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Indução Matemática
- Noções básicas;
- Exemplos;
- Exercícios.
Indução Matemática é um processo de prova ou demonstração de propriedades definidas sobre o conjunto dos números inteiros que, baseada numa quantidade finita de observações, estende e generaliza a propriedade para todo o conjunto de números inteiros.
O processo de prova baseia-se nos seguintes argumentos:
Prove que a propriedade vale para n=1 , supondo que a propriedade vale para n, prove que ela também vale para n+1.
Veremos, a seguir, exemplos de propriedades numéricas que podem ser provadas com indução matemática.
Exemplo 1
Soma dos n primeiros números naturais:
1 = 1 1+2 = 3 1+2+3 = 6 1+2+3+4 = 10 1+2+3+4+5 = 15 ...
1+2+3+4+5+ ... + n = f(n) = n(n+1) 2
pois,
1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n = S n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 = S
somando:
(n+1) + (n+1) + (n+1) + .... + (n+1) + (n+1) + (n+1)= 2S
ou seja,
n.(n+1) = 2S
S = n(n+1) 2
Por inspeção observa-se que a fórmula S = n(n+1) , funciona para os primeiros números naturais. Será que valerá para todos? 2
Observe que a resolução do problema está dividida em duas etapas:
1ª. Descobrir uma regra, através da análise de casos particulares ou observando-se padrões ou regularidades;
2ª. Provar que a fórmula está correta e que vale para todos os números naturais.
O processo de prova será por indução matemática. Para tanto, devemos provar que a “base de indução” e depois, com o “passo de indução”, mostrar que se a propriedade é válida para “n” então ela será válida para “n+1” também.
a) BASE DE INDUÇÃO: verificar se a propriedade vale para n= Se n=1, então a soma de um termo é:
1 = 1.(1+1) 2
b) PASSO DE INDUÇÃO: supõe que a propriedade é válida para os n primeiros termos:
P(n) = 1+2+3+4+5+....+ n = n(n+1) 2 Agora devemos mostrar que p(n+1) também é válida
P(n+1) = 1+2+3+4+...+n+(n+1) = n(n+1) + (n+1) 2 = n(n+1) + (n+1) 2
= n(n+1) + 2(n+1) 2 = (n+1) (n+2) 2 = (n+1) [(n+1)+1] ok 2
APLICAÇÃO:
Transformar o algoritmo:
Início Leia (N) S:= Para i=1 até N faça S:=S+i Fim para Escreve (S) Fim
Início Leia (N) S:= N*(N+1) 2 Escreve (S) Fim
Exemplo 4
Mostre que para qualquer número n N o termo f(n) =2n^ – (–1)n^ é sempre um número múltiplo de
Solução:
A equação an = 2n^ – (-1) é solução da equação de recorrência 3
a 0 = 0 a 1 = 1 an+2 = an+1 + 2an
p(n) = 2n^ – (–1)n^ é múltiplo de 3, significa que existe k N tal que 2 n^ – (–1)n^ = 3k
Base de Indução:
21 – (–1)^1 = 2 – (-1) = 3
Supõe que p(n) é verdadeiro, ou seja, que existe k N, tal que:
2 n^ – (–1)n^ = 3k
Mostrar que 2n+1^ – (–1)n+1^ é também múltiplo de 3
Temos: 2 n^ – (–1)n^ = 3k ou 2n^ – 3k = (–1)n
Então:
2 n+1^ – (–1)n+ 2.2n^ – (–1).(–1)n 2.2n^ + (–1)n 2.2n^ + 2n^ – 3k 2 n^ (2 +1) – 3k 3.2n^ – 3k
- (2n^ –k)
com L = 2n^ –k temos: 3.L
Logo: 2n+1^ – (–1)n+1^ também é múltiplo de 3
Exercícios:
- Mostre que a soma de três números consecutivos é sempre um múltiplo de 3.
- Mostre que para qualquer n N e x > 0 tem-se que (1 + x)n^ 1 + nx
- Mostre que 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2n^ = 2 n +1^ - 1
