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Capítulo 8
Integrais Impróprias
8.1 Introdução
Na definição de integral definida, consideramos a função integranda contínua num intervalo
fechado e limitado. Agora, estenderemos esta definição para os seguintes casos:
Funções definidas em intervalos do tipo
,
ou
, ou seja para todo
ou
ou para todo
, respectivamente.
A função integranda é descontínua em um ponto tal que
.
As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias são
de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equa-
ções diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, em
Estatística.
8.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
Antes de enunciar as definições estudemos o seguinte problema: Calcular a área da região
determinada pelo gráfico de "$#! ,
e o eixo dos
.
Primeiramente note que a região é ilimitada e não é claro o significado de "área"de uma tal
região.
11
Figura 8.1: Gráfico de ' (^) "!#,
.
319
320 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Seja a região determinada pelo gráfico de ' "$#! e
, acima do eixo dos
.
11
Figura 8.2: Gráfico de ' "!#,
.
A área de é:
É intuitivo que para valores de
muito grandes a região limitada é uma boa aproximação
da região ilimitada . Isto nos induz a escrever:
quando o limite existe. Neste caso:
É comum denotar
por:
. Esta integral é um exemplo de integral imprópria com
limite de integração infinito. Motivados pelo raciocínio anterior temos as seguintes definições:
Definição 44.
1. Se é uma função integrável em
, então:
2. Se é uma função integrável em
, então:
3. Se é uma função integrável em
, então:
322 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
c) Se
, temos:
Em geral:
se
^ !
se
Portanto, a integral converge para
e diverge para
.
1 4
1
1 4
1
1 4
1
1 4
1
Figura 8.3: Gráficos de "! e ' "$#! , para
, são,respectivamente.
[7] Calcule a área da região limitada por
e o eixo dos
.
11
Figura 8.4: Gráfico de
.
Logo,
.
8.2.1 Aplicação
Uma função positiva integrável em
é chamada densidade de probabilidade se:
8.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 323
Assim denotamos e definimos a probabilidade de um número
estar comprendido entre
e
(
); por:
Analogamente definimos as outras possibilidades. Também podemos definir o valor esperado
do número
, como
Exemplos 125.
Seja , a função
se
se
é de densidade de probabilidade. De fato:
Por outro lado,
e
Muitas vezes não é possível calcular o valor exato de uma integral imprópria, mas, podemos
indagar se uma integral imprópria converge ou diverge.
Proposição 19. Sejam e
funções integráveis em
tais que
para todo
.
1. Se
converge, então
converge.
2. Se
diverge, então
diverge.
A prova, segue diretamente das definições. Seja
, para todo
. Para mostrar a con-
vergência da integral de , é preciso que seja menor que uma função cuja integral converge.
Para mostrar a divergência da integral de , é preciso que seja maior que uma função cuja
integral diverge.
Exemplos 126.
8.3. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 325
A área de é:
É intuitivo que para valores de muito pequenos a região limitada é uma boa aproximação
da região ilimitada . Isto nos induz a escrever:
é um exemplo de integral imprópria com integrando ilimitado. Motivados pelo racio-
cínio anterior, temos as seguintes definições:
Definição 45.
1. Se é uma função integrável em
, então:
2. Se é uma função integrável em
, então:
3. Se é uma função integrável em
exceto em tal que
, então:
Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes;
caso contrário, são ditas divergentes. Se é uma função integrável em
; então:
Se é uma função integrável em
; então:
326 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
a
y=f(x)
b
+ (^) -
Figura 8.7:
Exemplos 127.
Calcule as seguintes integrais impróprias:
[1]
.
Fazendo
temos:
. Logo,
[2]
.
^
[3]
.
Observe que a função integranda não é definida em
%
.
[4] Calcule o comprimento da astróide
,
328 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Exemplos 128.
[1]
.
^
[2] Calcule a área da região limitada pelo gráfico de " !"
e o eixo dos
.
1 3 6 9
1
1 3 6 9
1
Figura 8.10: Gráfico de
.
Como
, então:
8.4 Exercícios
- Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
(b)
8.4. EXERCÍCIOS 329
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
^
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
(q)
(r)
(s)
(^)
(t)
(u)
(v)
(w)
(x)
- Calcule a área das regiões determinadas por:
e
e o eixo dos^
.
- Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
8.4. EXERCÍCIOS 331
9. Se é função de densidade de probabilidade, defina a probabilidade de um número
ser
maior que
, ser menor que
.
- Numa fábrica de circuitos impressos, a vida útil desses circuitos tem uma distribuição
descrita pela densidade de probabilidade
se
, onde
é medido
em horas.
(a) Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de
horas?
(b) Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após
horas?
332 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
