o2+vlo+22+(0-22+Viz+ 22 +42 « - 4/20 + V8 + 4/20 - 45 + 242 = 2/25 + 4/2) Resposta: 2(2/5 +42) Se MI2, 1), Nt3, 3) e Pl6, 2) são os pantos médios dos lados AB, BC e CA, res- pestivamente, de um triângulo ABC, determinar as coordenadas de A, Be C. Calcular as coordenadas do baricentro do triângulo ABC cujos vértices são A(xy, 1), Blxa, ya) € Clxa, ya). Solução O baricentro G é à intersecção das medianas do triângulo. Tomando um triângulo ABC e construin- do as medianas AM e BN, formemos os triângulos ABG e MNG que são se- melhantes, portanto: AG AB e GM O MN mpej= 156 a ENTE » isto é, G divide a mediana AM na razão 2. Aplicando a fórmula do ponto divisor, temas »2 +03 +2)2 1% E NR 207 mtxta Góctrz é 2 3 va tva +ovetva 2”, “29 4 2 o dyityvatys *6 Tr2 É 3 3 Da Et + +yat Resposta o (trt, trato) A conclusão tirada no problema anterior, isto é o fato de que * baricentro são às médias aritméticas das coordenadas dos vértices” poderá ser utilizada doravante em autros probl G.27 O haricentro de um triângulo é G(1, 8) e dois de seus vértices são A(Z, 5) e Bl4, 7) Determinar o terceiro vér! 6.28 O barcentro de um triângulo é Gl- Ea e o ponto média da lado G.29 Determinar os vértices Be C de um Wwiângulo equilátero ABC, sabendo que o pon to médio do lado AB é MIN/3, 1] e A é a origem do sistema, Solução 1º) Obter 8 XA + XB aq JADIE —> xp - 2V3 Voy yu ALE — > yp-2 2º) Obtes € Temas emas de Analítica. AB é MIO, » Determinar os vértices A, B, € 1=- t-dag= VV3-02+(2-02-4 N Nunc=l Clx, vl 2) dec = v 2 syi- E: +y2=16 1 (x-02+4ty-02-16 2) (x -2/B2 + 4y 2 = 16 20 +y2-4/3x-dy-0 De |1) em (2) resulta: que substituindo em 11) dá 16-6 - 16-4V3x-4/-0 —s y=4 o ponto médio do lado BC é = 3x s coordenadas do 6.31 + ta 3x2 016 — 2416 -8V3x + 0x0 16 == => a BI 0 —> 4-0 qu x=-2V3 =— =— y=4 ou y--2 lrespeclivamente) Resposta: Bi2V3, 2) e CIO, 4) qu CIZV3, -2) Num triânquio ABC são dados: DAI, 0) 1) Mt-1, 4] ponto médio de AB MD dac- 10 — Ivk dec - 102 Obrer o vértice C do triânguto Provar que os pontos médivs dos lados do quadrilátero de Vértices Ala, bh, Blc, dl, Cle, ti é Dig. h) são vértices de um paralelogramo. Solução 19) Aplicando a fórmula do ponto médio determinemos M, N, Pe Q: ate btd ng cie dtf NU 3 b e+g t+h PSA E os ) ai z 22) Provemos que as diagonais do quadrilérero MNPQ se cortam ao meço, isto é, os seus pontos médios, Re S, são coincidentes: nte ,atg e ENIO E 2 accre- R R- E] = 7 E a d+t , bt+h “wtvo. 2 2 b+4difth YR p) - E) 4 r NE arcreigo ss = MP jets s CNM LP brd+t+h “s E z 3 R=S ==> MNPQ é puralelograma O quadrilátero de vértices Al- a E Bl, 2). €l2, a e D'O, - é um pa- nf ralelogramo? Justifique Peso: [x -x HO ys- EO de tH) temos (xs =x) - ly - Ya EO =— (Nruio yvryÃo ainda de (HJ, (xs = xablya - ya) (xo — xa) (ya - y9) vem: x3 =X - (1 ADA va 4 X2 -X3 Ya-ys chamemos de r a estes dois quocientes iguais e consideremos o ponto C'(xa, ya) que divide AB na razão r Pelo item 18, temos: (2) ru fiko Yacyr X2 -X4 Yo ya comparando (1) e (2), temos: X3 =X xa =X - - 30X (o Xara q Yacyi ( Y5 Mi Xa - X4 Xa = Xa ya — va y2 ya => 4 -M E yy:y Ds C-c uma vez que A, B, C' são colineares e C=C', então A,B, C são colinesres, 23. Exemplos 1º)Mostrar que A(-1,1), B(1,3) e C(7,9) são colineares. xy 1 111 RE RE %» y3 1 791 1 3 + 5] =+6+6-12=0 ==» A,B,C colineares 29)Para que valores de x os pontos A(x, x), B(3, 1) e C(7, -3), são colineares? x x 1 A,B,C colinsares — D=|3 1 eo 731 14 34 3.1 D . xo = - = a Ja e Boa+li Sj-srae- -8Bx-16-0 = x=2 Vil. COMPLEMENTO — CALCULO DE DETERMINANTES Um determinante de 22 ordem p= as à dm é calculado pela fórmula: D=ancan-an* an Exemplo 1 4 " D-| Soares a-7420027 Um determinante de 32 ordem au Sm da e D= =|ê2 da das ag am ds de acordo com o Teorema de Laplace, é calculado da seguinte maneira: 12) escolhe-se uma linha ou coluna qualquer de D; 20) muttiplica-se cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo determi: nante de ordem 2 que se obtém suprimindo em D a linha e a coluna à qual per- tençe o elemento tomado, f O) 2 ada produto assim obtido por +] ou -1 conforme se tenha meiro fajor em cada produto, 4º) somam-se os três produtos obtidos. Exemplos 19) Desenvolvimento de D pela 32 tinha: ; a a a D=() can? GU) + (a) can jén 2] + (41 e asa | O a| = am das an as an dm - axar - dass cas + dra) — Aspldur é das Bar é ara) + Baalôna + axo ar dra) 29) Calcular D 132 D=|2 5 2 431 216 Temos, pela 12 linha: 5 2 2 2 2 H 0-5 ai ei alo =+H(5.1-3-2)-3(2.1-4.27+22.3-4.5)= =1H5-6)-312-8)+216-20)--1+18-28=-11 EXERCÍCIOS G.33 Ga 6.3 22-G Calcular os determinantes 1.23 x va va 1 A-|5 7 9lB-|2 1a) c-|5 4 7]D 1 5 14 22 001 25 16 49 1 Os pontos A(I, 3), Bf2, 5) e C(49, 100) são colineares? Determinar y para que os pontos A(3, 5), Bt-3, 8) e Cl4, y) sejam colineares. Solução 3 51 A, B,C colineses — |-3 8 1) =0 —» ava ==> 4(5 - Bl -y(3 + 3) + (24+15) -0 — 12 -6y+39=0 =——s, => 6y « 27 — 5 Resposta: y - nto Mostrar que Ala, Za - 1), Bla + 1,2 +1) e Cla+2,2a + 3) são colineares pará todo valor real dado a a. Se. AO, 5), Bla, -4) e Cl, 2), para que valoras de a existe o triângulo ABC? Solução Existe o triângulo se a CIR eospontos A, BC não são colineares. Impondo o alinhamento: xa va 1 0 ad ; D-=|x vg I|-ja 4 19)-0 emão|-n + [5 deal; “da B Y8 | 14 1 als xe ve 1 1 24 , isto é: -ala-1h+(22441=0 => 4? -33-4=0 donde a--1 ou 2-4 Hesposta: a real, aÉ 1 e a fd Dados A[1, 1] e Bf10, -2), obter o ponta em que a reta AB intercepta 0 eixo das abscissas. ga 6.43 Gas 8.45 Dados A(3, 1) e B(5, 5), obter o ponto em que a reta AB intercepta o eixo das orde- nadas. Dados A(2, -3) e Rt8, 1), obrer o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes impares. Dados Af7, 4) e Bl-4, 2), obrer a ponta em que a reta AB intercenta a bissetriz dos quadrantes pares. Dados A(-3, 4), Bt2,9), Cl2, 7) e Di4, 5), obter a intersecção das retas ABe CD. Solução Seja Pix y) intersecção das retas. Como P, B, A colinesres, temos: x 41 2 9 1/-0 =» 344 — bx -6y135-0>x-y-20 1) Como P,€, D calineares, temos: x v 1 27 ja — 2 +2y-18-0=> x+y=9 (2) 4 41 Somando file (2) vem: 2x -2 Pi, a) 2x0 >= 1ºy-9 > y-8 Resposta Determinar Plxo, yo! colinear simultaneamente com At-1, -2) e Bl2, 1) e com cl-Z,11 e D(1, -4). Determinar o ponto P da rsta AB que está à distância 5 da origem. Dados A(O, -25) e BLZ, 11, Solução [1 do - 5 1 k-0B+ty-0R- 25 Play x ya L2] P, A, B calincures alo -2s 1]-0 . 211 De (2): -14x-2y-50=D ==> y=-7x-25 que substituindo em (1) dá: x2 + f-7x - 25 - 25 > x2 + 4942 + 350x + 625 - 25 — => 60x? + 350x + 600 = 0 ==> x =-3 ou x 4 ==» => y=-4 ou y=+3 trespectivamente) Resposta: P(-3, -4) ou Pt-4, 3) Determinar na reta AB os pontos equidistantes dos eixos cartesianos. Dados: Al-1, 5) e Bt4, 2] 236 Fazendo yy-yr=a x -x=be Xy)-Xayi = €, decorre que todo ponto PEr deve verificar a equação ax thy+c=0 chamada equação geral de r. 26. Comentários 1º) Ficou provado que toda reta (por mais “esquisita” que seja sua posição) tem equação geral. 22) Convém notar que a mesma reta admite várias (infinitas) equações gerais pois, se usarmos O'(xy, yj) e R'tx5, y5) para definirmos r, com OQ £Q e Rº* R, obteremos provaveimente uma outra equação: ax 1 by tc =0, Veremos, no item 35, que ax + by +c'=0 é, entretanto, equivalente a ax+by+c=0 Isto significa que a toda reta r do plano cartesiano está associado um con- junto de equações equivalentes entre si. 39) Os coeficientes a é b não podem ser simultaneamente nulos pois: a=0 — y -y4=0 — y D-0 =00 44 0x, 20 == xp = 2. 0-R x2 e Q&R por hipótese. 27. Exemplos 19) Obter a equação da reta que pas- sa por O(4, 3) e R(O, 7). Entendemos por equação da reta QR a condição que as coordenadas do ponto Pix, y) devem satisfazer para que P seja colinear com Qe R. Se P,O e R são cotineares, então: x ya O 7 1[=0 = 4x+t4y-28-0 = x+y-7=0 431 isto é, todo ponto da reta QR deve apresentar soma das coordenadas igual a sete. 26-G 2º) Obter a equação da reta da fi- gura. Devemos escolher dois pontos da- dos para montar o determinante junta- mente com o ponto (x, y) variável. Se escolhermos (2,1) e (1,0) vem: x 91 24 1/-D0 e x-y-1=0 101 Se escolhermos (4, 3) e (0, -1h vem: x ya 4 3 1|[=0 == 4x-4y-4=0 041 que é equivalente à anterior. Assim, a equação da reta é x -y-1=0 la mais simples) ou qualquer equação equivalente a esta. 28. Teorema "A toda equação da forma ax + bytc=0 com ab, cElR|6,2%0 ou b+£O, está associada uma única reta + do plano cartesiano cujos pontos Plx, y) são as soluções da equação dada”. Demonstração Faremos a demonstração apenas para o caso geralem que a/ 0 e bHO. Sejam Pilxy yi). Potxa, yo) € Polxa, ya) três pontos dois a dois distin- tos que satisfazem a equação dada. Então temos: am tby tc=0 = ax by -c am by, tc-O ==> ax = -by-c axa t+tbys+c-0 === axy - -byy-C Temos ainda: x3- x — axy-ax (by -c)-tby, -c by, - bya x2-X axo-ax3 (by; -c)-(bys-c) bya- by, ya vi va - Ya portanto P,, P; é Ps são colineares, 276 Está provado que todo ponto Ps (variável), que satisfaz a condição ax + by + c-0, pertence necessariamente à reta P,P, (que existe e é única), à qual daremos o nome r 29. Comentários 19) Este teorema mostra que, dada a equação ax + by +c=0, o conjun- to dos pares (x, y) que a satisfazem é uma reta. Exemplo Construir o gráfico dos pontos que verificam a equação x+2y -6-0. v “Como já sabemos, o grafico é uma reta e, para localizá-la, basta localizar dois o, 3) de seus pontos, Assim, temos: x=0 —s 0+2y-6-0 —— — y-3 x- 6 — 6+t2y-6-0 —— o => v = 0 o] x isto é, os pontos (0, 3) e (6, 0) definem a reta. 2º) Este teorema mostra também que só os pontos que satisfazem à equação ax + by + c = O pertencem à reta, portanto, um ponto está sobre uma reta somente se suas coordenadas verificam a equação da reta. Exemplo Verificar se Al2, 2), B(4, 1) € Cl7, -1) pertencem à reta r de equação x+2y-6-0, Basta substituir x e y na equação dada pelas coordenadas de cada ponto e verificar se a igualdade obtida é verdadeira ou falsa: A — (2)+2(2)-6=0 (verdadeira) — ACr BB. > (9) +2(1)-6=0 (verdadeira) — Ber Cc— M+H-1)-6-0 (ata) — Cér 30. A principat consegência dos teoremas dos itens 25 e 28!é que em Geo- metria Analítica Plana: ” a) “dar uma reta” significa dar uma das equações da reta; b) “pedir uma rea” significa pedir uma das equações da reta. pad 28-6 31. O anulamento de um dos coeficientes da equação geral da reta revela uma propriedade especial da reta. Assim, temos: Wha=0 ==» y-4=0 = yr=y e rtx isto é, quando a equação não tem o termo em x (exemplos: 3y - 4 = 0, mw +W=0) aretaé paralela ao eixo das abscissas. Db=0DeS xj-x-00 =» w=x + ty isto é, quando a equação não tem o termo em y (exemplos: 7x +5 =0, 9x - 4 - 0), a reta é paralela ao eixo das ordenadas. HD c=0 <> ax +by- 0 == (0,0) satisfaz a equação pois a»0+b.0-0 ss (0,0) Er isto é, quando a equação não tem o termo independente (exemplos: 3x +4y =D, 2x - 13y — D), a reta passa pela origem. Já vimos que a=0eb=0 é impossível, mas é possível: VW) la=0 e c-0) —> (rix e dO 0 EM) ==> 1=x VWib-Dec-0 => (4y e 0C) => r=y Assim: x-0, 7x=0, /2-x-0 são equações do eixo dos y. y=0, 5y=0, -513y=0 são equações do eixo dos x. EXERCÍCIOS 6.51 Determinar as equações das retas suportes dos ladas do triângulo cujos vértices são A(O, 0h, B(1,3) a Cla, 0). Solução Cada reta é definida por dois vértices: reta AB x ya 13 t|-0-2+3x-v=0 001 reta BC x 41 13 1|-0=32+3y-12=-0 »x+y-4-0 4 01 reto CA xy 1 4 q 1|-0=4y=-0>y=0 001 Resposta: 3x -y = 0, xty-4-0, v=0 
