Interpolação Polinomial e Formas de Newton e Lagrange, Notas de estudo de Informática

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Interpolação

Objetivo

Interpolar uma função f(x) consiste em

aproximar essa função por uma outra função

g(x), escolhida entre uma classe de funções

definidas (polinômios). g(x) é usada em

substituição à função f.

Em equação

Consideremos n+1 valores distintas: x

0

, ..., x

n

(nós da interpolação) e os valores de f(x)

nesses pontos: f(x

0

), ..., f(x

n

Queremos determinar a função g(x) tal que:

g(x

0

)=f(x

0

g(x

n

)=f(x

n

Graficamente

Interpolação polinomial

Dados os n+1 pontos (x

0

,f(x

0

)), ..., (x

n

,f(x

n

queremos aproximar f(x

0

) por um polinômio

p

n

(x) de grau menor ou igual a n:



f(x

k

)=p

n

(x

k

) ; k=0,1,...n

Questões: esse polinômio existe? Ele é

único?

Interpolação polinomial



Considerando que p o polinômio escreve-se

p

n

(x)= a

0

+a

1

x+...+a

n

x

n

, a condição f(x

k

)=p

n

(x

k

)

; k=0,1,...,n produz o sistema seguinte de

n+1 equações , n+1 variáveis:

0 1 0 0 0

0 1 1 1 1

0 1

... ( )

... ( )

.........

... ( )

n

n

n

n

n

n n n n

a a x a x f x

a a x a x f x

a a x a x f x

    



   









   



Prova

Podemos proceder da forma seguinte: O

determinante pode ser considerado como um

polinômio em x

0

E um polinômio de grau n com n raízes: x

1

a x

n

, ele

pode ser escrito (x

i

-x

0

); i 0

0 0

1 1 2

0 1 0 2 0 0

1 ...

1 ...

...

1 ... ... ...

1 ...

n

n

n

n

n

n n

x x

x x

x x x

x x

       

Determinante de Vandermonde

O determinante da matriz de Vandermonde

pode ser escrito da forma seguinte:

0 0

1 1

0

n

n

j i

i j n

n

n n

x x

x x

x x

x x

  

Obter p

n

(x)

Para obter o polinômio p

n

(x), existem

diversos métodos, o mais direto sendo a

resolução do sistema linear.

A escolha do método depende de várias

condições: a estabilidade do sistema,

performance computacional, ...

Resolução do sistema

Vamos encontrar o polinômio de grau  2

que interpola os pontos da tabela:

Considerando p

2

(x)=a

0

+a

1

x+a

2

x

2

. Temos o

sistema:

x -1 0 2

f(x) 4 1 -

0 1 2

0 0 1 2

0 1 2

a -a +a =

7 2

a =1 a 1, a , a

3 3

a +2a +4a =-





   







Forma de Lagrange

Considerando os n+1 pontos (x

0

,y

0

=f(x

0

(x

n

,y

n

= f(x

n

)) e o polinômio interpolador

p

n

(x). Lagrange propôs de representar o

polinômio p

n

(x) da forma:

p

n

(x)=y

0

L

0

(x)+..+y

n

L

n

(x), onde L

k

(x) são

polinômios de grau n e a condição p

n

(x

i

)=y

i

i=0,...,n seja satisfeita.

Forma de Lagrange

A melhor forma de ter a condição: p

n

(x

i

)=y

i

i=0,...,n, é impor:

Por isso, consideramos:

k i

L (x )=

se k i

se k i

0 1 1 1

0 1 1 1

k k n

k

k k k k k k k n

x x x x x x x x x x

L x

x x x x x x x x x x

 

 

Interpolação linear

Interpolação de dois pontos (x

0

,y

0

=f(x

0

)) e

(x

1

,y

1

=f(x

1

Usando a forma de Lagrange, temos:

1 0 1 0 0 1

0 1

0 1 1 0 1 0

n

x x x x x x y x x y

p x y y

x x x x x x

Exemplo

Seja a tabela:

Temos:

x -1 0 2

f(x) 4 1 -

2 2 2

2

n

x x x x x x

p x x x

2

1 2

0

0 1 0 2

2

0 2

1

1 0 1 2

2

0 1

2

2 0 2 1

( )( ) ( 0)( 2) 2

( )

( )( ) ( 1 0)( 1 2) 3

( )( ) ( 1)( 2) 2

( )

( )( ) (0 1)(0 2) 2

( )( ) ( 1)( 0)

( )

( )( ) (2 1)(2 0) 6

x x x x x x x x

L x

x x x x

x x x x x x x x

L x

x x x x

x x x x x x x x

L x

x x x x

    

  

     

      

  

     

     

  

    