Funcoes logaritmicas, Notas de estudo de Física

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6-FUNÇÕES LOGARITMICAS

Profª Drª M. Lucia Pozzatti Flôres

Logaritmo

• Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N

(positivo) e x , que satisfaçam a relação bx= N , dizemos que

x é o logaritmo de N na base b. Representamos: logbN = x.

Portanto : logbN = x  bx= N

Nomenclatura:

• b é a base do sistema de logaritmos,
• N é o logaritmando ou antilogaritmo
• e x é o logaritmo.
• Exemplos:

a) log 2 8 = 3 porque 2^3 = 8.

b) log 4 1 = 0 porque 4^0 = 1.

c) log 3 9 = 2 porque 3^2 = 9.

d) log 5 5 = 1 porque 5^1 = 5.

Notas

3- Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números

decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa.

• Exemplo: log20 = 1,

em que 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.

4- Da definição de logaritmo, infere-se que somente os números

reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log 3 (-9) , log 2 0 , etc.

Propriedades

As seguintes propriedades são decorrentes da definição de log:

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja: logb1 = 0 porque b^0 = 1

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja:

logbb = 1 , porque b^1 = b.

P3) logbbk^ = k , porque bk^ = bk^.

P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N.

(propriedade utilizada em equações logarítmicas)

P5) blogbM^ = M => b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.

Propriedades operatórias

• Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN. Exemplo: colog10 = -log10 = -1.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA

• O logaritmo de um número exponencial é igual ao produto do expoente e o logaritmo do número na base considerada. logbMk^ = k.logbM. Exemplo:
• log 5256 = 6.log 5 25 = 6.2 = 12.

MUDANÇA DE BASE

Conhecendo o logaritmo de N na base b e desejando obter o logaritmo de N numa base a , podemos fazer através da fórmula: logbN = logaN / logab

• Exemplos: a) log 4 16 = log 2 16 / log 24 b) log 8 64 = log 2 64 / log 28 c) log 25 125 = log 5 125 / log 5 25 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5^ = 125.

Conseqüências da fórmula de mudança de base: a) logbN = logN / logb b) logba. logab = 1

Exemplos: a) log 3 7. log 7 3 = 1 b) log 2 3 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,

Função Logaritmica

• Função Logarítmica
• A função f: I R *+  I R definida por f(x) = logb x , com b > 0 e

b 1, é denominada função logarítmica de base b.

• Domínio: R*+
• Imagem: R
• Ex.: Seja a função dada pela sentença-

f(x) = log 2 x.

Gráficos da função logarítmica

Para se obter o gráfico de funções logarítmicas, atribuem-se valores à variável independente x.

a>1 0<a<

Exercício: Dada a função logarítmica construa o gráfico desta função a) y= f(x) = log 2 x b) y= f(x)= log1/2x

Gráfico da função exponencial e

logarítmica

Equações logarítmicas

Chama-se equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.

Resolução: Para resolver equações logarítmicas, devemos aplicar as propriedades e, em seguida, verificar se os valores obtidos para a incógnita estão de acordo com as condições de existência estabelecidas. Exemplo: log (^) x– 1 6 = 1 Restrição: x – 1 > 0 x > 1

x – 1 ≠ 1 => x ≠ 1 + 1 => x ≠ 2

Resolução: log (^) x – 1 6 = 1 (x – 1)¹ = 6 x – 1 = 6 => x = 6 + 1 => x = 7 que satisfaz a condição de existência. Logo: S={7}

Inequações Logarítmicas

• Chama-se inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
• Ex.: log 2 x > 0 log 4 (x + 3)  1

Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes:

a)A redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base;

b)e aplicação da propriedade:

• logb x > logb y, então x > y > 0 se b > 1 e
• logb x > logb y, então 0 < x < y se b < 1.

Exemplos

log 2 (x + 2) > log 2 8

Condição de existência: x + 2 > 0  x > – 2 e a base é maior

do que 1, então:

x + 2 > 8 e, daí, x > 6

• Como satisfaz a condição então a solução é

S = {x  I R ; x > 6}