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Capítulo 1
Retas e Funções Lineares
1.1 A equação de uma reta
Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos de nem uma única reta. Na geometria analítica podemos determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos distintos do plano cartesiano. Para tal, consideremos a reta de nida pelos pontos A = (x 0 , y 0 ) e B = (x 1 , y 1 ) da Figura 1.1(a); um ponto qualquer P = (x, y) também estará sobre esta reta desde que A, B e P sejam colineares (estejam alinhados) - Figura 1.1(b).
x 0
y 0
x 1
y 1
A q
B q
(a) Reta pelos pontos A e B
x 0
y 0
x 1
y 1
x
y
A q
B q
P q
.......... qM (^) qN
............................ (^) θ
(b) Reta pelos pontos A, B e P
Figura 1.1: De nindo a equação de uma reta
Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e AP N forem semelhantes (neste caso uma semel- hança do tipo ângulo-ângulo-ângulo); assim podemos escrever
y − y 0 x − x 0
y 1 − y 0 x 1 − x 0
Simpli camos a equação (1.1) notando que a razão
y 1 − y 0 x 1 − x 0
é constante^1. Tal constante é chamada de coe ciente angular da reta e doravante vamos denotá-la pela letra a. É útil observar que o coe ciente angular de uma reta pode ser prontamente encontrado dividindo-se a variação ∆y das
(^1) Observe que (x 0 , y 0 ) e (x 1 , y 1 ) são as cordenadas de dois pontos conhecidos da reta, assim x 0 , y 0 , x 1 e y 1 são números conhecidos. Por outro lado a razão y x−−xy^00 não é constante, uma vez que x e y são as coordenadas de um ponto qualquer do plano cartesiano, logo x e y são valores incógnitos.
ordenadas dos pontos pela variação ∆x de suas as abcissas; assim
a =
∆y ∆x
y 1 − y 0 x 1 − x 0
ou a =
∆y ∆x
y 0 − y 1 x 0 − x 1
Substituindo o valor do coe ciente angular dado em (1.2) na equação da reta (1.1) obtemos
y − y 0 x − x 0
= a, (1.3)
ou, mais apropriadamente,
y − y 0 = a(x − x 0 ) , (1.4)
chamada equação da reta na forma ponto-coe ciente angular. Isolando y nesta equação obtemos
y = ax − ax 0 + y 0 ,
onde notamos que −ax 0 + y 0 é uma constante, denominada coe ciente linear da reta e a qual denotaremos pela letra b. Podemos então reescrever a equação (1.4) como
y = ax + b , (1.5)
chamada equação da reta na forma reduzida.
Exemplo 1.1 (Reta por dois pontos dados) Determine a equação da reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5), mostrada na Figura 1.2.
x
y 6
1
3 q
2
5 q
3
7 q
3
9 q
Figura 1.2: Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5).
- Inicialmente calculamos seu coe ciente angular
a = ∆y ∆x
- A seguir, usando o ponto (1, 3), obtemos a equação da reta na forma ponto-coe ciente
y − 3 = 2(x − 1).
- Finalmente isolamos a variável y para obter sua forma reduzida
y = 2x + 1.
Então, esta reta tem coe ciente angular a = 2 e coe ciente linear b = 1.
x
y 6
(0, k)q y = k
(a) Reta horizontal a = 0
x
y (^6) x = k
q (k, 0) (b) Reta vertical a @
Figura 1.4: Reta horizontal e reta vertical
1.1.4 Equação geral da reta
Toda equação da forma Ax + By + C = 0 , (1.6)
onde A, B e C são constantes reais e A e B não são simultaneamente nulas, representa um reta. Para veri car esta a rmação consideramos as seguintes possibilidades:
- se B 6 = 0, então podemos isolar y na equação (1.6), obtendo
y = −
A
B
x −
C
B
que é uma equação da forma (1.5); logo a equação de uma reta. Neste caso, se A = 0, a equação anterior se reduz a y = −
C
B
que é a equação de uma reta horizontal.
- se B = 0, então podemos isolar x na equação (1.6), obtendo
x = −
C
A
que é a equação de uma reta vertical.
1.1.5 Retas paralelas e retas perpendiculares
A condição de paralelismo entre duas retas é facilmente estabelecida: duas retas paralelas formam o mesmo ângulo com o eixo das abscissas, logo seus coe cientes angulares são iguais - Figura 1.5(a). A condição de perpendicularismo é um pouco mais sutil. Para estabelecê-la vamos recorrer à Figura 1.5(b), que nos mostra as retas perpendiculares
r 1 : y = a 1 x + b 1 e r 2 : y = a 2 x + b 2
concorrentes no ponto P = (x 0 , y 0 ). Como P pertence a ambas as retas, suas coordenadas satisfazem tanto a equação de r 1 como a de r 2 , isto é y 0 = a 1 x 0 + b 1 e y 0 = a 2 x 0 + b 2.
Na reta r 1 , um incremento de uma unidade na abscissa resulta
a 1 (x 0 + 1) + b 1 = a 1 x 0 + a 1 + b 1 = a 1 x 0 + b 1 + a 1 = y 0 + a 1 ;
isto é, a ordenada é incrementada de a 1 unidades. Logo o segmento RQ da Figura 1.5(b) mede a 1 unidades. De modo análogo, na reta r 2 , um incremento de uma unidade na abscissa resulta
a 2 (x 0 + 1) + b 2 = a 2 x 0 + a 2 + b 2 = a 2 x 0 + b 2 + a 2 = y 0 + a 2 ;
y = a 1 x + b 1
y = a 2 x + b 2
............. ......
................................... θ ...................
................................... θ
a 1 = a 2 = tg(θ)
(a) Retas paralelas
A r 1 : y = a 1 x + b 1 A A A A A A A A A A
A r^2 :^ y^ =^ a^2 x^ +^ b^2
qP
Q q
q (^) S
q (^) R
x 0 x 0 + 1
y 0
y 0 + a 1
y 0 + a 2
RQ = a 1
SR = −a 2
(b) Retas perpendiculares
Figura 1.5: Paralelismo e perpendicularismo de retas
isto é, a ordenada é decrementada de a 2 unidades^2. Logo o segmento SR da Figura 1.5(b) mede −a 2 unidades. Finalmente, observando que os triângulos P RQ e P RS são semelhantes (ângulo-ângulo-ângulo), podemos escrever
RQ RP
RP
SR
a 1 1
−a 2
∴ a 1 a 2 = − 1 ,
que é a condição de perpedicularismo entre duas retas. Assim, duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coe cientes angulares vale − 1.
1.2 Funções lineares
Funções lineares (ou funções polinomiais do 1 o^ grau) são funções^3 f : R → R da forma
y = f (x) = ax + b; (1.7)
onde a e b são constantes reais. Comparando as equações (1.5) e (1.7) concluímos imediatamente que o grá co de uma função linear é uma reta no plano cartesiano. A raiz^4 é dada por x = −b/a.
1.2.1 Modelos lineares
A despeito de sua simplicidade, várias situações importantes são modeladas por funções lineares. Por modelo linear queremos dizer que existem duas quantidades que se relacionam algebricamente através de uma equação (ou função) linear. Os próximos exemplos ilustram alguns modelos lineares.
Exemplo 1.3 (A pressão em um ponto submerso) Determine a relação entre a pressão p (medida em atm) e a profundidade h (medida em m) em um ponto submerso na água do mar, considerando que a pressão aumenta linearmente com a profundidade e que este aumento é de 1 atm a cada 10 m de descida.
- Inicialmente observamos que quando h = 0 m (na superfície) a pressão é p = 1 atm; assim nossa reta passa pelo ponto (h, p) = (0, 1). Quando h = 10 m de profundidade a pressão aumenta para p = 2 atm; assim nossa reta também passa pelo ponto (h, p) = (10, 2).
- De posse de dois pontos da reta determinamos seu coe ciente angular
a =
∆p ∆h
(^2) Decrementada por que o valor numérico de a 2 é negativo. (^3) Lembre-se que o símbolo R denota o conjunto de todos números reais. Assim f : R → R indica que a função f tem como domínio (o R antes da echa) e contra-domínio (o R depois da echa) todos os números reais. (^4) As raízes, ou zeros, de uma função são todos os valores do domínio que anulam sua imagem, ou seja, são todos os elementos do domínio que possuem imagem zero. Determinamos as raízes de uma função f resolvendo a equação f (x) = 0.
(f ) perpendicular à reta y = 3x − 4 e passa pelo ponto P = (1, 2);
Problema 1.3 Determine se os três pontos dados são colineares (resolva este problema de dois modos: usando o coe ciente angular e a fórmula da distância).
(a) (1, −4); (− 2 , −13) e (5, 8);
(b) (1, −7); (4, 2) e (2, 1);
(c) ( 12 , − 32 ); ( 14 , − 138 ) e (− 12 , −2);
Problema 1.4 Determine se os três pontos dados formam um triângulo retângulo (resolva este problema de dois modos: usando o coe ciente angular e o Teorema de Pitágoras).
(a) (1, −3); (2, 7) e (− 2 , 5);
(b) (1, 2); (0, 1) e (− 1 , 2);
(c) (0, 0); (3, 6) e (− 4 , 2);
Problema 1.5 Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseção.
(a) y = x − 2 e y = − 2 x + 4;
(b) y = 2x − 7 e y = − 2 x + 1;
(c) y = 3x − 1 e y = − 5 x + 2;
Problema 1.6 Determine o(s) valor(es) da constante k para que a reta
(k + 4)x + (9 − k^2 )y + (k − 6)^2 = 0
(a) seja paralela ao eixo-x;
(b) seja paralela ao eixo-y;
(c) passe pela origem.
Problema 1.7 O conjunto de todos os pontos eqüidistantes de dois pontos A e B dados é chamado reta mediatriz do segmento AB. Esboce e determine a equação da reta mediatriz do segmento AB, onde A = (− 1 , −3) e B = (5, −1), de dois modos:
(a) igualando a distância do ponto P = (x, y) a A e B e simpli cando a equação obtida;
(b) usando o ponto médio do segmento AB e um coe ciente angular adequado.
Problema 1.8 Dada a função f : R → R, tal que y = f (x) = 2x − 10 ,
(a) determine as coordenadas do ponto onde seu grá co corta o eixo-x;
(b) determine as coordenadas do ponto onde seu grá co corta o eixo-y;
(c) utilize as informações obtidas para esboçar seu grá co.
Problema 1.9 Voltando ao Exemplo 1.
(a) qual a unidade do coe ciente angular da reta obtida? qual é o seu signi cado?
(b) qual a unidade do coe ciente linear da reta obtida? qual é o seu signi cado?
Problema 1.10 Voltando ao Exemplo 1.
(a) qual o signi cado do coe ciente angular da reta obtida?
(b) qual o signi cado do coe ciente linear da reta obtida?
Problema 1.11 Dada a função f : R → R, tal que f (x) = 3x − 4 , determine as constantes a e b sabendo-se que f (a) = 2b e f (b) = 9a − 28.
Problema 1.12 Uma função linear é tal que f (3) = 2 e f (4) = 2f (2). Determine f.
Problema 1.13 Uma função linear é tal que f (0) = 1 + f (1) e f (−1) = 2 − f (0). Determine f (3).
Problema 1.14 Um avião parte de um ponto P no instante t = 0 e viaja para o oeste a uma velocidade constante de 450 Km/h.
(a) Escreva uma expressão para a distância d (em Km) percorrida pelo avião em função do tempo t (em horas).
(b) Trace o grá co d × t.
(c) qual o signi cado do coe ciente angular da reta obtida?
Problema 1.15 A equação da reta na forma (1.3) tem a vantagem da conexão direta com o raciocínio geométrico utilizado para obtê-la, ilustrado na Figura 1.1(b). Porém, rigorosamente falando, a equação de uma reta não pode ser deixada nesta forma. Por quê?
1.4 Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 1
- 1.1 (página 6) (a) y = −x + 5 (b) y = x + 3 (c) y = 2x + 7 (d) y = 2x + 3 (e) y = 5x + 6 (f) y = − 3 x + 2 (g) y = − 3 x − 2 (h) y = 9x − 14 (i) y = − 9 x − 14 (j) y = −x − 6 (k) y = 3 (l) y = 1 (m) x = 1 (n) x = 3 Se a > 0 , reta ascendente Se a < 0 , reta descendente Se a = 0, reta horizontal Se a @, reta vertical
- 1.2 (página 6) (a) y = x + 2; (b) y =
√ 3 x − 2
√ 3 + 4; (c) y − x + 8; (d) y = x − 5 ; (e) y = 3x − 1 ; (f) y = − 13 x + 73 ;
(a) sim (b) não (c) sim
(a) não (b) sim (c) sim
(a) (2, 0) (b) (2, −3) (c) ( 38 , 18 )
(a) k = − 4 (b) k = ± 3 (c) k = 6
- 1.7 (página 7) y = − 3 x + 4
- 1.8 (página 7)
(a) (5, 0) (b) (0, −10)
(a) Omitida! (b) Omitida!
(a) Omitida! (b) Omitida!
- 1.11 (página 8) a = b = 4
- 1.12 (página 8) f (x) = 23 x
- 1.13 (página 8) f (3) = − (^52)
- 1.14 (página 8) (a) d = 450t. (b) Omitida! (c) o coe ciente angular é a velocidade do avião.
- 1.15 (página 8) Omitida! Pense um pouco mais!
