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Avenida Professor Mello Moraes, nº 2231. cep 05508-900, São Paulo, SP. Telefone: (0xx11) 3091 5355 Fax: (0xx11) 3813 1886
Departamento de Engenharia Mecânica
PME 2200 – MECÂNICA B – Prova Substitutiva – 08 de julho de 2004
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (4,0 pontos)
Uma esfera homogênea de raio a e massa m está presa a uma
barra AB de comprimento 4a e massa desprezível. A barra
AB está presa à corda BC , forma um ângulo α (constante)
com a vertical e gira em torno do eixo AC com velocidade
angular constante Ω = g / a. A esfera gira em torno da
barra AB com velocidade angular constante ψ &^. Utilizando a
base i j k
r r r , , , solidária à barra AB , determine:
(a) O vetor de rotação absoluto da esfera
(b) Aplique o TMA e determine a tração F na corda BC
Dado: Momento de inércia da esfera JXG = 2/5 ma
2
2ª Questão (3,0 pontos)
No sistema mostrado na figura, a barra AB encontra-se em
repouso e tem comprimento L e massa m. A mola tem
rigidez k e não apresenta deformação para a configuração
mostrada. Em um dado instante, uma esfera de massa m
atinge o baricentro da barra AB com velocidade V Vi
r (^) r
= ,
de maneira perfeitamente anelástica. Determine:
(a) O vetor de rotação k
r & θ ' da barra AB imediatamente
após o choque.
(b) A perda de energia cinética no choque.
3ª Questão (3,0 pontos)
Determine a equação de movimento para o sistema mostrado na questão anterior, para instantes
posteriores ao choque. Utilize o método de Lagrange e a coordenada θ, de rotação da barra AB em
torno do pólo A.
k
A
θ
g B
G
m,V
i
r
j
r
(Figura referente às Questões 2 e 3)
B
A
C
α
G
x
y
2a
2a
a
Ω
ψ &
Ω
g
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PME 2200 – MECÂNICA B – Prova Substitutiva – 08 de julho de 2004
Duração da Prova: 100 minutos (não é permitido uso de calculadoras)
1ª Questão (4,0 pontos) Resolução
Uma esfera homogênea de raio a e massa m está presa a uma
barra AB de comprimento 4a e massa desprezível. A barra
AB está presa à corda BC , forma um ângulo α (constante)
com a vertical e gira em torno do eixo AC com velocidade
angular constante Ω = g / a. A esfera gira em torno da
barra AB com velocidade angular constante ψ &^. Utilizando a
base i j k
r r r , , , solidária à barra AB , determine:
(c) O vetor de rotação absoluto da esfera
(d) Aplique o TMA e determine a tração F na corda BC
Dado: Momento de inércia da esfera JXG = 2/5 ma
2
( i j )
r (^) r r Ω = Ω cos α +sen α
i
r &
r
Ψ &^ = Ψ
( ) i j
r r &
r ω = Ψ + Ω cos α + Ω sen α
TMA pólo em A: H (^) A MA
r& r
= M A { F ( a ) mg ( a )} k
r = 4 cos α − 2 sen α
H A = JxA ( Ψ&+Ωcos α ) i + JyA Ω senαj
i &^ = Ω ( cos α i + senαj ) ∧ i =−Ω senαk j & =Ω(cos αi + senαj ) ∧ j =Ωcos αk
J (^) xA = J xG ;
2 J (^) yA = JxG + 4 ma
H A JxA ( ) JyA k
r & & r { ΨΩ sen α Ω sen α cos α Ω sen α cos α
2 2 = − − +
k
ma H (^) A ma
r & & r
= Ω α α − ΨΩ sen α 5
4 sen cos
2 2 2
= α + Ω α α − ΨΩ α α
sen
ma magsen ma sen a
F.
- 4 .cos 4 cos
2 (^2 2) &
B
A
C
G
x
y
2a
2a
a
ψ &
g
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Departamento de Engenharia Mecânica
3ª Questão (3,0 pontos)
Determine a equação de movimento para o sistema mostrado na questão anterior, para instantes
posteriores ao choque. Utilize o método de Lagrange e a coordenada θ, de rotação da barra AB em
torno do pólo A.
( )
2
(^22)
θ &^ θ &
L
m
L
T m +
2
2 2
2
θ &^ θ &
mL mL T = +
2
2
θ &
mL T =
θ ( 1 cos θ ) 2
L
V kLsen mg
θ θ ( 1 cos θ )
2
L
kLsen mg
mL
L T V &
θ θ
2 L mL = ∂
; θ θ
2 L mL
dt
d =
θ θ θ θ
kLsen mgsen
L
cos
2
cos 0 12
2
θ + kLsenθ θ − mgsenθ =
mL &&
