Método da Substituição: Calculo de Integrais Indefinidas e Definidas, Notas de aula de Cálculo

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Método da Substituição

Cálculo 2– Prof. Aline Paliga

Introdução

Nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular

integrais do tipo

Uma maneira de calcularmos esta integral é mudarmos a variável x para

uma nova variável u.

Suponha que façamos. Então calculamos a derivada:

Portanto podemos reescrever a nossa integral:

integral imediata!

2

^2 x^^1  x dx

2 u  1  x

2 du=2xdx

du x dx

 

2 2 2 x 1  x dx  1  x 2 xdx

 udu

1/ 2

n

  u du  n 

1

1

n n x x dx C n



  

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO:

Esse método funciona sempre que temos uma integral que possa ser

escrita na forma, onde u=g(x)

 f^ (^ g x ( ))^^ g^ '( ) x dx^^  f u du ( )

( )

'( ) '( )

u g x

du g x du g x dx dx



  

PASSO A PASSO:

Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em

geral “a função interna” da função composta f (g(x)).

Passo 2. Calcule du = g’(x) dx.

Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter

a integral em uma outra envolvendo apenas u.

Passo 4. Calcule a integral resultante.

Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como

função de x.

EXEMPLO 2:

RESOLUÇÃO:

Seja u=5x, então du=5dx ou

5 x ^ e^ dx

5

u u

x u

e du e du

e e C C

 

du dx 

EXEMPLO 3:

RESOLUÇÃO:

Seja u=x^2 , então du=2xdx ou

2  sen x^ (^^ ) xdx

   

 

2

1 cos( ) cos( ) 2 2

sen u du sen u du

x u C C

 

du xdx 

MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO (definida)

Existem 2 métodos para se calcular uma integral definida por

substituição. Um deles consiste em se calcular a integral indefinida e

então usar o TFC2.

O outro método, usualmente preferível, consiste em mudar os limites

de integração ao se variar a variável.

( )

( )

( ( )) '( ) ( )

g b

g a ^ f^ g x^ g^ x dx^  f u du

DO EXEMPLO 1:

RESOLUÇÃO:

4

0 ^2 x^ ^1 dx

3/ 2^4 4

0 0

3/ 2 3/ 2

3/ 2 3/ 2

x x dx

  ^ 

  ^ 



( )

( )

4 9

0 1

3/ 2 9 3/ 2 3/ 2

1

g b

g a

f u du u g x x

g b

g a

x dx udu

u



 

1º método

2º método