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MASSUCCO – ARRARAS - MARAÑON DI LEO
CALCULO DIFERENCIAL
Integral Indefinida
Estamos acostumbrados a decir que el producto y el cociente son operaciones inversas. Lo mismo sucede con la potenciación y la radicación. Vamos a estudiar ahora la operación inversa de la diferenciación.
Dada la función f (x), llamaremos función primitiva de ésta y la designamos con F (x) a toda función tal que
F' ( x ) = f ( x )
dF ( x ) = f ( x ). dx
Por ejemplo si f ( x ) = x^3 , entonces una función primitiva de f (x) es:
x^4 F x =
ya que ( ) x f ( ) x
x F ' x = =^3 =
3
4
o bien dF ( x ) = F' ( x ) .dx = x^3 dx = f ( x ). dx
Otras funciones primitivas distintas de f(x) son, por ejemplo:
5 4
4 = +
x y ; 2
4 = −
x y ;
esto ocurre porque la derivada de una constante es igual a cero.
Teorema Fundamental del Cálculo Integral :
“TODAS las funciones que tienen igual derivada difieren entre sí en una constante “
Luego, hallada una primitiva de f (x), todas las primitivas de f (x) difieren de la calculada en una constante.
La operación de encontrar todas las primitivas de f(x) es la antidiferenciación, que simbolizamos:
∫ f^ (^ x )^ dx =^ F (^ x )+ C
en la cual C es una constante arbitraria, debiendo leerse el miembro de la izquierda “integral de f de x, diferencial de x “.
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Tabla de Integrales.
A partir de las tablas de derivación podemos obtener reglas para la integración:
∫ dx =^ x + C
∫ kdx =^ x + C
∫ =^ + C
x x dx 2
2
C n
x x dx
n n 1
1
∫ cosxdx =^ senx + C
∫ −^ sen^ xdx =cos x + C
∫ dx^ =^ e + C
ex x
∫ x dx^ =^ ln x + C
∫ f^ (^ x)^ ±^ g (^ x )^ dx =∫ f (^ x )^ dx ±∫ g (^ x ) dx
Ejemplos : Hallar:
1- (^) ∫ ( x + x − ) dx = ∫ x + x − dx = x + x − x + C = x + x − 2 x + C 3
2 2 2
2
4 3
8 8 2 8 2
3 4 4 3 / 2 2
1 3 3
−+ − + dx x −^ x − dx x x x C x x 4 1
2 4
C
x x
C x
x x x + = + − + −
− − 2
1 3
3
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Una grosera aproximación de dicha área consistirá en tomar el área del rectángulo de lados ab y f(xm) siendo xm la abscisa para la cual la función f(x) asume su valor mínimo en el intervalo considerado; evidentemente tal área será menor que el área que pretendemos medir.
Llamemos al área Am. Ésta será el producto de f (xm) por (b – a).
Es decir: Am = f ( xm ) • ( b − a )
Algo similar ha de ocurrir si tomamos el rectángulo de lados ab y f(xM) siendo xM la abscisa donde la función asume su valor máximo; en tal caso el área calculada supera el valor del área bajo la curva.
Es decir: AM = f ( xM ) • ( b − a )
y
f (xM)
a b x
AM
xM
y
0 a b x
c = f ( x
f ( xm )
A
xm
Am
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CALCULO DIFERENCIAL
Resulta evidente que una aproximación mejor se obtiene haciendo una partición Pn del a b , , y tomando como área la suma de las áreas de los rectángulos
elementales.
Ai = f ( ti ) ∆ xi
Como se ve en la figura el área aproximada está dada por la suma
A A
i
' = (^) i
1
7
pero Ai = f ( t i )∆ xi
entonces A i
=
1
7
f ( t i )∆ xi
Intuitivamente nos damos cuenta que el área aproximada A’ se ajustará cada vez más al área A bajo la curva a medida que mayor sea el número de intervalos de la partición. También es intuitivo que en el límite, cuando el número de los rectángulos elementales tiende a ∞ , la suma dará exactamente el área A.
A f ( ) t x f ( ) x dx
b i i a
n n (^) i
→∞ (^) = 1 lim
t 1 t^6 t 7
∆x (^6) ∆x 7
X
∆x 1 ∆x 2 ∆x 3 ∆x 4 ∆x 5
f (t 1 ) f (t 4 )
f (t 6 )
x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
y
a 0
b
t 2 t 3 t 4 t^5
etc.
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CALCULO DIFERENCIAL
Cálculo de Áreas por Integración Definida.
Las áreas, siendo números que representan la medida de una superficie (es decir el número de veces que cabe la unidad de superficie en un determinado recinto), no pueden ser negativas.
Las integrales definidas en cambio, sí pueden dar como resultado un número negativo. Esto ocurre precisamente toda vez que la función asume valores negativos en la totalidad del intervalo de integración.
Ejemplo:
Hagamos la integral de la función
f ( x ) = ( x − 3 ) 2 − 2 entre los valores 2 y 4.
Dentro de ese intervalo la función toma exclusivamente valores negativos y el valor resultante de la integración es un número negativo; sin embargo el área entre la curva y el eje no puede ser negativa; en consecuencia debe tomarse el valor absoluto del resultado de la integral cuando lo que se está calculando es un área.
El valor negativo de la integral en estos casos lo único que indica es que la curva está por debajo del eje x.
La verdadera dificultad se presenta cuando a lo largo del intervalo de integración la función cambia de signo de modo que parte de la curva queda debajo del eje x y parte encima de él. Si no se tiene la precaución de graficar la curva y con ello evidenciar este hecho, se cometerá el error de suponer que la integral está dando el área entre la curva y el eje x , cuando en realidad el resultado de la integral estará dando la diferencia entre las áreas que están por encima del eje x y las que están debajo.
2 4
x
y
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En el ejemplo, ocurriría esto si integramos entre 0 y 6. Para evitar este inconveniente debemos dividir el intervalo de integración en tantos subintervalos como sea necesario a fin de tener subintervalos dentro de los cuales la función tenga un mismo signo; (es decir entre “ceros” o raíces de la función) integrar entonces separadamente sobre cada intervalo y sumar luego los valores absolutos de cada resultado.
Actividad: Calcular (^) ∫ [ ( − ) − ]
6 0 x 3 2 2 dx
Ejemplo 1:
Hallar el área limitada por y = 2 x − x^2 y el eje x.
Hallamos las intersecciones de la curva con el eje x.
2 x − x^2 = 0 ⇒ x ( 2 − x ) = 0
resulta x 1 (^) = 0 y x 2 = 2
Calculamos la integral definida en 0 2,
( ) 3
2
0
3 (^222) 0
x A x x dx x
(^0 1 2) x
y
1
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CALCULO DIFERENCIAL
De la gráfica conjunta de las dos ecuaciones puede visualizarse que el área bajo la curva y = x^2 -5x entre los puntos de abscisas 0 y 5 está ubicada debajo del eje de las x, debiendo en consecuencia resultar negativa la integral entre esos límites. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que al efectuar la diferencia entre las áreas de la recta y la parábola, la correspondiente a la parábola ingresó en el cálculo de la integral con signo negativo, es decir restando, lo que significa que la parte positiva del área correspondiente se restará, en tanto que la parte negativa se sumará al efectuar el cómputo total.
Resulta entonces que el cálculo que hemos realizado es equivalente a:
a) Computar la ∫∫∫∫
−−−−
5 1 ( x 5 )dx
b) Restar la ∫∫∫∫
−−−−^
0 1 (x^2 5 x)dx
c) Sumar el valor absoluto de la ∫∫∫∫ −−−−
5 0 (x^2 5 x)dx (parte de la parábola debajo del eje x)
Actividad.
Ejercicio 1: Hallar el área limitada por:
a) y = x^2 − 3 x y el eje x.
b) y
x = −
2
4
1 y el eje x.
c) y = x^2 + x − 2 y = 0 ; x = 0 ; x = 2
d) y = x^2 − 9 el eje x ; x = 1 y x = 4
Ejercicio 2 : Calcular el área comprendida entre las curvas.
a) y = x − x^2 e y = − x
b) y = x^2 − 2 e y = 6 − x^2
c) y = 9 − x^2 e y = x + 7
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CALCULO DIFERENCIAL
Integración Numérica:
En las aplicaciones prácticas, como hemos dicho al comenzar el desarrollo de este capítulo, son pocas las veces en que se necesita conocer el resultado exacto de una integral. Como la integral de una función puede obtenerse exactamente hallando el límite de una sucesión, un procedimiento aproximado consiste en emplear el mismo procedimiento tomando un término de la sucesión suficientemente avanzado.
Partiendo el intervalo [ a,b ] en n subintervalos iguales de longitud ∆∆∆∆ x y tomando el valor de la función en el extremo izquierdo de cada intervalo, la integral tiene como valor aproximado:
n
b a x
b a f^ (x)dx x[f(a) f(a x) f(a^2 x) f(a (n^1 ) x]
Ejemplo:
Calcular la integral: ∫
1 0 xdx
a)método exacto: ∫
1 0 x dx = 2 05
0 2
1 2
(^122)
0
2 , x = − =
b)método aproximado: hacemos n = 100 para lo cual resulta 001 100
x = ,
1 0 0495 (elvalorexactoes0,5) 100
xdx ,
a ∆x b
y
x
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Ejemplo:
Calcular: ∫
1 (^0 2) x 2
dx (esta integral no puede calcularse fácilmente con la Regla de
Barrow)
siendo 2 2
x
f (x)
= ; tomando ∆x = 0,1 puede construirse la siguiente tabla:
X^0 0,1^ 0,2^ 0,3^ 0,4^ 0,5^ 0,6^ 0,7^ 0,8^ 0,9^1
f(x) 0,707 0,706 0,705 0,702 0,696 0,686 0,672 0,653 0,631 0,605 0,
Resultando 2 0642
0707 0577 2
, E , , =
=
1 0
f(x)dx , , ,
y
P I ,
Actividad:
a)Hallar el valor aproximado de (^) ∫
6 2
dx
x
aplicando la fórmula de los trapecios
con n=
b)Calcular el valor aproximado como en el problema anterior para ∫ x + dx
5 1 35
c) Si una curva viene dada por la siguiente tabla:
Hallar el área bajo la misma por aplicación de las fórmulas de los trapecios.
x 1 2 3 4 5
y 1,8 4,2 7,8 9,2 12,
