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Módulo 2
Seqüências, Limite e Continuidade
5GS×ÄPEKCU
Uma seqüência é um conjunto de números a 1 , a 2 ,..., a (^) n ,... , disposta numa certa ordem (isto é, em correspondência com os inteiros positivos) e formada segundo uma dada regra. Também podemos dizer que, uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos.
&DGDQ~PHURGDVHTrQFLDFKDPDVHWHUPR a (^) n é o -ésimo termo RXWHUPRJHUDO8PDVHTrQFLDVHUiÀQLWDRXLQÀQLWDFRQIRUPHWHQKDRX QmRXPQ~PHURÀQLWRGHWHUPRV $VHTrQFLD a 1 , a 2 ,..., a (^) n ,... também é representada abreviadamente por (^)! a (^) n #.
Exemplo 4.1 2VQ~PHURVIRUPDPXPVHTrQFLDÀQL-
A partir deste momento,
passaremos a estudar
seqüência, limites e
continuidade de uma função
real. Leia com atenção,
caso tenha dúvidas busque
HVFODUHFHODVQDVELEOLRJUDÀDV
indicadas e também junto ao
Sistema de Acompanhamento
Curso de Graduação em Administração a Distância
ta, cujo termo geral é a (^) n 5 n < 3 , para n 1,2,...,7_. Ou ainda podemos representar por_ (^)! 5 n < (^3) #.
Exemplo 4.2 2VQ~PHURVIRUPDPXPDVHTrQFLDLQÀQLWD
Exemplo 4.3 Os números^1 2
,^1
2 n^
, ... ou^1 2 n
formam uma se- TrQFLDLQÀQLWD
Exemplo 4.4 Os números 2, 3 2
2 , 4 3
3 ,..., n^^1 n
n ,... formam uma VHTrQFLDLQÀQLWD
Exemplo 4.5 Escreva os primeiros 5 termos da seguinte seqüência 2 n < 1 3 n 2
Resolução: Fazendo n 1 em 2 n^ <^1 3 n 2
YRFrWHP 2 =^1 <^1 3 = 1 2
Do mesmo modo, fazendo n 2 temos 2 =^2 <^1 3 = 2 2
Para n 3 , vem 5 11
. Para n 4 , vem 7 14 . Para n 5 vem 9 17
3RUWDQWRRVFLQFRSULPHLURVWHUPRVGDVHTrQFLD 2 n^ <^1 3 n 2
são os números 1 5
,^3
,^5
,^7
,^9
Exemplo 4.6 Escreva os primeiros 5 termos da seguinte seqüência 1 < < 1 n n^3
Resolução: Fazendo n 1 em
1 < < 1 n n^3
YRFrWHP
1 < < 11 13
E assim por diante.
3RUWDQWRRVFLQFRSULPHLURVWHUPRVGDVHTrQFLD
1 < < 1 n n^3
são os números 2 13
, 0,^2
, 0,^2
Curso de Graduação em Administração a Distância
Exemplo 4.11 A seqüência^4 n
2 2 n^2
®«^
e lim n A'^4 n
2 2 n^2
2 , portanto
é convergente e tem limite 2.
Exemplo 4.12 A seqüência ! < 1 n 1 # e lim n A' < 1 n 1
³^
μ 0,^ n^ é ímpar 2, n é par
portanto a seqüência é divergente.
Exemplo 4.13 A seqüência n^^1 2 n < 1
, e lim n A'^ n^^1 2 n < 1
, portanto é con-
vergente e tem limite^1 2
Exemplo 4.14. A seqüência n
n
®«^
, e lim n A'^ n
n ' (não existe o
limite), portanto a seqüência é divergente.
Seqüências monótonas crescentes e decrescentes
'HÀQLomR Dizemos que uma seqüência ! a n # é
(i) crescente, se a (^) n ) a (^) n 1 , n ; (ii) decrescente, se a (^) n * a (^) n 1 , n. 6HXPDVHTrQFLDpFUHVFHQWHRXGHFUHVFHQWHHODpFKDPDGD mo- nótona.
Exemplo 4.15 A seqüência^1 3
,^2
,^3
,^4
, ..., n 2 n 1 , n^^1 2 n 3 , ... ou n 2 n 1
, é crescente, pois
n 2 n 1 ) n^^1 2 n 3
De fato, n 2 n 1 ) n^^1 2 n 3
n 2 n 3 ) n 1 2 n 1
2 n^2 3 n ) 2 n^2 3 n 1 , o que vale sempre.
Exemplo 4.16 A seqüência 1,^1 2
,^1
,^1
, ...,^1
n
n 1 , ... , é decrescente, porque^1 n
n 1
Módulo 2
De fato, 1 n
n 1 n 1 n , o que vale sempre.
Exercícios propostos – 1
D 'DGDDVHTrQFLD <1,<3,<5,<7,... determine o termo geral a (^) n. E 'DGDDVHTrQFLD1,^1 3
,^1
,^1
,... determine o termo geral a (^) n.
(VFUHYDRVSULPHLURVWHUPRVGDVVHJXLQWHVVHTrQFLDV
a) <^1 n^ <^1 2.4.6. ... .2 n
b) 1 1 3 n
¨^ n ©
c) <^1 n^^1 n
&DOFXODUROLPLWHGDVVHJXLQWHVVHTrQFLDV
a) 2 n
3 n^2 < n
®«^
b) 3 n
2 n^2
®«^
9DPRVYHULÀFDUVHYRFr
HVWiDFRPSDQKDQGRWXGR
até aqui? Procure, então,
resolver os exercícios
propostos.
Módulo 2
A função f HVWiGHÀQLGDSDUDWRGR x real, exceto x 1. Assim, se x & 1 , o numerador e o denominador de f podem ser divididos por ( x < 1) HYRFrREWpP f ( x ) 3 x 2, para x & 1.
Vamos estudar juntos os valores da função f ( x ) , quanto x estiver próximo de 1, mas não é igual a 1. Primeiro, vamos considerar valores de x cada vez mais próximos de 1, com x 1 e observaremos o que está acontecendo com f ( x ) , conforme o quadro abaixo:
x < 1^0 0,25^ 0,5^ 0,75^ 0,9^ 0,99^ 0,999^ 0,9999^ 0, f ( x ) = 3 x + 2 2 2,75^ 3,5^ 4,25^ 4,70^ 4,97^ 4,997^ 4,9997^ 4,
Agora, vamos considerar que a variável x aproxima-se cada vez mais de 1, com x 1 e observar o que está acontecendo com f ( x ) :
x > 1^2 1,75^ 1,5^ 1,25^ 1,1^ 1,01^ 1,001^ 1, f ( x ) = 3 x + 2 8 7,25^ 6,5^ 5,75^ 5,30^ 5,03^ 5,003^ 5,
Observamos, em ambas os quadros, que enquanto x se aproxima cada vez mais de 1, a função f ( x ) se aproxima cada vez mais de 5. Em outras palavras, é possível obter o valor de f ( x ) tão próximo de 5 quando desejarmos, desde que tomemos x VXÀFLHQWHPHQWHSUy[LPRGH ([DPLQHRJUiÀFRGH f ( x ) , a seguir: y
−1 0 1 2 x
1
2
3
5 4
Figura 4.
Curso de Graduação em Administração a Distância
Para x cada vez mais próximo de 1, f ( x ) aproxima-se de 5 e es- creve-se a seguinte expressão: lim x A 1 f ( x ) lim x A 1 (3 x 2) 5.
Lê-se:
O limite da função f ( x ) , quando x aproxima-se de 1, é 5, ou ainda, o limite de f ( x ) , quando x tende a 1, é 5. Isto VLJQLÀFDGL]HUTXHRYDORUGDH[SUHVVmR 3 x 2 , cada vez mais aproxima-se de 5, à medida que os valores de x estão aproximando-se de 1. Quando x A 1 , f ( x ) A 5.
Consideremos agora a função f , definida pela expressão f ( x ) 3 x^^1 x < 1 , para x & 1.
Queremos saber o que ocorre com a função f ( x ) quando x tende para 1 , através de valores de x 1 e o que ocorre com a função f ( x ) , quando x tende para 1 , através de valores de x 1. Vejamos o que acontece com f ( x ) , no quadro abaixo, quando x tende para 1 , através de valores de x 1.
x > 1^3 2 1,5^ 1,25^ 1,1^ 1,01^ 1,001^ 1,^ ...
f ( x ) 3 x^^1 x < 1
5 7 11 19 43 403 4003 40003 ...
Observamos que , quando x tende para 1, através de valores de x 1 ou pela direita de 1, a função f ( x ) FUHVFHLQGHÀQLGDPHQWHRXD função f WHQGHSDUDH , pode-se dizer que o limite de f ( x ) quando x WHQGHDSHODGLUHLWDp x A 1 , f ( x ) A ' e anota-se por
lim x A 1 f ( x ) lim x A 1
3 x 1 x < 1
Vejamos o que acontece com f ( x ) , no quadro abaixo, quando x tende para 1 , através de valores de x 1.
Curso de Graduação em Administração a Distância
Exemplo 4.17 Considere f ( x ) 4 e a 2 então lim x A 2 f ( x ) lim x A 2 4 4. Ou seja, o limite de uma constante é a própria constante.
Teorema 4.3 Se lim x A af ( x ) L e lim x A ag ( x ) M , então,
a) lim x A a f ( x ) ( g ( x ) lim x A af ( x ) ( lim x A ag ( x ) L ( M.
b) Para qualquer número real k , tem-se lim x A a k = f ( x ) k = lim x A af ( x ) k = L.
c) lim x A a f ( x ) = g ( x ) lim x A af ( x ) = lim x A ag ( x ) L = M.
d) lim x A a f^ ( x ) g ( x )
lim x A af ( x ) lim x A ag ( x )
L
M
se M & 0.
e) lim x A a f ( x ) n (^) lim x A af ( x )
n Ln^.
Teorema 4.4 Se lim x A af ( x ) b e lim y A bg ( y ) L , com L g ( b ) , então
lim x A ag (^) f ( x ) g (^) lim x A af ( x ).
Observação Pelo Teorema 4.3(e) podemos concluir
lim x A ax n^ (^) lim x A ax
n a n^. Por exemplo, lim x A 2 x^3 (^) lim x A 2 x
3 2 3 8.
Teorema 4.5 Sejam b D°, b & 1, b 0 e n D•. Se lim x A af ( x ) L , então
a) lim x A ab f^ ( x^ )^ b x limA af^ ( x^ ) b L^. b) lim x A a log b f ( x ) log b lim x (^) A a f ( x ) log b L , para L > 0. c) lim x A a n^ f ( x ) n^ lim x A a f ( x ) n^ L , para todo n se L * 0 e só para n ímpar se L 0
Módulo 2
Observação Seja p ( x ) bn x n^ bn -1 x n -1^ ... b 1 x b 0 , um polinômio qualquer, pelo teorema 4.3(a) e (b) e pela observação 4.1, temos
lim x A a p ( x ) lim x A a bn x n^ bn -1 x n -1^ ... b 1 x b 0 lim x A abn x n^ lim x A abn -1 x n -1^ ... lim x A ab 1 x lim x A ab 0 = bn lim x A ax n^ bn < 1 lim x A ax n^ <^1 ... b 1 lim x A ax lim x A ab 0 = p ( a ).
Logo, lim x A ap ( x ) p ( a ). Por exemplo,
(i) lim x A 2 2 x^2 < 7 x 4 2 = 2 2 < 7 = 2 4 2 = 4 < 7 = 2 4 8 < 14 4 18.
(ii) lim x A 1 x^5 < 3 x^4 2 x^3 2 15 < 3 = 14 2 = 13 2 1 < 3 2 2 2.
Vejamos agora alguns exemplos resolvidos.
Exemplo 4.18 Calcular
lim x A 1^ x
(^2 7) x < 2 3 x < 5
Resolução: Aplicando o Teorema 4.3(a), (b) e (d), obtemos
lim x A 1^ x
(^2 7) x < 2 3 x < 5
lim x A 1 x^2 7 x < 2 lim x A 1 3 x < 5
lim x A 1 x^2 lim x A 17 x < lim 2 x A 1 lim x A 13 x < lim x A 15
lim x A 1 x^2 lim x A 17 = lim x A 1 x < lim x A 12 lim x A 13 = lim x A 1 x < lim x A 15
Módulo 2
Exercícios propostos – 2
% Calcular os seguintes limites:
- (^) x limA 27^ x
x < 2
- lim x A 22 x
(^3) < 10 x (^2 8) x 1 x^2 < 5 x < 6
(^) x limA< 13 ( x^3 3 x^ 2)^.
lim x A (^12)
2 x < 3 6 x 5
5 lim x A 1 2 x < 3 x 5
Limites laterais
Na subseção anterior analisamos o comportamento de uma função f ( x ) , quando x se aproxima de um número real a e quando x assume valores (positivos ou negativos) de valor absoluto muito grande. O nosso objetivo agora é estudar os casos quando x tende para a pela direita, x A a e x a ou quando x tende para a pela esquerda, x A a e x a HFRPLVWRLGHQWLÀFDUDH[LVWrQFLDGHOLPLWHGHXPDIXQomRDWUDYpVGRV OLPLWHVODWHUDLVHHVERoDURJUiÀFRGHXPDIXQomRXVDQGROLPLWHVODWHUDLV 3DUDLVWRYHMDPRVDVVHJXLQWHVGHÀQLo}HV
Os resultados desta seção serão
LPSRUWDQWHVSDUDWRGDDVHTrQFLD
de nosso curso. Por isso, só passe
para a próxima seção quando
tiver resolvido os exercícios
SURSRVWRVDFLPD6HYRFrDLQGD
tem alguma dúvida, releia a seção
e depois retorne aos exercícios.
Este procedimento pode ser
bastante útil.
Curso de Graduação em Administração a Distância
Limite à esquerda
Se f ( x ) tende para L 1 quando x tende para a através de valores menores que a diz-se que L 1 é o limite de f ( x ) quando x tende para a pela esquerda e indica-se por
lim x A a < f ( x ) L 1.
Limite à direita
Se f ( x ) tende para L 2 quando x tende para a através de valores maiores que a diz-se que L 2 é o limite de f ( x ) quando x tende para a pela direita e indica-se por
lim x A a f ( x ) L 2.
9DPRVYHUDJRUDDOJXQVH[HPSORVDSOLFDQGRDVGHÀQLo}HVDFLPD
Exemplo 4.20 6HMDDIXQomRIGHÀQLGDSRU
f ( x )
x^2 1, se x 1 4, se x 1 4 < x , se x 1
Determinar: a) lim x A 1 < f ( x ) ; b) b ) lim x A 1 f ( x ) ; c) (VERFHRJUiÀFRGH f ( x ).
Resolução: 3HODGHÀQLomRGHOLPLWHjHVTXHUGDYRFrUHVSRQGHDOHWUD a). Observe que a função f ( x ) HVWiGHÀQLGDSRU f ( x ) x^2 1 se x 1. Logo, lim x A 1 < f ( x ) lim x A 1 < ( x^2 1) 12 1 2.
Curso de Graduação em Administração a Distância
F (VERoDURJUiÀFRGH f ( x ).
Resolução: 3HODGHÀQLomRGHOLPLWHjHVTXHUGDYDPRVUHVROYHUOHWUD a 2EVHUYHFRPRHVWiGHÀQLGDDIXQomRDFLPDSDUDYDORUHVGH x à esquerda de < 2 , ou seja, para x ) < 2. Assim, f ( x ) x^2 < 1 se x ) < 2 e lim x A< 2 < f ( x ) lim x A< 2 < ( x^2 < 1) (<2) 2 < 1 4 < 1 3
Logo, lim x A< 2 < f ( x ) 3.
3HODGHÀQLomRGHOLPLWHjGLUHLWDYDPRVUHVROYHUDOHWUD b ). Para valores de x à direita de < 2 , a função f ( x ) HVWi GHÀQLGD SRU f ( x ) 2 x 7 se x < 2 e lim x A< 2 f ( x ) lim x A< 2 (2 x 7) 2 = (<2) 7 3.
Logo, lim x A< 2 f ( x ) 3. Portanto, lim x A< 2 < f ( x ) lim x A< 2 f ( x ) 3.
c) Note que f (<2) (<2) 2 < 1 4 < 1 3. Como f (<2) 3 e lim x A< 2 < f ( x ) lim x A< 2 f ( x ) 3 SDUD HVERoDU R JUiÀFR GH f ( x ) Gr valores para x , x ) < 2 e calcule os valores de f ( x ) corresponden- tes, através da expressão x^2 < 1 GrYDORUHVSDUD x < 2 e calcule os valores de f ( x ) correspondentes, através da expressão 2 x 7 e veja RJUiÀFRGH f ( x ) , abaixo:
Módulo 2
y
−2^0 x
3
Figura 4.
Teorema de existência do limite
Sejam I um intervalo aberto, a um ponto deste intervalo e f^ :^ I^ <^ { a }^ A^ °^. Então existe lim x A af ( x ) L lim x A a f ( x ) lim x A a < f ( x ) L.
Vejamos agora, alguns exemplos de aplicação do teorema de exis- WrQFLDGROLPLWH
Exemplo 4.22 Considere a função
f ( x )
x^2 1, se x 2 1, se x 2 x 3, se x 2
Determine o lim x A 2 f ( x ) , VHH[LVWLUHHVERoHRJUiÀFRGH f ( x ).
Resolução: Para determinar o lim x A 2 f ( x ) , vamos calcular os limites laterais de f ( x ) , ou seja, calcular lim x A 2 < f ( x ) e lim x A 2 f ( x ). Para cal- cular lim x A 2 < f ( x ) , observe na função dada que f ( x ) HVWiGHÀQLGD por f ( x ) x^2 1 para valores de x menores que 2.
Módulo 2
Exercícios propostos – 3
- Seja f ( x ) 7 x^ <^ 2,^ se^ x^ *^2 x^2 < 2 x 1, se x 2
ª«^
Calcular: lim x A 2 f ( x ) , lim x A 2 < f ( x ) e lim x A 2 f ( x ).
- Seja f ( x )
x 1, se x 0 2, se x 0 x 5, se x 0
Calcular: lim x A 0 f ( x ) , lim x A 0 < f ( x ) e lim x A 0 f ( x ).
- Seja f ( x )
x 1, se x 2 x^3 1, se x * 2
Calcular: lim x A 2 f ( x ) , lim x A 2 < f ( x ) e lim x A 2 f ( x ).
- Seja f ( x ) XPDIXQomRGHÀQLGDSDUDWRGRQ~PHURUHDOSRU
f ( x ) x
(^2) < 4 x , se x ) < 2 4 < k , se x < 2
Determinar o valor da constante k para que exista (^) x limA< 2 f ( x ).
- Seja f ( x ) x
(^2) < 6 x 8, se x 4 4 < x , se x ) 4
Calcular: lim x A 4 < f ( x ) , lim x A 4 f ( x ) e lim x A 4 f ( x ).
Da noção de limite lateral, de- penderá, fundamentalmente, o entendi- mento de continuidade de uma função, que será estudada posteriormente.
2VH[HUFtFLRVGHVWDVHomRWrPSRUREMHWLYR
contribuir para o amadurecimento do
FRQFHLWRGDH[LVWrQFLDGROLPLWHGHXPD
função. Para isto, é importante que
YRFrWHQKDUHVROYLGRDPDLRULDGHOHV6H
YRFrVHQWLXDOJXPDGLÀFXOGDGHUHYHMD
RVH[HPSORVSRLVHOHVOKHGDUmRRV
subsídios necessários para a resolução dos
problemas propostos.
Curso de Graduação em Administração a Distância
Indeterminações
1DVXEVHomRDQWHULRUYRFrHVWXGRX/LPLWHV/DWHUDLV1HVWDVHomR YDPRVHQWHQGHUPHOKRURTXHYHPDVHU,QGHWHUPLQDomR1RVVRREMHWLYR aqui é “ levantar” uma indeterminação que é uma expressão sem sentido que se obtém ao tentar calcular um limite. P or exemplo , usando erro- neamente a letra d) do Teorema 4.3 para calcular lim x A a f^ ( x ) g ( x )
VH FKHJD
à expressão 0 0 TXHQmRSRVVXLVLJQLÀFDGR1HVWHSURFHVVRXWLOL]DUHPRV alguns artifícios algébricos. Até agora calculamos limites do quociente entre duas fun- ções, aplicando o Teorema 4.3 letra d). Veja o exemplo 4.18 resolvido ( lim x A 1^ x
(^2 7) x < 2 3 x < 5 < 3 ). UWLOL]DQGR HVWH WHRUHPD YRFr QRWRX TXH QmR KRXYH QHQKXPD GLÀFXOGDde para encontrar o valor do referido limite, PDVSRGHPRFRUUHUVLWXDo}HVHPTXHYRFrXVDQGRHUURQHDPHQWHDOHWUD d) do Teorema 4.3, encontre 0 0
. Cuidado quando isto ocorrer. O limite nunca é 0 0 , pois 0 0 não é número algum. Neste caso, o que fazer? É o que veremos a seguir: Consideremos f ( x ) e g ( x ) funções tais que lim x A 0 f ( x ) 0 e lim x A 0 g ( x ) 0. Em pr incípio, nada se pode a f i r ma r sobre o
lim x A 0^ f^ ( x ) g ( x )
lim x A 0 f ( x ) lim x A 0 g ( x )
(com a aplicação indevida do Teorema 4.
letra d). Dependendo das funções f e g , o limite pode assumir qualquer valor real ou não existir.
Diz-se que^0 0 é uma indeterminação, ou um símbolo de indeterminação.
