LIMITE E CONTINUIDADE 1, Notas de estudo de Engenharia Civil

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NOTAS DE AULA DO CURSO DE

C ´ALCULO I - 2004.

Prof. MARCELO MARCHESIN

Atualizado em 12/04/

Cap´ıtulo 1

LIMITE E CONTINUIDADE

1.1 FUNC¸ ˜OES REAIS:

DEFINIC¸ ˜AO:Uma fun¸c˜ao real ´e uma associa¸c˜ao de elementos de um conjunto A, a elementos de um conjuto B.

f : A → B x → y

O conjunto A ´e chamado de dom´ınio da fun¸c˜ao f e o conjunto B ´e chamado de contra-dom´ınio de f. No caso em que estaremos trabalhando, a menos que mencionado em contr´ario, B ser´a sempre IR, o conjunto de todos os n´umeros reais, e A ser´a sempre um subconjunto n˜ao vazio de IR. Por este motivo as fun¸c˜oes por n´os estudadas ser˜ao chamadas de fun¸c˜oes reais.

OBS: 1)E importante que´ TODO elemento de A seja associado a um elemento de B e que este elemento seja UNICO. Ou seja, um elemento de A n˜´ ao pode ser associado a mais de um elemento de B, caso contr´ario dizemos que a rela¸c˜ao f n˜ao define uma fun¸c˜ao.

Exemplo: 1) se A = { 0 , 1 , 2 , 3 } ent˜ao A n˜ao pode ser um dom´ınio da fun¸c˜ao f definida por f (x) = (^1) x pois n˜ao se pode atribuir um valor matem´atico `a expressao 10. Contudo qualquer sub-conjunto dos n´umeros reais que n˜ao contenha o 0 poder´a ser um dom´ınio para esta fun¸c˜ao f. Buscaremos, em geral, o maior sub-conjunto dos n´umeros reais que sirva como dom´ınio de f. Neste caso diremos que tal conjunto ´e o dom´ınio natural de f, ou simplesmente O DOM´INIO DE f.

1.1.1 EXEMPLOS DE FUNC¸ ˜OES:

1. A fun¸c˜ao identidade: f (x) = x. Em particular este ´e o mais simples exemplo de uma fun¸c˜ao ´ımpar. Defini¸c˜ao 1: Dizemos que uma fun¸c˜ao f : IR → IR ´e ´ımpar se f (x) = −f (−x) para todo x ∈ IR. Exerc. 1.1: Encontre seu dom´ınio natural e determine seu conjunto imagem. 1.2 Mostre que a fun¸c˜ao identidade ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar. 1.3 Interprete o que isto significa graficamente. OBS: O gr´afico da fun¸c˜ao identidade ´e uma reta que divide ao meio o primeiro e terceiro quadrante do sistema cartesiano.

2. A fun¸c˜ao quadr´atica f (x) = x^2. Em particular este ´e o mais simples exemplo de uma fun¸c˜ao par. Defini¸c˜ao 2: Dizemos que uma fun¸c˜ao f : IR → IR ´e par se f (x) = f (−x) para todo x ∈ IR. Exerc. 2.1: Encontre seu dom´ınio natural e determine seu conjunto imagem. 2.2 Mostre que a fun¸c˜ao quadr´atica ´e uma fun¸c˜ao par. 2.3 Interprete o que isto significa graficamente.

OBS: A fun¸c˜ao quadr´atica ´e comumente estudada no ensino m´edio, contudo o esbo¸co de seu gr´afico nos ´e apresentado com pouco rigor matem´atico. Um de nossos obje- tivos neste curso ´e prover o rigor necess´ario para se justificar a forma do gr´afico da fun¸c˜ao quadr´atica.

3. A fun¸c˜ao raiz quadrada. O s´ımbolo

x ´e, POR DEFINIC¸ ˜AO o UNICO´ n´umero real POSITIVO cujo quadrado ´e x. Assim, ao contr´ario do que muitos pensam temos que

4 = 2 e n˜ao

4 = ±2. Com esta defini¸c˜ao temos que a rela¸c˜ao g(x) =

x define uma fun¸c˜ao, chamada fun¸c˜ao raiz quadrada. Exerc. 3.1 Encontre seu dom´ınio natural e determine seu conjunto imagem. Se

4 pudesse ser +2 ou −2 ent˜ao esta rela¸c˜ao g(x) n˜ao definiria uma fun¸c˜ao (por que?).

OBS: Dizer que

4 = ±2 ´e um erro muito comum que vamos tratar de eliminar a partir deste momento. Tal erro decorre do fato de que ao resolvermos a equa¸c˜ao x^2 = 4 encontramos como solu¸c˜ao dois valores para x: 2 ou -2 e por isto somos levamos a concluir que

4 = ±2. Elucidaremos de vez esta quest˜ao assim que apresentarmos a vocˆes a fun¸c˜ao modular, por enquanto acostumem-se com a defini¸c˜ao acima.

4. A fun¸c˜ao modular (ou fun¸cao valor absoluto): f (x) = |x|. Onde o s´ımbolo |x| ´e definida por partes como segue abaixo:

|x| =

x , se x ≥ 0

−x , se x < 0

Exerc. 4)4.1 Encontre seu dom´ınio natural e determine seu conjunto imagem. 4.2) Calcule:

i)| − 1 | ii)| 1 | iii)| 0 |

iv)|

2 | v)| − π| vi)| − x^2 |

vii)|p^2 + 2p + 1| viii)|x^2 + x − 2 | ix)| − x^2 + 7x − 12 |

4.3) Mostre que

x^2 = |x|

4.4) Considerando c uma constante positiva, esboce os gr´aficos de (Estude a § 1. pag. 38 `a 43 do livro texto):

i)f (x) = |x + 1| ii)f (x) = |x − 1 | iii)f (x) = |x + c|

iv)f (x) = |x − c| v)f (x) = |x/ 3 | vi)f (x) = |x/ − 3 |

vii)f (x) = |x/c| viii)f (x) = | − x/c| ix)f (x) = | 3 x − 5 |

x)f (x) = |kx − c| xi)f (x) = |x + 1| xii)f (x) = |x + 1|

OBS: O VALOR ABSOLUTO COMO NOC¸ ˜AO DE DIST ˆANCIA. Note que | − 3 | = | 3 | = 3 ´e justamente a distˆancia que o n´umero real 3 se encontra da origem da reta que representa os n´umeros reais. De mesma forma a equa¸c˜ao |x − 1 | = 3 nos fornece como solu¸c˜ao o conjunto S = {− 2 , 4 } justamente os pontos cuja distˆancia at´e o 1 ´e trˆes unidades. Mais geralmente, de mesma forma que |x| = |x − 0 | representa a distˆancia de x at´e a origem, |x − xo| representa a distˆancia de x at´e xo. Desta forma a equa¸c˜ao |x − 1 | = 3 poderia ser relida da seguinte forma: ”Quais s˜ao o valores de x cuja distˆancia at´e o 1 ´e 3 unidades?”. Exerc´ıcios: 1)Com a no¸c˜ao de distˆancia atribuida a fun¸c˜ao modular acima de- screva qual ´e a propriedade geom´etrica que caracteriza a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes abaixo. Use tal descri¸c˜ao para encontrar, sem fazer contas, as solu¸c˜oes de tais equa¸c˜oes:

intervalo aberto centrado em xo, ”perfurado em xo”, totalmente contido no dom´ınio de f. Isto se faz necess´ario para que se possa tomar valores de x arbitrariamente pr´oximos de xo. A exclus˜ao do ponto xo se justifica pois estamos interessados no comportamento da imagem de pontos pr´oximos a xo mas diferentes deste. Na ver- dade, no estudo de limite siquer nos interessa saber se o ponto xo pertence ou n˜ao ao dom´ınio da fun¸c˜ao analisada. Situa¸c˜ao diferente enfrentaremos quando estudarmos continuidade de uma fun¸c˜ao em um ponto xo. DEF. 1 Dizemos que ” f(x) tem limite infinito quando x tende a xo ”Nota¸c˜ao: lim x→xo f (x) = ∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos capazes de mostrar a

existˆencia de  > 0 tal que todo x (diferente de xo) cuja distˆancia at´e o ponto xo for menor que , tem por imagem um valor maior que M. Ou seja: Se 0 < |x − xo| <  ent˜ao f (x) > M.

Exerc. 5: Seja f (x) = (^) x^12. Mostre, pela defini¸c˜ao que lim x→ 0

f (x) = ∞.

RESOLUC¸ AO: Devemos mostrar que dado˜ M > 0 qualquer, existe (pelo menos um)  > 0 com a propriedade que se 0 < |x − 0 | <  ent˜ao f (x) = (^) x^12 > M. Para se verificar isto basta tomar  = √^1 M , vejamos:

0 < |x − 0 | = |x| <  =

M

⇒ 0 < |x|^2 <

M

⇒ 0 < x^2 <

M

⇒ M <

x^2

⇒ f (x) > M

Tudo o que foi feito para a fun¸c˜ao acima, que cresce de forma ilimitada ao tomarmos valores de x se aproximando de xo, pode ser feita de forma totalmente an´aloga para fun¸c˜oes que decrescem de forma ilimitada ao tomarmos valores de x se aproximando de xo. Isto justifica a seguinte defini¸c˜ao:

DEF. 2 Dizemos que ” f(x) tem limite menos infinito quando x tende a xo ”Nota¸c˜ao: lim x→xo

f (x) = −∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos capazes

de mostrar a existˆencia de  > 0 tal que todo x (diferente de xo) cuja distˆancia at´e o ponto xo for menor que  tem por imagem um valor menor que −M. Ou seja: Se 0 < |x − xo| <  ent˜ao f (x) < −M.

Se analisarmos, de mesma forma, o comportamento da fun¸c˜ao f (x) = (^) x^1 quando x se aproxima de 0 notaremos que tal comportamento quando x se aproxima de xo por

valores maiores que xo ´e diferente do comportamento de f (x) quando x se aproxima de xo por valores menores que xo. No primeiro caso ela cresce ilimitadamente (n´os dizemos: diverge para +∞) e no segundo caso ela decresce ilimitadamente (n´os dizemos: diverge para −∞). Este fato justifica as defini¸c˜oes abaixo, chamadas de limites laterais, que levam em considera¸c˜ao por quais dos lados x se aproxima de xo na reta real.

DEF. 3 Dizemos que ” f(x) tem limite infinito quando x tende a xo pela direita”Nota¸c˜ao: lim x→x+ o

f (x) = ∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos

capazes de mostrar a existˆencia de  > 0 tal que todo x maior que xo cuja distˆancia at´e o ponto xo for menor que  tem por imagem um valor maior que M. Ou seja: Se 0 < x − xo <  ent˜ao f (x) > M.

DEF. 4 Dizemos que ” f(x) tem limite infinito quando x tende a xo pela es- querda ”Nota¸c˜ao: lim x→x− o

f (x) = ∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos

capazes de mostrar a existˆencia de  > 0 tal que todo x menor que xo cuja distˆancia at´e o ponto xo for menor que  tem por imagem um valor maior que M. Ou seja: Se 0 < xo − x <  ent˜ao f (x) > M.

DEF. 5 Dizemos que ” f(x) tem limite menos infinito quando x tende a xo pela direita”Nota¸c˜ao: lim x→x+ o

f (x) = −∞ se, dado qualquer constante positiva M ,

formos capazes de mostrar a existˆencia de  > 0 tal que todo x maior que xo cuja distˆancia at´e o ponto xo for menor que  tem por imagem um valor menor que −M. Ou seja: Se 0 < x − xo <  ent˜ao f (x) < −M.

DEF. 6 Dizemos que ” f(x) tem limite menos infinito quando x tende a xo pela esquerda ”Nota¸c˜ao: lim x→x− o

f (x) = −∞ se, dado qualquer constante positiva

M , formos capazes de mostrar a existˆencia de  > 0 tal que todo x menor que xo cuja distˆancia at´e o ponto xo for menor que  tem por imagem um valor menor que −M. Ou seja: Se 0 < xo − x <  ent˜ao f (x) < −M.

Exerc. 6: Mostre, utilizando a defini¸c˜ao conveniente,os seguinte limites:

Agora fica mais f´acil atacarmos o caso gen´erico. Para um  > 0 qualquer basta tomarmos K = (^1)  e teremos:

x > K =

x

x

K

OBS: A reta horizontal dada por y = L recebe o nome de ass´ıntota horizontal ao gr´afico da fun¸c˜ao f (x) em qualquer dos casos acima.

DEF. 9 Dizemos que ” f(x) tem limite infinito quando x tende a ∞ ”Nota¸c˜ao: lim x→∞ f (x) = ∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos capazes de mostrar

a existˆencia de K > 0 tal que todo x > K tem por imagem um valor que supera M. Ou seja: Se x > K ent˜ao f (x) > M.

DEF. 10 Dizemos que ” f(x) tem limite infinito quando x tende a −∞ ”Nota¸c˜ao: lim x→−∞

f (x) = ∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos ca-

pazes de mostrar a existˆencia de K > 0 tal que todo x < −K tem por imagem um valor que supera M. Ou seja: Se x < −K ent˜ao f (x) > M.

DEF. 11 Dizemos que ” f(x) tem limite menos infinito quando x tende a ∞ ”Nota¸c˜ao: lim x→∞ f (x) = −∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos capazes

de mostrar a existˆencia de K > 0 tal que todo x > K tem por imagem um valor inferior a −M. Ou seja: Se x > K ent˜ao f (x) < −M.

DEF. 12 Dizemos que ” f(x) tem limite menos infinito quando x tende a −∞ ”Nota¸c˜ao: lim x→−∞ f (x) = −∞ se, dado qualquer constante positiva M , formos

capazes de mostrar a existˆencia de K > 0 tal que todo x < −K tem por imagem um valor inferior a −M. Ou seja: Se x < −K ent˜ao f (x) < −M.

Exerc. 7: Mostre, utilizando a defini¸c˜ao conveniente,os seguinte limites:

i) lim x→∞

x^2

= 0 ii) lim x→−∞

x^2

= 0 iii) lim x→∞

x − 1 x + 1

iv) lim x→−∞

x − 1 x + 1

= 1 v) lim x→−∞

x = −∞ vi) lim x→−∞

|x| = ∞

vii) lim x→∞

x^2 − 1 x^2 + 1

= 1 viii) lim x→∞

x + k x

= 1 ix) lim x→∞ x^2 = ∞

EXEMPLO: Mostrar pela defini¸c˜ao que lim x→∞

x^2 − 1 x^2 + 1

DEM: Dado  > 0 devemos exibir K > 0 de tal forma que para todo x > K tenhamos |x (^2) − 1 x^2 +1 −^1 |^ < .

Afirmamos que para um  arbitr´ario basta tomar K =

2  −^ 1 que as coisas fun- cionam. Vejamos:

x > K =

− 1 ⇒ x^2 + 1 >

x^2 + 1

x^2 + 1

x^2 − 1 − (x^2 + 1) x^2 + 1

x^2 − 1 x^2 + 1

OBS: O c´alculo de limites como o acima, via defini¸c˜ao, ´e, em geral, trabalhoso e demorado. Em breve apresentaremos alguns teoremas que nos permitir˜ao simplificar tal opera¸c˜ao.

EXEMPLO: lim x→∞ x^2 = ∞. DEM: Dado M > 0 devemos exibir uma constante positiva K que tenha a propriedade que todo n´umero maior que K tem por imagem pela fun¸c˜ao f (x) = x^2 um valor maior que M. Claramente tal constante K deve depender do M dado a priori. Afirmamos que basta considerar K =

M e as coisas funcionam. Vejamos:

x > K =

M > 0 ⇒ x^2 = f (x) > M

1.1.4 LIMITES REAIS DE FUNC¸ ˜OES QUANDO x → xo:

Os limites que apresentaremos a seguir s˜ao diferentes dos j´a apresentados pois estaremos interessados em analisar o comportamento que a imagem de nossa fun¸c˜ao apresenta quando a vari´avel livre x se aproxima de um valor pr´e-fixado xo. J´a estudamos coisa parecida (DEF 1) no entanto diferentemente do que vimos l´a, aqui nossa fun¸c˜ao apresenta valores que se aproximam arbitrariamente de um n´umero real L bastando que para isto que n´os tomemos valores da vari´avel x arbitrariamente

TEOREMA 1.1.5.1 Sejam f e g duas fun¸c˜oes tais que lim x→xo f (x) = L e lim x→xo g(x) =

M Onde L e M s˜ao n´umeros reais. Ent˜ao:

1. lim x→xo f (x) ± g(x) = L ± M

2)Se c ∈ IR ´e uma constante ent˜ao lim x→xo cf (x) = c · L

3. lim x→xo f (x)g(x) = L · M

4. Se M 6 = 0 ent˜ao lim x→xo

f (x) g(x)

L

M

5)Seja n um n´umero natural lim x→xo

(f (x))n^ = Ln

6)Se c ∈ IR ´e uma constante ent˜ao lim x→xo

c = c

7. lim x→xo x = xo

8)Seja n um n´umero natural lim x→xo xn^ = xno

9. Seja n um n´umero natural lim x→xo

√nx = √nx o

10. Seja n um n´umero natural lim x→xo

√nf (x) = √n (^) lim x→xo f (x)

OBS: Quanto aos ´ıtens 9) e 10) acima se n ´e par ent˜ao tais propriedades s´o fazer sentido quando x 0 > 0 e lim x→xo f (x) > 0 respectivamente. EXEMPLO: Calcule os

limites abaixo identificando as propriedades utilizadas em cada passagem (sol. pag 104):

1. lim x→xo 2 x^2 − 3 x + 4

2. lim x→x− o

x^3 + 2x^2 − 1 5 − 3 x

DEFINIC¸ ˜AO 16: FUNC¸ ˜AO POLINOMIAL P (x) = a 0 + a 1 x + ... + anxn onde os a′ is s˜ao constantes reais e n ´e um n´umeo natural. Ent˜ao lim x→xo p(x) = p(xo).

Demonstre este resultado identificando as propriedades utilizadas na justificativa.

DEFINIC¸ ˜AO 17: FUNC¸ ˜AO RACIONAL f (x) = p q((xx)) onde p e q s˜ao polinˆomios,

´e chamada uma fun¸c˜ao racional. Exerc. Encontre o dom´ınio de f (x). Se f (x) = p q((xx))

´e uma fun¸c˜ao racional tal que lim x→xo q(x) = q(xo) 6 = 0 ent˜ao lim x→xo f (x) =

p(xo) q(xo)

f (xo).

DEFINIC¸ ˜AO 18: FUNC¸ ˜AO CONT´INUA Uma fun¸c˜ao f ´e dita ser cont´ınua em x = xo se: i) xo ∈ Domf

ii) Existe o seguinte limite: lim x→xo f (x) = L (L ´e um n´umero real)

iii) lim x→xo

f (x) = f (xo).

OBS: Segue imediatamente da defini¸c˜ao acima que todo polinˆomio e toda fun¸c˜ao racional ´e cont´ınua em todo seus respectivos dom´ınios.

TEOREMA 1.1.5.2 Se duas fun¸c˜oes f e g s´o diferem em, no m´aximo, um ponto, xo e existe lim x→xo g(x) ent˜ao tamb´em existe lim x→xo f (x) e ambos os limites coincidem.

OBS: A importˆancia do teorema acima se justifica pois ´e verdadeiramente trivial o c´alculo do limite para fun¸c˜oes cont´ınuas. Assim, se buscamos lim x→xo

f (x) e somos

capazes de encontrar g(x) cont´ınua e idˆentica a f (x) em todo ponto exceto (pos- sivelmente) em xo ent˜ao lim x→xo f (x) = lim x→xo g(x) = g(xo) que ´e f´acil de calcular.

EXEMPLO: Encontre lim x→ 1

x^2 + 1 x − 1

x^2 + 1 x − 1

(x + 1)(x − 1) x − 1

= x + 1

onde a ´ultima desigualdade se verifica para todo x 6 = 1. Assim, tomando g(x) = x+

temos que f e g satisfazem as hip´oteses do teorema acima. Logo lim x→ 1

x^2 + 1 x − 1

lim x→ 1 (x + 1) = 2.

8)Seja f (x) = x^2 − x + 1. Calcule:

i) lim x→ 2 f (x).

Note que aqui temos lim x→ 2 f (x) = 3 = f (2). Portanto f (x) ´e cont´ınua em x = 2.

ii)lim x→ 2 g(x) onde:

g(x) =

f (x) , se x 6 = 2

9 , se x = 2

Note que aqui temos lim x→ 2 g(x) = 3 6 = g(2) = 9.Portanto g(x) n˜ao ´e cont´ınua em

x = 2.

iii)lim x→ 2 h(x) onde:

h(x) =

f (x) , se x < 2

9 , se x = 2

f (x) + 3 , se x > 2

Note que aqui temos lim x→ 2 +^

h(x) = 6, lim x→ 2 −^

h(x) = 3, h(2) = 9 e o limite global:

lim x→ 2 h(x) N AO EXISTE.˜

9. Enuncie todas as propriedades de limite que lhe permitem mostrar que a fun¸c˜ao abaixo ´e cont´ınua no ponto x 0 = 1.

f (x) =

x − 3 x (^23)

x^3 − 2 x−^1

10. Existe lim x→O

x?

O exerc´ıcio acima nos motiva a apresentar a seguinte defini¸c˜ao:

DEFINIC¸ ˜AO 19: FUNC¸ ˜AO CONT´INUA `A DIREITA Uma fun¸c˜ao f ´e dita ser cont´ınua em x = xo pela direita se:

i) xo ∈ Domf

ii) Existe o seguinte limite: lim x→x+ o

f (x) = L (L ´e um n´umero real)

iii) lim x→x+ o

f (x) = f (xo).

OBS: De forma totalmente an´aloga se define continuidade `a esquerda. Fa¸ca como exerc´ıcio e confira no livro texto.

PROPRIEDADES DE FUNC¸ ˜OES CONT´INUAS

Apresentaremos agora mais um teorema que ser´a muito ´util no c´alculo de limites. Para isto antes faremos uma breve revis˜ao da fun¸c˜ao potˆencia. Para mais detalhes veja o livro texto pag. 30.

DEFINIC¸ ˜AO: Se n ∈ IN ent˜ao definimos a fun¸c˜ao potˆencia: por f (x) = xn^ = x · x · ... · x onde o produto ao lado tem n fatores.

Exemplos muito comuns e simples de fun¸c˜oes potˆencia s˜ao: f (x) = x^2 e f (x) = x^3. Como exerc´ıcio mostre que a primeira ´e par enquanto que a segunda ´e ´ımpar. Tamb´em se n ´e par segue que: i) lim x→∞

xn^ = ∞, ii) lim x→−∞

xn^ = ∞. Ao passo que se n

´e ´ımpar ent˜ao: i) lim x→∞ xn^ = ∞, ii) lim x→−∞ xn^ = −∞. al´em disso polinˆomios de grau

n com coeficiente do termo dominante positivo apresentam estes mesmos comporta- mentos no infinito. Os gr´aficos das fun¸c˜oes f (x) = xn^ tamb´em s˜ao semelhantes ao gr´afico da par´abola se n ´e par e se assemelham ao gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = x^3 no caso de n ´ımpar. Apoiando-se na defini¸c˜ao precedente podemos estender nosso conceito de fun¸c˜ao potˆencia `a todo expoente real. Isto ´e feito por etapas, como ´e bastante comum na matem´atica, da seguinte forma:

DEFINIC¸ ˜AO: Se −n ∈ IN ent˜ao definimos a fun¸c˜ao potˆencia: por f (x) = xn^ = (^) x^1 n = (^1) x · (^1) x · ... · (^1) x onde o produto ao lado tem n fatores.

obtendo: 3 − (^) x^1 − (^) x^2 5+ (^) x^4 + (^) x^1 nesta forma as propriedades de limites podem, agora, ser utilizadas e obt´em-se o resultado desejado.

5. lim x→∞

2 x^2 + 1 3 x − 5

6. lim x→∞

x^2 + 1 − x = 0.

TEOREMA: Se lim x→x 0 g(x) = ±∞ ent˜ao lim x→x 0

g(x)

Decorre diretamente do teorema acima que se lim x→x 0

g(x) = ±∞ e se lim x→x 0

f (x) = C

onde C ∈ IR ent˜ao lim x→x 0

f (x) g(x)

= lim x→x 0 f (x)

g(x)

= C · 0 = 0.

TEOREMA: Se f (x) ≤ g(x) em um intervalo contendo x 0 exceto possivelmente no pr´oprio x 0 e lim x→x 0 g(x) = M e lim x→x 0 f (x) = L ent˜ao L ≤ M.

OBS: A igualdade entre L e M pode ocorrer mesmo que a desigualdade entre f e g seja estrita. Dˆe exemplos.

TEOREMA DO SANDU´ICHE: Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) em um intervalo con- tendo x 0 exceto possivelmente no pr´oprio x 0 e lim x→x 0 g(x) = M , lim x→x 0 f (x) = L e lim x→x 0

h(x) = L ent˜ao M = L.

A utilidade do teorema acima reside no fato de que, `as vezes, uma fun¸c˜ao cujo limite ´e de dif´ıcil c´alculo se encontra ”espremida ”por duas fun¸c˜oes cujo c´alculo dos respectivos limites ´e mais simples e coincidem. Vejamos agora um exemplo deste fato:

EXEMPLO: Calcule: lim x→ 0 x^2 sen

x

DEM: Como − 1 ≤ sen (^1) x ≤ 1 segue que podemos tomar f (x) = −x^2 e h(x) = x^2 e as

hip´oteses do teorema acima se verificam. Isto nos leva diretamente a: lim x→ 0 x^2 sen

x

OBS: Aqui n˜ao se pode aplicar a propriedade de que o limite do produto ´e o produto

dos limites: lim x→ 0 x^2 sen

x

= (lim x→ 0 x^2 )(lim x→ 0 sen

x

) =?^0 · lim x→ 0 sen

x

pois o segundo limite

n˜ao existe.

EXERC´ICIOS: Pag: 110: 33,34,35 e 36.

ALGUNS RESULTADOS IMPORTANTES SOBRE LIMITES

Quando temos algum limite envolvendo ∞ ou 0 nao podeemos utilizar as pro- priedades de limite estudadas acima para o c´alculo do limite do quociente ou o limite do produto. Contudo muitas vezes ainda ´e poss´ıvel dizer alguma coisa a respeito do comportamento deste quociente ou deste produto a medida que nos aproximamos arbitrariamente do ponto em quest˜ao. A este respeito apresentamos o seguinte teo- rema:

TEOREMA 1.1.5.4 Sejam f (x), g(x) e h(x) trˆes fun¸c˜oes tais que lim x→x 0 f (x) =

C > 0 , lim x→x 0 g(x) = ∞ e lim x→x 0 h(x) = 0+. Ent˜ao:

i) lim x→x 0 −h(x) = 0−^ ii) lim x→x 0

f (x) g(x)

= 0 iii) lim x→x 0

f (x) h(x)

iv) lim x→x 0

g(x) f (x)

= ∞ v) lim x→x 0

h(x) f (x)

= 0 vi) lim x→x 0

h(x) g(x)

vii) lim x→x 0

g(x) h(x)

= ∞ viii) lim x→x 0 f (x)g(x) = ∞ ix) lim x→x 0 f (x)h(x) = 0

E importante salientar que v´´ arios outros resultados ainda podem ser acrescen- tados `a lista acima. Contudo todos eles carecem de demonstra¸c˜ao rigorosa. N˜ao devemos nos deixar guiar pela nossa intui¸c˜ao em assuntos que envolvem o infinito. Por exemplo, nada podemos dizer sobre lim x→x 0

g(x)h(x) pois podemos exibir v´arios

exemplos distintos de resultados que podem ser atribuidos a tal limite escolhendo fun¸c˜oes particulares. Tente, como exerc´ıcio exibir fun¸c˜oes que propiciem resultados diferentes a este limite.

FUNC¸ ˜OES TRIGONOM´ETRICAS - (REVIS ˜AO)

1. Defini¸c˜ao das fun¸c˜oes sen, cos e tg atrav´es da rela¸c˜ao trigonom´etrica no triˆangulo retˆangulo. 2) C´alculo para alguns valores importantes 3) Defini¸c˜ao do