Interpolação Polinomial de Lagrange: Métodos e Análise de Erros, Notas de aula de Cálculo Numérico

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Unidade III

Interpolação Polinomial

. Forma de Lagrange

Roteiro

 Interpolação Linear

 Interpolação Polinomial

◦ Introdução

◦ Forma de Lagrange

◦ Exemplos de Aplicações

◦ Erros

Ótimo estudo!

 Interpolação Linear  Exemplo 1 ◦ Dada tabela calcule os valores aproximados para cada y desconhecido (valores em branco na tabela).

 Interpolação Polinomial ◦ Introdução ◦ Dado um conjunto de pontos {x i , f(x i )}, i=0,..., i=n como na tabela: ◦ Interpolar um ponto x k a um conjunto {x i , f(x i )}, significa calcular o valor de f(x k ) , sem conhecer a equação de f(x)!

 Interpolação Polinomial

◦ Introdução

◦ Teorema 1

 Existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os ( n+1 ) pontos do conjunto {x i , f(x i ) }, i=0, ..., i=n.

 Interpolação Polinomial

◦ Forma de Lagrange

◦ Seja e com ◦ Obs: xi = xo, x 1 , x 2 , ... , xn são os valores tabelados!

 Interpolação Polinomial

◦ Forma de Lagrange

 Interpolação Polinomial

◦ Forma de Lagrange

 Interpolação Polinomial ◦ Forma de Lagrange  Exemplo 2

 Interpolação Polinomial

◦ Forma de Lagrange

 Exemplo 3

 Interpolação Polinomial ◦ Forma de Lagrange  Exemplo 3 (cont.)

 Interpolação Polinomial ◦ Forma de Lagrange  Exemplo 3 (conclusão)

 Interpolação Polinomial

◦ Forma de Lagrange

 Considerações sobre o Erro

Teorema 3 (Estimativa do Erro na Interpolação Polinomial) Obs1 : xk = xo, x 1 , x 2 , ... , xn são os valores tabelados! Obs2 : na prática podemos obter um M e estimar o erro!

 Interpolação Polinomial

◦ Forma de Lagrange

 Considerações sobre o Erro

 Em geral, quando calculamos o Polinômio

Interpolador não conhecemos a função

verdadeira ou suas derivadas.

 Assim, no caso geral, a estimativa do erro do

Polinômio Interpolador fica inviável.