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Capítulo 2: Limite e Continuidade
2.1 EXEMPLO
1. Sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás perfeito é função da pressão a que
o mesmo está submetido. A lei dessa função é dada pelo gráfico abaixo, que representa: P
k V ,
onde k é uma constante que depende da massa e da temperatura do gás.
a) Com respeito a função P
k V , com P > 0 (não tem sentido físico considerar a pressão P como
sendo nula ou negativa), o que se pode dizer de V quando P diminui, tendendo a zero?
b) Para a mesma função o que acontece com V quando P cresce, tornando-se muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, quando P tende para mais infinito?
Resolução:
a) Quando P diminui, tendendo a zero, escrevemos:
P 0 +, ou seja, P tende a zero por valores maiores que zero, pela direita. E quando isto acontece, V se torna muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, V tende para mais infinito e escrevemos: V +.
Para exprimir essa simultaneidade de tendências usamos a linguagem dos limites:
V P
lim.
b) Quando P cresce, tornando-se muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, quando P +, V tenderá a zero, ou seja, V 0. E para exprimir essa simultaneidade usamos mais uma vez a linguagem dos limites: lim 0
V
P
2.2 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Seja a função f(x) = 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y :
x y = 2x + 1 x y = 2x + 1 1,5 4 0,5 2 1,3 3,6 0,7 2, 1,1 3,2 0,9 2, 1,05 3,1 0,95 2, 1,02 3,04 0,98 2, 1,01 3,02 0,99 2,
0
10
20
30
40
50
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3, Pressão (atm)
Volume (cm
3 )
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 ( x 1), y tende para 3 ( y 3), ou seja:
lim 2 1 3 1
x x
Vemos que é possível fazer o valor de f(x) tão próximo de 3 quanto desejarmos, tornando x suficientemente próximo de 1.
2.3 DEFINIÇÃO
Assim, de forma geral, escrevemos:
f x b x a
lim
quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b).
2.4 LIMITES LATERAIS
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um número real L é o limite à direita da função f quando x tende para " a " pela direita, e escrevemos:
f x L x a ^
lim ( ) isto é, todos os valores de x são sempre maiores do que " a ".
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um número real L é o limite à esquerda da função f quando x tende para " a " pela esquerda, e escrevemos:
f x L x a ^
lim ( ) isto é, todos os valores de x são sempre menores do que " a ".
TEOREMA: Seja f uma função definida em um intervalo aberto I contendo a , exceto possivelmente no ponto a , então:
f x L x a
lim ( ) se e somente se: f x f x L x a x a
^
lim ( ) lim ( )
Lê-se: limite de f de x, quando x tende a a é L
2.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
- Os cientistas P. F. Verhulst, R. Pearl e L. J. Reed, contrariando a teoria de Malthus de que as populações crescem em progressão geométrica, propuseram uma lei de crescimento populacional cujo gráfico tem o seguinte aspecto:
Para Pearl e Reed as condições físicas determinavam um limite superior L para a população de uma região ou país e, utilizando os censos norte-americanos de 1790 a 1910, obtiveram a lei experimental:
P (^1) 67 , 32 x 1 , 03 t
onde P é a população norte-americana em milhões de habitantes, t anos após 1790.
Calcule o limite da função P, quando t +.
- A população de uma colônia de bactérias varia segundo a função definida por: (^) t e
P t
( ) , onde P(t) é
dada em bilhões e t em dias. Descreva o que acontece com a população no decorrer do tempo. Verifique a sua conclusão achando lim P ( t ). t
- Seja f(x) a função definida por cada gráfico, intuitivamente, encontre se existir:
a) b)
c) d)
e) f)
2.6 PROPRIEDADES DOS LIMITES
P1) c c x a
lim Exemplo: lim 5 5 2
x
P2) x a x a
lim
P3) lim c f ( x ) c lim f ( x ) x a x a
Exemplo: lim 5 ( 1 ) 5 lim( 1 ) 52 10 1 1
x x x x
P4) lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x )
x a x a x a
Exemplo:
lim ( 3 2 ) lim lim 3 lim 2 4 6 2 8 2 2
2 2
2 2
x x x x
x x x x
P5) lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x )
x a x a x a
Exemplo: lim ( 3 5 ) lim 3 lim 5 610 60 2 2 2
x x x x x x x
P6)
lim ( )
lim ( )
( )
( ) lim g x
f x
g x
f x
x a
x a x a
Exemplo: 1 1
lim
lim lim 1
2 1
2
1
x
x
x
x
x
x x
P7)
n
x a
n x a
f x f x
lim ( ) lim ( ) Exemplo: lim 2 12 1 1
x x
P8) (^) n x a
n x a
lim f ( x ) lim f ( x )
Exemplo: lim 4 1 lim 4 4 1 16 8 1 3
2
4 2
x x x x x x
P9) lim log f ( x ) log lim f ( x ) x a b bx a
com f(x) > 0 Exemplo: lim log loglim log 10 1 10 10
x x x x
2.7 LIMITES INDETERMINADOS
No estudo de limites é considerado um indeterminação quando ocorrer as seguintes situações:
, , 1 , ,^0 0
0 0 ,
^.
Para evitarmos (ou sairmos de) uma indeterminação de limite devemos simplificar a função.
EXEMPLOS:
- Seja
2
x
x x
f x e considere o problema da determinação do lim ()
2
f x
x
Resolução:
lim
2
2
x
x x
x
que é uma indeterminação.
Intuitivamente podemos ter a idéia do comportamento da função quando x tende a 2 calculando f(x) quando
x chega bem perto do valor 2, mas sem assumi-lo.
Fazendo x 2 (valores menores que 2)
x 1 1,25 1,50 1,75 1,90 1,99 1,
f(x) 5 5,75 6,50 7,25 7,
Fazendo x 2 (valores maiores que 2)
x 3 2,75 2,50 2,25 2,01 2,
f(x) 11 10,25 9,50 8,
Evidentemente quando x 2 , f ( x ) 8 ,
x 2
3 x 4 x 4
lim
2
x 2
Obs. lim 3 x 2 3. 2 2 8
x 2
( 3 x 2 ).(x 2 )
lim
x 2
3 x 4 x 4
lim
x 2 x 2
2
x 2
Esta é uma função descontínua.
2) Indeterminação
x 3
x 6 x 9
lim
2
x 3
. Neste tipo de limite, se o numerador e o denominador
aproximam-se de zero quando x a, então o numerador e o denominador terão um fator comum (x – a) e o
limite pode, freqüentemente, ser obtido cancelando-se primeiro os fatores comuns:
lim(x 3 ) 0
x 3
(x 3 )
lim
x 3
x 6 x 9
lim
x 3
2
x 3
2
x 3
- Calcule o limite de 4
8 16 lim
2
(^4)
x
x x x
Solução: 0
0 4 4
( 4 ) 8 ( 4 ) 16 lim
2
4
x
indeterminação.
lim 4 4 4 0 4
( 4 ) lim 4
8 16 lim 4
2
4
2
4
x x
x x
x x x x x
2.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
- Seja
3x-7,sex 3
,sex 3 ( )
x 1 f x. Calcule:
a) lim ( )
fx x 3
= 2 b) lim f(x) x 3
= 2 c) lim f(x) x 3
- Seja f ( x)x 4. Calcule:
a) lim f(x) x 4
= 0 b) lim ( )
f x x 4
= 0 c) lim f(x) x 4
- Seja
2 - x,sex 1
2,sex 1
x ,se 0 x 1
,sex 0
2
x
f x. Calcule:
a) lim ( )
f x x 1
= 1 b) lim f(x) x 1
= 1 c) lim f(x) x 0
= 0 d) lim ( )
f x x 0
e) lim f(x) x 0
= não existe f) lim f(x) x 2
= 0 g) lim ( )
fx x 2
= 0 h) lim f(x) x 2
- Calcular os limites usando as propriedades:
a) lim (^2 ) x 0
3 7 x 5 x
= 3 b) lim ( 3 x 2 7 x 2 ) x 3
= 8 c) (^)
3 1 x 1
lim (x 4 ) (x 2 ) = 27
d) 3 x 1
x 4 x 2
lim = 6/5 e) t 2
t 3 t 2
lim = 5/4 f) x 1
x 2 1 x 1
lim = 2
g) t 2
t 2 5 t 6 t 2
lim = -1 h) x 1 x
lim = não existe i) x 3
x 2 9 x 3
lim = -
j) 100
x x
lim
= k) x
x
lim
= 0 l) x
x 3 x
lim
m) 7 t 3
6 t 3
3
t (^)
lim = -1/7 n) x 1
x 1 lim
4
x¨ 1
= 4 o) 1
2 4 1 lim (^32)
3 2
(^) x x x
x x x
p) 2 1
3 lim
2
(^) x
x x x
= ½ q) 3
1 lim
3 3
(^) x
x x x
=1 r) x x x
x x (^)
(^3)
3 lim 2
2.10 LIMITES NO INFINITO
Considere a função 1
( )
x
x f x e observe que quando x é muito grande f( x ) é aproximadamente igual a 1.
Este fato é escrito da seguinte forma
1 1
lim (^)
!
" x
x x
Observe que a restrição de f nos reais nos dá uma seqüência cujo limite é exatamente 1.
DEFINIÇÃO: Seja f: B R uma função, B um conjunto que não é limitado superiormente (inferiormente) e
L # R. Dizemos que
f x f x L x x
lim ( ) lim ( )
Exemplo:
Determine (^)
!
" (^) 1
2 lim x (^1) x
Solução:
(^) 0
2 1 1
2 1
2 lim x (^1) x
2.11 ASSÍNTOTAS
Assíntota Vertical
A equação x = a é dita uma assíntota vertical do gráfico de uma função f se:
lim f ( x ) x a
Assíntota Horizontal
A equação y = b é dita uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f se:
f x b x
lim ( )
- Analise a continuidade da função:
3 , 2
, 2 2
1 ( ) se x
se x gx x
Solução: D = R – {-2}
2
1 lim x 2 x
portanto, a função dada é descontínua em x = -2.
2.13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
- Analise as seguintes funções, verificando as assíntotas (se tiver) e a continuidade.
a)
4 , 1
1 , 1 ( )
2
x se x
x se x f x d) 2
1 ( ) 2
x x
x f x
b)
2 , 2
3 , 2 ( ) sex
x se x f x e) f ( x ) x 4
c) 6
3 ( ) 2
x x
f x f) 1
2
x
x y
- Verifique se as funções f(x) a seguir, são contínuas no ponto x 0 indicado.
a) f ( x ) x ; x 0 0 e)
1 , 0
1 , 0 ( )
2
x
x x f x ; x 0 = 0
b)
2 , 1
, 1 ( 1 )
1
( )^2
se x
x f x x ; x 0 = 1 f) 1
1 ( ) (^2)
x
f x ; x 0 = 1
c) ( ) 2
f x x ; x 0 = 2 g) x
x x f x
( ) ; x 0 = 0
d) 1
1 ( )
x
f x ; x 0 = 0
Respostas dos Exercícios Propostos a, c, d, e são contínuas
Capítulo 3 : Derivadas
O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variação é um método conhecido como derivação. Neste capítulo, vamos descrever esse método e mostrar como pode ser usado para determinar a taxa de variação de uma função e também a inclinação da reta tangente a uma curva.
3.1 EXEMPLO
- Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária s(t) = 3t^2 – 5t + 2 (s em metros , t em segundos) a) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , 4 ]? b) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , 3 ]? c) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 ; 2,1 ]? d) Qual a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [ 2 , (2 + t) ], com t 0? e) Como você interpretaria fisicamente a velocidade média da partícula no item anterior, quando t tende a zero? f) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 s?
Resolução: a)Velocidade média de uma partícula num certo intervalo de tempo é definida pelo quociente entre o espaço percorrido (s = sfinal – s (^) inicial) e o intervalo de tempo gasto em percorrê-lo (t = t (^) final – tinicial):
Logov m s
t s
s m
s s s
t
s v
m
m
13 / 2
:^26
4 2 2
30 4 26
( 4 ) ( 2 ) ( 3. 42 5. 4 2 ) ( 3. 22 5. 2 2 )
$
$
$
$
$
b)Neste item, temos:
Logov m s
t s
s m
s s s
t
s v
m
m
c)Neste item, temos:
Logov m s
t s
s m
s
s
s s s
t
s v
m
m
7 , 3 / 0 , 1
:^0 ,^73
2 , 1 2 0 , 1
0 , 73
4 , 73 4
( 3. 2 , 1 5. 2 , 1 2 ) ( 3. 2 5. 2 2 )
( 2 , 1 ) ( 2 ) 2 2
$
$
$
$
$
$
$
Análise do Exemplo
Vamos aprofundar o “raciocínio” usado anteriormente na resolução o exemplo dividindo em etapas:
& Etapa 1 As funções dadas e as solicitações feitas: S = S (t) = 3t^2 –5t + 2 ; determinar v(2)
& Etapa 2 Cálculo das variações, (incrementos), das variáveis independentes: de 2 a ( 2 + t ), com t 0 : variação = t
& Etapa 3 Cálculo das correspondentes variações ou incrementos sofridos pela variável dependente: S ( 2 + t ) – S( 2 ) = 7t + 3t^2
& Etapa 4 Cálculo da razão incremental, que é a relação entre o incremento (variação) da variável dependente e o incremento (variação) da variável independente:
& Etapa 5 Cálculo do limite da função quando o denominador da razão incremental tender a zero: quando t0 , então (7 + 3 t) 7
Sintetizando as 5 etapas analisadas, obtém-se a seguinte definição:
3.2 DEFINIÇÃO
& Derivada de uma função
A derivada da função f(x) em relação a x é a função f´(x) (que se lê como “f linha de x”) dada por:
Uma função f(x) é derivável no ponto c se f´(x) existe, ou seja, se o limite existe no ponto x = c. O processo de calcular a derivada é chamado de derivação.
& Notação de derivada
A derivada f´(x) muitas vezes é escrita na forma dy/dx , que se lê “dê y sobre dê x” Nesta notação, o valor da derivada no ponto x = a ou seja, f´(a) , é escrito na forma:
dxx a
dy
De acordo com o exemplo 1 :
Para calcularmos a velocidade no instante 2, calculamos a derivada da função S no ponto t = 2. S´(2) = V(2).
Ou ainda: v( 2 ) 7 m/s dt
dS t 2
7 3 t, que é a velocidade média no intervalo 2 , 2 t t
S( 2 t) S( 2 ) $ $ $
h
f(x h) f(x) f´( x) lim h 0
Podemos também dizer que a derivada da função horária nos fornece a função velocidade, ou seja v(t) dt
dS
Generalizando tudo o que foi visto no exemplo, pode-se concluir que, se o gráfico de f(x) é:
P
A inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto (a, f(a)) é dada por mt = f´(a). Então, f’(a) = tgt = mt, ou seja a derivada da função de f(x) no ponto a é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto P de abscissa a. A taxa de variação instantânea de uma grandeza f(x) em relação à x no ponto a é f´(a).
3.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
- Considere o movimento de um corpo ao cair de uma grande altura. De acordo com a física clássica, em t segundos de queda, o corpo percorre uma distância s(t) = 4,9t^2 metros. Suponha que estejamos interessados em determinar a velocidade do corpo após 2 segundos. A menos que o corpo caia equipado por um velocímetro, é difícil medir diretamente a velocidade. Mas podemos determinar a distância percorrida pelo corpo entre o instante t = 2 e t = 2 + h e calcular a velocidade média durante esse intervalo de tempo:
Resolução:
h h
h h h
h h h
h h
s h s ervalo empo
distânciapercorrida Vm 19 , 6 4 , 9
int det
2 2 2 2
Se o intervalo de tempo h é pequeno, a velocidade média está próxima da velocidade instantânea no instante t = 2. Assim, é razoável determinar a velocidade instantânea tomando o limite da expressão anterior quando h tende a zero:
lim( 19 , 6 4 , 9 ) 19 , 6 0
V h h
ou, usando a notação de derivada: 19 , 6 m/s dt
dS t 2
Dessa forma, após 2 segundos de queda, o corpo estará viajando a uma velocidade de 19, 6 m/s.
- Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por:
3
t n(t) 64 t
3
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t =4? b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t =8? c) Quantas pessoas são atingidas pela epidemia no 5o^ dia?
a
f(a)
y
x
y = f(x)
t
- Uma partícula caminha sobre uma trajetória retilínea de modo que sua velocidade obedece à função v(t) = 8t – 2 (v em metros , t em segundos). Determinar a aceleração da partícula no instante t = 4s.
Resolução:
Para obter a aceleração da partícula no instante t = 4s, deve-se inicialmente calcular a aceleração média da mesma no intervalo de tempo [ 4, (4 + t) ].
Assim: V = v (4 + t) – v(4) = [ 8(4 + t) – 2 ] – (8.4 – 2) = [32 + 8t – 2] – 30 = 8 t
Logo: a (^) m = 8t / t ou seja, am = 8m/s 2
Para obter a(4), você deve observar o que acontece com am = 8 quando t tende a zero.
Como a (^) m = 8 é uma função que independe de t, quando t tende a zero, am continua sendo 8, ou seja: a(4) = 8m/s^2
2 4
Usando anotaçãodederivada: 8 m / s dt
dv
t
Observe que a derivada da velocidade em função do tempo nos fornece a função aceleração.
a(t ) dt
dv Usando anotaçãodederivada:
Observação:
Quando derivamos a função horária encontramos a velocidade, se a derivarmos novamente encontramos a aceleração. Sendo assim, podemos dizer que a aceleração é a segunda derivada do espaço e indicamos por:
a(t ) dt
d S S´´( t) 2
2
4.Obtenha a equação da reta tangente à curva y = x 2 no ponto ( 1, 1 )
Resolução:
Calculando o coeficiente angular da reta secante à parábola dada, que passa pelos seus pontos de abscissas 1 e ( 1+h ):
Logo, o coeficiente angular da tangente à parábola dada pelo seu ponto ( 1, 1 ) será obtido a partir de ms , fazendo-se h tender a zero; então ms tenderá a 2, isto é, mt = 2. A equação da reta tangente solicitada será dada por: y = 2x – 1.
3.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
- Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer de modo que sua velocidade obedece à função: v(t) = t^2 – 4t (v em metros, t em segundos). Sabe-se que a aceleração média da partícula am, num certo intervalo de tempo, é dada por am = V / t , determine:
a) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 , 1 ]? b)Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,5 ]? c) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,1] d) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0, t ], com t 0? e) Como você interpretaria fisicamente a aceleração média da partícula no item anterior, quando t tende a zero? f) Qual a aceleração da partícula no instante t = 0 s?
2 h h
2 h h h
( 1 2 h h ) 1 ( 1 h) 1
1 h 1 m
2 2 2 2 s
- Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: S(t) = t^2 – 7t + 10 ( s em metros e t em segundos) a) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo. b)Calcular a velocidade da partícula no instante t = 3 s c) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo. d)Calcular a aceleração da partícula no instante t = 3 s.
- Encontre a equação da reta tangente à curva y = x 2 - 2x + 1 no ponto (2, 1)
- Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x 2 +3 no ponto (2, 11)
- Dada a função f(x) = 5x^2 + 6x –1, encontre f ’(2).
- Dada a função f(x) = 3x^2 –1 e g(x) = 5 – 2x determinar: a) f ’(1) b) g ‘(1) c) f ‘(1) + g ‘(1)
- Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: a) f(x) = 1 – 4x^2 b) f(x) = 2x^2 – x –
Respostas:
- a) -3 m/s^2 ; b) -3,5 m/s^2 ; c) -3,9 m/s 2 ; d) $ t 4 ; e) aceleração instantânea ; f)-4 m/s 2
- a) v = 2t- 7; b) -1 m/s; c) 2 m/s 2 ; d) 2 m/s^2
- y = 2x-
- y = 8x – 5
- 26
- a) 6; b) -2; c) 4
- a) -8x; b) 4x-
