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VALOR ESPERADO CONDICIONADO
Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional contínua ou discreta.
Define-se valor esperado condicionado de X para um dado
Y igual a y da seguinte forma:
Variável contínua
E ( X Y y) x f ( x y) dx
X Y y
+∞
− ∞
=
Variável discreta
( ) ( )
∞
=
=
i 1
i j
j
X Y y
j i
E X Y y x p x y
Notas:
- O valor esperado de Y para um dado X = x é definido
de modo análogo, quer para o caso discreto quer para o
caso contínuo.
- A interpretação do valor esperado condicionado é a
seguinte: dado que
f ( x y)
X Y= y
representa a fdp
condicionada de X para um dado Y=y , E ( X Y= y)é o
valor esperado de X, condicionado ao acontecimento
{ Y = y}.
- De um modo geral E ( X Y= y) é uma função de y
assim como E ( Y X= x)é uma função de x e daí serem
também variáveis aleatórias. Então fará sentido calcular
os seus valores esperados:
E [ E ( X Y= y)] e E [ E( Y X=x)]
É porém importante notar que o valor esperado
“interno” é calculado em relação à distribuição
condicionada de X para Y=y ( ou relativamente à
distribuição condicionada deY para X=x) , enquanto
o valor esperado “externo” é calculado em
relação à distribuição de probabilidade de Y ( ou
relativamente à distribuição de probabilidade de X ).
TEOREMA : [ ( )] ( )
E E X Y= y =E X
e
E [ E ( Y X=x)] =E( Y)
(demonstração ...)
TEOREMA: Se X e Y forem v.a. independentes então:
E ( X Y= y) =E( X) e E ( Y X=x) =E( Y)
(demonstração ...)
TEOREMA: Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional e
consideremos que:
X
E X = μ , ( )
Y
E Y = μ , ( )
2
X
V X = σ , ( )
2
Y
V Y =σ
Seja
XY
ρ o coeficiente de correlação entre X e Y.
Então:
- Se a regressão de Y em X for linear temos que:
X
X
Y
Y XY
E Y X x x−μ
σ
σ
= =μ + ρ
- Se a regressão de X em Y for linear temos que:
Y
Y
X
X XY
E X Y y y−μ
σ
σ
= =μ + ρ
(demonstração:...)
É de notar que se por exemplo a regressão de X em Y
for linear e se ρ = 0 , então E ( X Y= y)não depende de
y.
Por outro lado, se as duas funções de regressão forem
lineares, a resolução simultânea das expressões
anteriores mostra que as rectas de regressão se
intersectam no “centro” da distribuição, isto é, em
X Y
μ ,μ .
- Se se pretender, eventualmente, aproximar a curva de
regressão por uma função linear, recorre-se de um
modo geral ao método dos mínimos quadrados. Então
escolhem-se as constantes a e b de modo que:
[ ( ) ( )]
2
E E Y X − aX+ b seja mínimo
Analogamente, podemos escolher as constantes c e d
que tornem mínimo:
[ ( ) ( )]
2
E E X Y − cY+ d
As rectas y = ax +b e x = ay+b designam-se como
aproximações dos mínimos quadrados às curvas de
regressão E ( Y X= x)e E ( X Y= y), respectivamente.
TEOREMA: Se y = ax+b for a aproximação dos
mínimos quadrados a E ( Y X= x) e se E ( Y X=x)
for, de facto, uma função linear de x, isto é:
' '
E Y X=x =a x+b
então a = a´ e b = b´.
Variáveis aleatórias discretas
- Seja X uma v.a. discreta. Então Y = H(X) é também uma
v.a. discreta e dada p
X
(x
i
), podemos obter:
p
Y
( y
j
) = P ( Y = y
j
P X x
i
i
em que x
i
: H (x
i
) = y
j
- Seja X uma v.a. contínua e Y= H(X) uma v.a. discreta.
Então se { Y = y
j
} for equivalente a um dado
acontecimento A, no contradomínio R
X
de X vem que:
p
Y
( y
j
) = P ( Y = y
j
f x dx
A
Variáveis aleatórias contínuas
- Seja X uma v.a. contínua e Y = H(X) também uma v.a.
contínua. Dada f
X
(x) podemos obter f
Y
(y) por dois
métodos:
Método 1
i) Obter F
Y
(y), a função de distribuição da v.a. Y,
determinando-se o acontecimento A (em R X
) que é
equivalente ao acontecimento {Y ≤ y }.
ii) Derivar F
Y
(y) em ordem a y para obter f
Y
(y).
iii) Determinar os valores de y (em R
Y
) para os quais
f
Y
(y) ≥ 0.
F
Y
(y) = P ( Y ≤ y ) = P ( H(X) ≤ y ) = P (? ≤ X ≤? )
e finalmente:
f
Y
(y) =
d F
Y
y
d y
Método 2 (apenas quando H(X) é estritamente monótona)
f y
f x
d y
d x
f x
d x
d y
Y
X
X
x = H
(y)
Nota:
A aplicação do método pode ser generalizada desde que se
decomponha H(X) em intervalos em que seja estritamente
monótona (crescente ou decrescente).
E ( Y) y f ( y) dy
Y
+∞
− ∞
Contudo, este processo de cálculo do valor esperado de Y
apresenta a “desvantagem” de exigir a determinação prévia
da distribuição de probabilidade da variável aleatória Y.
Um caso particular especialmente importante surge
quando :
[ )
[[
[ ]
]]
] [
[[
[ ]
]]
]
2 2
g X X E X X μ μμ
−μ −−
uma vez que a variância de uma variável aleatória X é
definida como:
[ )
[[
[ ]
]]
]
2 2
X
Var X ==== V X ====σσσσ ==== E X −−−− E X
- O desvio padrão de X é definido como
Var (((( X ))))
X
σσσσ ====
r
g X ==== X ou
[ )
[[
[ ]
]]
]
r
g X ==== X −−−− E X obtemos
respectivamente o momento e o momento central
de ordem r de X, ou da distribuição de X, com
r= 0 , 1 , 2 ,....
' r
r
= E X
μ = μμ
μ momento de ordem r
[[[[ (((( ))))]]]]
r
r
μμμμ ==== E X −−−− E X momento central de ordem r
Em particular temos que: E (((( X ))))
'
1
μμμμ ====μμμμ==== , 0
1
μμμμ ==== e
V (( (( X )))) (((( X ))))
2 X
μμμμ ==== ====σσσσ.
Se os momentos de ordem r existem, então existem
todos os momentos de ordem r r
'
• Demonstra-se que o conhecimento de (((( ))))
r
E X para
r= 1 , 2 ,... (desde que estes valores médios existam) é
suficiente para especificar a distribuição de
probabilidade de X e daí a sua importância.
Variáveis aleatórias discretas
- Seja (X,Y) uma v.a. discreta bidimensional. Então dado
Z = H
1
(X,Y) e conhecendo p
XY
(x,y)
p z P Z z P X x Y y
Z k k i
i j
j
em que ( x
i
, y
j
) : H
1
( x
i
, y
j
) = z
k
- Seja (X,Y) uma v.a. discreta bidimensional. Sejam Z =
H
1
(X,Y) e W = H
2
(X,Y) e admitamos conhecida
p
XY
(x,y). Então se a transformação:
z
w
H x y
H x y
1
2
tiver inversa,
x
y
G z w
G z w
1
2
a função de probabilidade conjunta de Z e W é dada por:
p
ZW
(z,w) = P (Z=z,W=w) = P ( Z=H
1
(x,y),W=H
2
(x,y) )
= P (A) ( ver figura da página anterior)
= P ( X = G
1
(z,w), Y = G
2
(z,w) )
= p
XY
( G
1
(z,w), G
2
(z,w) )
Variáveis aleatórias contínuas
Seja (X,Y) uma v.a. contínua bidimensional. Seja
Z=H
1
(x,y) uma função contínua de (X,Y) e admita-se
conhecida a fdp conjunta de X e Y, f
XY
(x,y). Pretende-se
obter a fdp de Z=H
1
(X,Y) , f
Z
(z).
Método 1
i) Obter F
Z
(z), a função de distribuição da v.a. Z,
determinando-se o acontecimento A (em R
X×Y
) que é
equivalente ao acontecimento { Z ≤ z }.
F
Z
(z) = P (Z ≤ z) = P (H
1
(x,y) ≤ z) = f x y dy dx
XY
D
∗
ii) Derivar F
Z
(z) em ordem a z para obter f
Z
(z).
Método 2
i) Escolher uma v.a. auxiliar W= H
2
(X,Y).
ii) Obter a fdp conjunta de Z e W, f
ZW
(z,w).
iii) Determinar f
Z
(z) = f z w dw
ZW
−∞
+∞
Teorema: Seja (X,Y) uma v.a. contínua bidimensional com
fdp conjunta f
XY
(x,y). Sejam Z=H
1
(X,Y) e W=H
2
(x,y) e
admitamos que :
a) H
1
e H
2
são tais que as equações z=H
1
(x,y) e
w=H
2
(x,y) podem ser resolvidas univocamente para x e y
em função de z e w, isto é, existe a transformação inversa:
x = G
1
(z,w) e y = G
2
(z,w)
