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3. Limites
Ao trabalhar com uma função, nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de existência), afinal, só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua expressão matemática, portanto, tenha significado. Todavia, em muitos casos, é importante saber como a função se comporta quando a variável está muito próxima de um ponto que não pertence ao seu domínio. E para este estudo, nos valemos da teoria de limites, a qual permite a análise de uma função em uma vizinhança muito próxima de um ponto, sem se preocupar com o valor da função neste ponto. Este conceito será ilustrado nos exemplos abaixo:
a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x )= senx (^ x )quando x está muito próximo de 0:
x -0,5 -0,01 -0,0001 0,0001 0,01 0, f(x) 0,95885 0,99998 0,9999998 0,9999998 0,99998 0,
Observamos que quando x se aproxima de 0 (ou x “tende” a 0, ou x → 0 ) tanto pela esquerda quanto pela direita, f(x) se aproxima de 1 ( f ( x )→ 1 ). Vejamos o gráfico:
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
x
y
Observe que o programa utilizado desenha o gráfico de f como se tivéssemos f(0) = 1, porém sabemos que ± f(0) (mais uma vez, cuidado ao utilizar o computador para fazer gráficos).
b) Observemos agora a função f ( x )= (^) x^1 − 2 , quando x → 2 :
x 1,5 1,9 1,999 1,99999 2,00001 2,001 2,1 2, f(x) -2 -10 -1.000 -100.000 100.000 1.000 10 2
Note que quando x → 2 pela direita (ou seja, x > 2), f(x) cresce infinitamente de modo positivo e quando x → 2 pela esquerda (ou seja, x < 2), f(x) decresce infinitamente de modo negativo. Vejamos o gráfico:
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−
−
−
−
−
1
2
3
4
5
x
y
Conceito de limite: Se f(x) se aproxima de um número L quando x se aproxima de um número c ,
tanto pela esquerda ( x → c −) como pela direita ( x → c +), então L é o limite de f(x) quando x tende
a c , o que é denotado por lim x → c^ f ( x^ )^ = L.
Observações:
- $ lim x → c f ( x ) = L ñ $ (^) x lim→ c _ f ( x ) = (^) x lim → c + f ( x ) = L.
Corolário: (^) x lim→ c _ f ( x ) ∫ (^) x lim → c + f ( x ) ⇒ ± lim x → c f ( x ).
- Se f(x) cresce ou decresce infinitamente quando x se aproxima de um número c , pela esquerda ou pela direita, então dizemos que o limite de f(x) não existe quando x tende a c , e denotamos lim x → c f ( x )= ±∞.
- Se f(x) se aproxima de um número L quando x cresce ou decresce infinitamente ( x →±∞), então L é o limite de f(x) quando x tende a infinito, o que é denotado por (^) x lim→ ±∞ f ( x ) = L.
Cálculo de limites: o cálculo do limite de uma função na vizinhança de um determinado ponto (que pertença ou não ao seu domínio) é feito a partir das propriedades abaixo:
- lim x → c k = k e lim x → cx = c ,∀ k , c ∈ℜ.
- Se lim x → c f ( x ) e lim x → c g ( x ) existem, então:
uma equivalente a ela, para a qual seja possível o cálculo do limite. Os exemplos 2, 5 e 6 acima possuem expressões indeterminadas. São consideradas indeterminadas as seguintes expressões:
+∞−∞ ×∞ ∞^ ∞
, ∞^ , , 0 , 0 , , 1
Limites fundamentais: os três limites abaixo são denominados limites fundamentais e podem ser utilizados no cálculo de outros limites, quando necessário. A demonstração será omitida aqui, porém é aconselhável que os estudantes façam a verificação através da visualização gráfica e/ou a construção de tabelas.
- lim x → 0 senx (^ x ) = 1
- (^) x e
x x =
→ ±∞ lim 1 1
- lim → 0 a^ x −^1 =ln( a ), ( a > 0 , a ≠ 1 )
x x
Exemplos:
- lim x → 0 sen ( x^9^ x ) =?
Seja 9x = y. Então, x = y / 9 e x → 0 ⇔ y → 0. Substituindo na função acima, temos: lim x → 0 sen ( x^9 x )= lim y → 09 seny ( y )= 9 lim y → 0 seny ( y )= 9 × 1 = 9.
2. ( ) x
x x cos
1 2
lim → 3 π 1 +cos =?
Seja y = (^) cos^1 x. Então, cos x = (^1) y e x →^32 π^ ⇔ y →∞. Substituindo na função, temos:
( x ) y e
y x x y ^ =
+ = ^ +
→ →∞ lim 1 cos cos^1 lim 1 1 2 3 π.
- lim → (^2 5) x −−^252 =
x x? Seja y = x – 2. Então, x = y + 2 e x → 2 ⇔ y → 0. Substituindo na função, temos:
lim^525 lim^5525 lim^25 (^51 ) 25 lim(^51 ) 25 ln 5 40 , 236 2 lim 5 25 0 0
2 0
2 2 0 =^ ≅
→ → →
→ (^) x → y y y y
y y
y y
y y
y y
x x
EXERCÍCIOS:
Calcule os limites abaixo, caso existam:
- lim x → 3 ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) 2. lim x → 0 ( 1 − 5 x^3 )
- lim x → 55^ x −^ + x^3 4. lim x → (^1 2) x^ x +^ + 13
- lim^93
2 (^3) −
→ (^) x
x x^ 6.^2
2 0 lim (^1 ) x
x x x
→
- lim (^2362)
2 (^2) + +
→ − (^) x x
x x x^ 8.^4 lim^2 (^4) −
→ (^) x
x x
- lim x → 0 sen( 3 x^4^ x^ ) 10. lim x → (^5) x^4 − 5
x x (^) x
→ ∞ lim 1 10 12. 2 lim^21 (^2) −
→ (^) x
e x x
- (^) x lim → 10 x − 10
- (^) x lim → 3 + f ( x ) e x lim→ 3 − f ( x ) se
( )^22 ,^3
x x f x x x x
- (^) x lim →− 1 + f ( x ) e x lim→− 1 − f ( x ) se
( )^11 ,^1
x^2 x x
f x x x
( )^1 ,^1
x x f x x x ; x = 1.
(a) $ f (1) = 1;
(b)
− →
→ → (^) lim 2 1
lim 1 2 lim ( ) 1
1 (^1) x
x f x x
x x^ fl^ ±^ lim x → 1 f (^ x )^ ; Logo, f não é contínua em x = 1.
Observação: Se uma função não é contínua em um ponto a , dizemos que ela é descontínua neste ponto.
Continuidade em intervalo: Uma função f é dita contínua em um intervalo aberto ( a,b ) se for contínua em todos os valores de x contidos neste intervalo. f é dita contínua no intervalo fechado [ a , b ] se for contínua no aberto ( a,b ) e, além disso, lim x → a + f ( x ) = f ( a ) e (^) x lim → b − f ( x ) = f ( b ).
Uma pergunta natural que surge aqui é: como verificar se uma função é contínua em um intervalo, se ele contém infinitos elementos? Existem duas maneiras de respondê-la: podemos tomar um ponto genérico do intervalo, por exemplo, x 0 , e verificar, usando a definição, se f é contínua neste ponto. Se for, será em todo o intervalo, uma vez que x 0 representa um ponto qualquer do intervalo em questão. Outra maneira é utilizar as propriedades válidas para continuidade, apresentadas abaixo.
Propriedades:
- Toda função polinomial é contínua em todos os reais.
- Toda função racional (divisão de polinômios) é contínua em seu domínio.
- As funções f ( x ) = sen( x ) e f ( x ) = cos( x ) são contínuas para todo número real x.
- A função exponencial f ( x ) = ex^ é contínua para todo número real x.
- Se f e g são funções contínuas em um ponto a , então: (i) f + g é contínua em a ; ( ii ) f - g é contínua em a ;
( iii ) f μ g é contínua em a ; ( iv ) f / g é contínua em a , desde que g ( a )≠ 0.
- Sejam f e g funções tais que lim x → a f ( x ) = b e g é contínua em a. Então
lim x → a g [ f ( x )] = g [lim x → af ( x )].
- Se f é contínua em a e g é contínua em f ( a ), então a função composta g o f é contínua em a.
- Seja y = f ( x ) definida e contínua em um intervalo real I. Seja J = Im( f ). Se f admite uma função inversa f - -1^ : J Ø I , então f - -1^ é contínua em todos os pontos de J. Obs.: Devido a esta propriedade, a função f ( x ) = ln( x ) é contínua em todo o seu domínio ( +*), uma vez que é a inversa da função exponencial, que é contínua.
Exemplos: Investigue a continuidade das funções abaixo, ou seja, determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas, explicando porque.
- f ( x ) = tg( x ) A função f ( x ) = tg( x ) = sen( x )/cos( x ) é o quociente de duas funções contínuas e, pela propriedade 4( iv ), f é contínua em todos os pontos que não anulam o seu denominador, ou seja, no conjunto S = {x œ √ : x ∫ π/2 + k π, k œ Z}.
3 −
x f x^ x f é uma função racional (quociente de duas funções polinomiais) e, portanto, contínua em seu
domínio. Logo, f é contínua em - {-2,2}.
- f ( x )= x^4 + 5
f é a composta das funções u ( x )= x^4 + 5 e v ( x )= x. u é uma função polinomial e, portanto,
contínua; v é a inversa da função contínua f ( x ) = x^2 e, portanto, contínua em seu domínio. Como a composta de funções contínuas é uma função contínua em seu domínio, segue que f é contínua em seu domínio. Porém, dom ( f ) = . Logo, f é contínua em todos os reais.
- Se uma esfera oca de raio R é carregada com uma unidade de eletricidade estática, a intensidade do campo elétrico E ( x ) em um ponto P situado a uma distância de x unidades do centro da esfera é dada por:
x x^ R
x x R
x R E x (^1) ,
2
2
A função E ( x ) é contínua para x > 0? Faça o gráfico para visualizar seu comportamento.
- A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toxina é dada por
( )^7 ,^5
t t f t t t
(a) Quanto tempo levará para a colônia se extinguir? (b) Existe algum instante em que a população varia abruptamente ou esta variação se dá de modo contínuo ao longo do tempo?
- O raio da Terra tem aproximadamente 6.400 km e um corpo situado a x km do centro da Terra pesa p ( x ) kg, onde
x^2 x
B
Ax x px
e A e B são constantes positivas. Qual deve ser a relação entre A e B para que p ( x ) seja contínua para qualquer valor de x?
