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12 Integral Indefinida
Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a
própria função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada população é conhecida,
pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum instante futuro; conhecendo a
velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição em um momento
qualquer; conhecendo o índice de inflação, deseja-se estimar os preços, e assim por diante.
O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou
integração indefinida.
Primitiva ou Antiderivada : Uma função F para a qual F ’( x ) = f ( x ) para qualquer x no domínio de f
é chamada de primitiva ou antiderivada de f.
Exemplos:
3
= + x +
x F x é uma primitiva de ( ) 5
2 f x = x + , pois F ’( x ) = x
2
2) F ( x )= ln( x )+cos( x )− 7 , x > 0, é uma primitiva de ( )
( ) sen x x
f x = − , pois
´( ) sen x x
F x = −.
Observação: A primitiva não é única. De fato, a função ( ) 5
2 f x = x + , por exemplo, poderia ter
3
= + x +
x F x , 5 1 3
3
= + x −
x F x ou x C
x F x = + 5 + 3
3
, onde C é uma constante qualquer,
como primitiva. O mesmo se aplica para a função do exemplo 2). Portanto, temos a seguinte
propriedade para primitivas:
Propriedade: Se F é uma primitiva de uma função contínua f , então qualquer outra primitiva de f
tem a forma G ( x ) = F ( x ) + C, onde C é uma constante.
Integral Indefinida: Se f é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por
f x dx = F x + C ∫
onde F é uma primitiva de f , C é uma constante, chamada constante de integração, o símbolo ∫
é
chamado sinal de integração, f ( x ) é o integrando e dx é a diferencial de x , neste contexto, um
símbolo indicando que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x.
Dica: Para verificar se uma primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da solução
F ( x ) + C. Se essa derivada for igual a f ( x ), então a primitiva está correta; se for diferente, existe
algum erro nos cálculos.
A ligação que existe entre derivadas e primitivas permite usar regras já conhecidas de
derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim temos o que chamamos de
integrais imediatas , as quais são apresentadas na tabela abaixo:
∫
k dx = kx + C , kcons tan te ∫
sen ( x ) dx = −cos( x )+ C
∫
, 1 1
1
C n n
x xdx
n n (^) ∫ sec ( x^ ) dx =^ tg ( x )+ C
2
∫
= ln + ,∀ ≠ 0
dx x C x x
∫
cos sec ( x ) dx = −cot g ( x )+ C
2
∫
e dx = e + C
x x x tgxdx = x + C ∫
sec() () sec()
x dx = senx + C ∫
cos( ) ( ) ∫
cossec( x )cot g ( x ) dx = −cossec( x )+ C
Regras algébricas para Integração Indefinida:
∫ ∫
k f ( x ) dx = k f ( x ) dx , k uma constante qualquer.
2) [ ]
∫ ∫ ∫
f ( x )± g ( x ) dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx
Observação: Não existe regra para a integral do produto e do quociente de duas funções.
s(3) – s(2) = 3 +18 + 27 + C – 2 – 8 – 8 – C = 30.
Portanto, o corpo percorre 30 metros no terceiro minuto.
8) Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o índice de monóxido
de carbono no ar estará aumentando á razão de 0,1 t + 0,1 partes por milhão por ano. Se o índice
atual de monóxido de carbono no ar é de 3,4 partes por milhão, qual será o índice daqui a 3 anos?
Solução: Seja i ( t ) o índice de monóxido de carbono no ar no tempo t. Então, i ´( t ) = 0,1 t + 0,1, ou
i ( t ) = 0,1 t
2 /2 + 0,1 t + C. Como i (0) = 3,4, segue que C = 3,4, ou seja, o índice de monóxido de
carbono no ar em um tempo t qualquer é dado por i ( t ) = 0,1 t
2 /2 + 0,1 t + 3,4. Em particular,
quando t = 3, tem-se um índice de i (3) = 4,15 partes por milhão.
9) Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura h ( t ), após t anos,
está variando a uma taxa de 0,06 t
2/
1/ metros/ano. Se a árvore tinha 60 cm de altura
quando foi plantada, que altura terá após 27 anos?
Solução : Temos h´ ( t ) = 0,06 t
2/
1/ e, portanto, a altura da árvore após t anos será dada por
C
t t h t t t dt +
×
×
∫ 3
5 / 3 3 / 2 2 / 3 1 / 2 .
Como h (0) = 0,6, segue que C = 0,6 e, substituindo na expressão de h , temos
5 / 3 3 / 2
×
×
t t h t. Assim, após 27 anos a árvore medirá h (27) = 8,748 +
28,059 + 0,6 = 37,41 metros.
Mudança de variável : Se f é uma função que se apresenta na forma f ( x )= g ( u ( x )) u '( x ), ou seja,
se na expressão de f aparecer uma função e sua derivada, então a sua integral em relação a x pode ser
calculada do seguinte modo: ∫ ∫ ∫
f ( x ) dx = g ( u ( x )) u '( x ) dx = g ( u ) du , onde du = u '( x ) dx.
Este método de integração é chamado de mudança de variável, no qual mudamos a variável
x para u , calculamos a integral em relação a u e depois retornamos a resposta para x.
Exemplos:
1) Calcule as integrais abaixo:
a) ∫
dx x
x
2
Seja u ( x ) x 1 du 2 xdx
2 = + ⇒ =. Substituindo no integrando, temos:
∫ ∫
u C x C u
du dx x
x ln ln( 1 ) 1
2
, já que x
2 +1 > 0 para todo x.
b)
dx x
x
∫
2 ln
Seja dx x
u x x du
( )= ln ⇒ =. Substituindo no integrando, temos:
∫ ∫
= = + = + C
x C
u dx u du x
x
ln
ln
3 3 2
2
.
c) ∫ cos ( − 2 )
2 t
t
e
edt
Seja u t e du e dt
t t ( )= − 2 ⇒ =. Substituindo no integrando, temos:
udu tg u C tge C u
du
e
e dt t
t
t
= = = + = + −
∫ ∫ ∫
sec ( ) ( ) cos ( 2 ) cos
2 2 2
d) ∫
x cos( x ) dx
4 5
Seja 5
5 4 4 du u x = x ⇒ du = x dx ⇒ x dx =. Substituindo no integrando, temos:
udu senu C sen x C
udu x x dx = = = + = + ∫ ∫ ∫
cos 5
cos cos( )
4 5 5
4) Depois que os freios são aplicados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metros por
segundo por segundo. Se o carro está a 65 km/h (18 m/s) quando o motorista pisa no freio, que
distância o carro percorre até parar?
5) De acordo com uma das leis de Poiseuille para o fluxo de sangue em uma artéria, se v ( r ) é a
velocidade do sangue a r cm do eixo central da artéria, a taxa de variação da velocidade com r é
dada por v ´( r ) = - ar , onde a é uma constante positiva. Escreva uma expressão para v ( r ) supondo
que v ( R ) = 0, onde R é o raio da artéria.
6) O valor de revenda de uma certa máquina diminui a uma taxa que varia com o tempo. Quando a
máquina tem t anos de idade, a taxa com que o valor está mudando é -960 e
-t/ reais por dia. Se a
máquina foi comprada nova por R$ 5.000,00, quanto valerá 10 anos depois?
7) Em um certo subúrbio de Los Angeles, a concentração de ozônio no ar, L ( t ), é de 0,25 partes por
milhão (ppm) às 7h. De acordo com o serviço de meteorologia, a concentração de ozônio t horas
mais tarde estará variando à razão de 2 36 16
t t
t L t
= (^) ppm/h.
a) Expresse a concentração de ozônio em função de t. Em que instante a concentração de
ozônio é máxima? Qual é a máxima concentração?
b) Faça o gráfico de L ( t ) e, baseado nele, responda as perguntas do item a). Determine em que
instante a concentração de ozônio é a mesma que às 11h.
8) Uma empresa montou uma linha de produção para fabricar um novo modelo de telefone
celular. Os aparelhos são produzidos à razão de (^)
t
t
dt
dP unidades/mês.
Determine quantos telefones são produzidos durante o terceiro mês.
