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Interpolação Por Lagrange
Contato: [email protected] Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 04/03/2016 - Atualizado em 24/11/
O que é? Trata-se de uma forma de determinar uma função polinomial que passa por um determinado conjunto de pontos dados.
Como funciona? Para entender a Interpolação de Lagrange repare bem nessas sequencias:
L 0 =
0 − 1^ ·^
0 − 2^ ·^
0 − 3^...
− n 0 − n
L 1 =
1 − 0^ ·^
1 − 2^ ·^
1 − 3^...
− n 1 − n
L 2 =
2 − 0^ ·^
2 − 1^ ·^
2 − 3^...
− n 2 − n ...
L n = (^) ^ −^ ^0 n −^ 0
· ^ −^ ^1
n −^ 1
· ^ −^ ^3
n −^ 2
... ^ −^ n −^1 n −^ n − 1 Note que em L 0 não é feito − 0 no numerador muito menos 0 − 0 no denom- inador, o que resultaria numa singularidade. Raciocínio semelhante ocorre para L 1 , L 2 e assim por diante.
O que a interpolação de Lagrange nos diz é que: dado um conjunto de pontos (x 0 , y 0 ), ... ,(x n , y n ) então um polinômio (de grau n) que se ajusta a esses pontos é:
p ( ) = y 0 L 0 ( ) + y 1 L 1 ( ) + y 2 L 2 ( ) + y 3 L 3 ( ) + · · · + ynLn ( )
Exemplo 1: Dado os pontos (1, 3); (2, 6); (4, 8) e (7, 12) encontre um polinômio interpolador de grau 3 por meio de Lagrange.
Solução: Os pontos dados são:
(x 0 , y 0 ) = (1, 3); (x 1 , y 1 ) = (2, 6); (x 2 , y 2 ) = (4, 8); (x 3 , y 3 ) = (7, 12);
Com base neles calculamos L 0 , L 1 , L 2 e L 3.
L 0 =
1 − 2 ·^
1 − 4 ·^
1 − 7 =^ −^
L 1 = 2^ −−^^11 · 2^ −−^^44 · 2^ −−^^77 = 101 ( ^3 − 12 ^2 + 39 − 28 )
L 2 =
4 − 1 ·^
4 − 2 ·^
4 − 7 =^
L 3 =
7 − 1 ·^
7 − 2 ·^
7 − 4 =^
Assim, o polinômio interpolador será:
p ( ) = 3 L 0 ( ) + 6 L 1 ( ) + 8 L 2 ( ) + 12 L 3 ( )
⇒ p ( ) = 3
−
+ 6
+ 8 ^3 − 10 ^2 + 23 − 14 ^ + 12
ou mais simplificadamente:
p ( ) =
3 −^2579
2 +^3014
15 ^ −^
Interpolação por Lagrange em Pascal
1 {A constante N marca o numero de pontos que serao utilizados. E a variavel valor contem o valor utilizado para x} 2 3 Program Lagrange; 4 //Total de pontos que serao usados 5 Const N = 4; 6 var px, valor: Real; 7 8 var L: array [0..(N-1)] of real; 9 var x: array [0..(N-1)] of real; 10 var y: array [0..(N-1)] of real; 11 12 var i, j: integer; 13 Begin 14 WriteLn (’Entre com os valores de x:’); 15 for i:=0 to (N-1) do 16 begin 17 ReadLn (x[i]); 18 end ; 19 WriteLn (’Entre com os valores de y:’); 20 for i:=0 to (N-1) do 21 begin 22 ReadLn (y[i]); 23 end ; 24 25 {Calcula p(1). Para calcular p(n) mude o valor desta linha para n} 26 valor:=1; 27 28 for i:=0 to (N-1) do 29 begin 30 L[i] :=1; 31 end ; 32 33 for i:=0 to (N-1) do 34 Begin 35 for j:=0 to (N-1) do 36 begin 37 if (i <> j) then 38 begin 39 L[i]:=(valor-x[j])/(x[i]-x[j])L[i]; 40 end ; 41 end ; 42 j := 0; 43 end ; 44 45 //Calculando o polinomio 46 px:=0; 47 for i:=0 to (N-1) do 48 begin 49 px:=y[i]L[i] + px;
50 end ; 51 52 //Imprimindo resultado 53 WriteLn (); 54 WriteLn (px); 55 End.
