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PME2100 Gabarito da 2
a
Prova 29/10/
Departamento de Engenharia Mecˆanica - PME Escola Polit´ecnica da USP
1 Quest˜ao (3,0 pontos)
Uma for¸ca F ´e aplicada na pe¸ca em forma de U. Esta pe¸ca pode deslizar ao longo da
guia. No ponto de contato em A o coeficiente de atrito ´e nulo, e no ponto de contato em
B o coeficiente de atrito ´e μ.
a) Desenhe o diagrama de corpo livre da pe¸ca em forma de U.
b) Em fun¸c˜ao de a, F e μ, determine o intervalo dos valores de b compat´ıvel com o
equil´ıbrio.
F
b
a
μΑ = 0
μΒ = μ
A
B
Peça em
forma de U
Guia
Figura 1: Pe¸ca em forma de U
1.1 Solu¸c˜ao
F
b
a
μΑ = 0
μΒ = μ
A
B
Peça em forma
de U
NA
NB
T B
Figura 2: Diagrama de Corpo Livre (1,0)
Equa¸c˜oes do equil´ıbrio da pe¸ca em forma de U: (1,0)
vertical: T B
= F
horizontal: N A
= N
B
momento com polo B: N A
· b = F · a ⇒ N A
= N
B
a
b
F
Atrito sem escorregamento:
T
B
≤ μ N B
(0,5) ⇒ F ≤ μ
a
b
F ⇒
b ≤ μ a
2 Quest˜ao (3,5 pontos)
C
B
L
i
j
R 1
R 2
θ
ω 1
Figura 3: Sistema composto de uma barra AB e dois discos
Os discos de raios R 1
e R 2
rolam sem escorregar e o disco de raio R 2
est´a sempre em
contato com a parede.
E conhecida a velocidade angular ω 1
(constante) do disco de raio
R
1
. Em fun¸c˜ao de ω 1
, θ, L, R 1
e R 2
, calcule:
a) A velocidade ~v B
do ponto B.
b) A velocidade angular ω BC
da barra BC e a velocidade ~v C
do ponto C.
c) A velocidade angular ω 2 e a acelera¸c˜ao angular ˙ω 2 do disco de raio R 2.
d) As acelera¸c˜oes ~a C
do ponto C e ~a CIR
do CIR do disco de raio R 2
2.1 Solu¸c˜ao
ω 1
A=CIR B
vB
B
C
L
θ
ω BC
O=CIR BC
v C
vB
2
C D=CIR C
v
C
Figura 4: Movimento dos trˆes s´olidos
a) Disco B
~v B
= ~v A ︸︷︷︸
~ 0
−ω 1
~ k
∧ (B − A)
︸ ︷︷ ︸
R 1
~ j
~vB = ω 1 R 1
i
3 Quest˜ao (3,5 pontos)
A placa ABCD pode girar em torno do eixo Ox, e sua velocidade angular em rela¸c˜ao
ao garfo ´e ω 2
(constante). O garfo (referencial m´ovel) gira em torno do eixo Oz com
velocidade angular ω 1 (constante) em rela¸c˜ao ao solo (referencial fixo). No instante em
que a placa ABCD est´a na vertical, conforme mostra a figura, determine, em fun¸c˜ao de
ω 1 , ω 2 , a e b, e na base (
i,~j,
k) que orienta o sistema de coordenadas Oxyz (solid´aria ao
garfo):
a) As velocidades relativa ~vA,rel, de arrastamento ~vA,arr e absoluta ~vA,abs do ponto A.
b) As acelera¸c˜oes relativa ~aA,rel , de Coriolis ~aA,cor e absoluta ~aA,abs do ponto A.
c) O vetor velocidade angular absoluta ~ωabs da placa ABCD, e seu vetor acelera¸c˜ao
angular absoluta
~ω abs
Solo
(referencial fixo)
Garfo
(referencial
móvel)
Placa
ABCD
O
y
z
x
b
b
a
a
A
B
C
D
k
j i
2
1
Figura 5: Composi¸c˜ao de movimentos de rota¸c˜ao
3.1 Solu¸c˜ao
a) Item (a):
~v A,rel
= ~v 0 ,rel
∧ (A − O) =
0 + ω 2
i ∧
(
b~i + a
k
)
= −ω 2
a~j ⇒ ~v A,rel
= −ω 2
a~j
~v A,arr
= ~v 0 ,arr
∧ (A − O) =
0 + ω 1
k ∧
(
b~i + a
k
)
= ω 1
b~j ⇒ ~v A,arr
= ω 1
b~j
~v A,abs
= ~v A,rel
= −ω 2
a~j + ω 1
b~j ⇒ ~v A,abs
= (ω 1
b − ω 2
a)
j
b) Item (b):
~aA,rel = ~a 0 ,rel +
(
~ω 2
)
rel
∧ (A − O) + ~ω 2 ∧ [~ω 2 ∧ (A − 0)]
(
b~i + a
k
)
i ∧
[
ω 2
i ∧
(
b~i + a
k
)]
~a A,rel
= ω 2
i ∧
[
−ω 2
a~j
]
= −ω
2
2
a
k ⇒ ~a A,rel
= −ω
2
2
a
k
~a A,arr
= ~a 0 ,arr
~ω 1
∧ (A − O) + ~ω 1
∧ [~ω 1
∧ (A − 0)]
(
b~i + a
k
)
k ∧
[
ω 1
k ∧
(
b~i + a
k
)]
~a A,arr
= ω 1
k ∧
[
−ω 1
b~j
]
= −ω
2
1
b~i ⇒ ~a A,arr
= −ω
2
1
b~i
~a A,cor
= 2 ~ω 1
∧ ~v A,rel
= 2ω 1
k ∧
(
−ω 2
a~j
)
= 2 ω 1
ω 2
a~i ⇒ ~a A,cor
= 2ω 1
ω 2
a~i
~a A,abs
= ~a A,rel
= −ω
2
2
a
k − ω
2
1
b~i + 2ω 1
ω 2
a~i
~aA,abs =
(
2 ω 1 ω 2 a − ω
2
1
b
)
i − ω
2
2
a
k
c) Item (c):
~ω abs
= ~ω rel
= ω 2
i + ω 1
k ⇒ ~ωabs = ω 2
i + ω 1
k
~ω abs
(
~ω rel
)
rel
~ω arr
+~ω arr
∧~ω rel
0+ω 1
k∧ω 2
i = ω 2
ω 1
j ⇒ ˙ ~ω abs
= ω 2
ω 1
j
