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Lista 4
Integrais II
Versão do 25-5-
Integrais de funções racionais por frações parciais, integrais por substituição trigonométrica.
- Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função. Não determine os valores numéricos dos coeficientes. a) 2 x ( x + 3 )( 3 x + 1 ) b) x − 1 x³ x² c) x − 1 x 3 x d) x 4 x 3 x x ² − x 3 e) t 4 t 2 1 t² 1 t 2 4 2
- Avalie a integral.
a) ∫
x ² x ³− 6 x 2
dx ( 5 ln|
x − 1
x |
x
+ C )
b) (^) ∫ x 2 x 1 3 dx^ (^ ln∣ x^ ^1 ∣^
x 1
2 x 1
2 C^ )
c) ∫
5 e t e 2 t
dt ( ln|
e t − 2 e t
+ C )
d) ∫
− x³ +2x²− x + 1 x ( x 2
2 dx^ (^ ln∣
x
√ x² +^1 ∣
−arctan x −
2 ( x² + 1 )
+ C )
e) ∫
x 2
- 2 x − 1 2 x 3
- 3 x ²− 2 x dx (
ln
x ( 2 x − 1 ) 5 ( x + 2 )
5 |+ C^ )
f) ∫
x 2 − 5 x + 1 ( x 2
- 1 ) 2 dx^ (^ arctan^ x^ +^
2 ( x 2
+ C )
- Avalie a integral usando uma oportuna substituição racionalizante.
a) ∫
√ x^ +^4 x
dx ( 2 √ x + 4 + 2 ln∣
√ x^ +^4 −^2
√ x + 4 + 2 ∣
+ C )
- Avalie a integral usando uma apropriada substituição trigonométrica.
a) ∫ 0
(^2) 64 − x² 4x² dx. (^) ( −∞^ )
b) (^) ∫ √^16 +^ x 2 5 dx. (
ln| √ x ²+ 16 4
x 4 |
+ C )
c) ∫^ 2 x + 3 √^4 − x 2 dx^ (^ −^4 √^4 − x^ ² 2
)+ C )
d) ∫^
√^9 x 2
- 6 x − 8 dx (^) ( 1 3 ln∣3x 1 9x 2 6x− 8 ∣ C e) ∫ dx x 2 √ x 2
- 1
−√ x 2
+ C )
Área de regiões planas, volumes de sólidos de revolução, comprimentos de arco.
- Encontre a área da região limitada pelas curvas: a) (^) y = ex −1, y = x^2 − x , x = 1 ( e −^
u.a.) b) x =( y − 2 ) 2, y =− x + 4 (
u.a.) c) (^) y = x^3 , y = 3 x ( −
u.a.) d) y =sin x , y =−cos x , x =0, x =π ( (^2) √ 2 u.a.)
- Determine o volume dos sólidos gerados pela rotação em volta dos eixos dados das regiões delimitadas pelas seguintes curvas: a) (^) y = x 3,^ y = x , x ≥0, eixo-x (
π (^) u.v.) b) (^) y = ex^ sin x , x =0, x = , eixo-x ( /8(e^2 /-1) u.v.) c) (^) y = x 2,^ y = 2 x , eixo-y (
π (^) u.v.) d) (^) y = x 3,^ x =0, x = 2 , eixo-y (
π (^) u.v.) e) (^) x = 1 y^2 , x =0, y =1, y = 2 , eixo-x (
π (^) u.v.) f) y =√ x , x =4, y = 0 , eixo-y (
π (^) u.v.) 7a) Calcule o volume de uma esfera de raio a usando o método das seções transversas. (
a³ u.v.) 7b) Ache o volume de um cone reto de altura h e raio de base r, usando o método das seções transversas. (
π r 2 h (^) )
- Ache a área da superfície gerada pela rotação da curva (^) y = x^2 , de (1,1) até (2,4) ao redor do eixo y.
b) (^) ∫ 1 ∞ e − x^2 dx ; (^) ∫ 1 ∞ e − x dx. (Converge)
- Determine se a integral converge ou diverge; no caso de convergência, ache seu valor. a) (^) ∫ 0 (^3) dx x − 1
. (Diverge) b) ∫ e
x (^) lnx dx (^). (Diverge) c) (^) ∫ 0
x² − x − 2 dx. (^). (Diverge) d) (^) ∫ 0
x² −4x 3 dx. (^). (Diverge) e) (^) ∫ 0 1 x ln x dx. ( −^
f) ∫− 8 (^8) xdx x 2 − 9
. (Indeterminado)
