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CapÌtulo 4
SequÍncias de n˙meros reais
Neste capÌtulo vamos apresentar a deÖniÁ„o rigorosa de limite de uma se- quÍncia de n˙meros reais bem como seu uso na demonstraÁ„o de limites ele- mentares e algumas propriedades b·sicas envolvendo esse conceito. A noÁ„o de limite tem um papel central no estudo da An·lise Matem·tica, pois todos os conceitos e resultados importantes se referem a limites direta ou indiretamente.
4.1 SequÍncias
Uma sequÍncia de elementos de um conjunto X qualquer È uma funÁao x : N! X; cujo domÌnio È N e os valores est„o contidos no conjunto X. Nesta seÁ„o estaremos interessados em sequÍncias de n˙meros reais e no signiÖcado de convergÍncia dessas sequÍncias. Uma sequÍncia de n˙meros reais nada mais È do que uma lista inÖnita de n˙meros reais, arranjados em uma certa ordem. Mais precisamente, temos uma sequÍncia (inÖnita) se para cada n˙mero natural n associamos um n˙mero real x (n) = xn, conforme deÖniÁ„o que segue. ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó
DeÖniÁ„o 4.1 (SequÍncia) Uma sequÍncia de n˙meros reais È uma funÁ„o
x : N! R n 7! xn
deÖnida no conjunto N = f 1 ; 2 ; 3 ; : : :g dos n˙meros naturais e tomando valores no conjunto R dos n˙meros reais.
ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó Os valores xn s„o chamados os termos ou elementos da sequÍncia. … muito comum chamar o termo xn de n Èsimo termo da sequÍncia. Us- aremos frequentemente as notaÁıes (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn; : : :) ou (xn)n 2 N ou (xn) ou simplesmente xn; como formas alternativas de representar a sequÍncia x. Claramente, poder„o ser usadas outras letras, como
y = (yk)k 2 N ; z = (zt)t 2 N ; w = (w) 2 N
4.1. SEQU NCIAS 187
e assim por diante. O uso de parÍnteses ( ) em vez de chaves { } serve para distinguir a sequÍncia (xn) do conjunto de seus valores
x (N) = fxn : n 2 Ng = fx 1 ; x 2 ; : : : ; xn; : : :g
Assim, por exemplo, a sequÍncia xn = 1 + ( 1)n^ tem inÖnitos termos
(x 1 = 0; x 2 = 2; : : : ; x 50 = 2; x 51 = 0; : : :)
ao passo que o conjunto
x (N) = fx 1 = 0; x 2 = 2; : : : ; x 50 = 2; x 51 = 0; : : :g
coincide com o conjunto f 0 ; 2 g, que tem apenas dois elementos. Observe que, atravÈs da deÖniÁ„o de igualdade entre funÁıes, duas sequÍncias
x = (xn)n 2 N e y = (yk)k 2 N
s„o iguais se xn = yn, para todo n 2 N. Duas sequÍncias podem ter a mesma imagem, mas serem distintas. De fato, considere as sequÍncias
(xn) = (1; 2 ; 1 ; 2 ; : : :) e (yn) = (2; 1 ; 2 ; 1 ; : : :)
Estas sequÍncias s„o distintas, pois x 1 = 1 e y 1 = 2 diferentes. Por outro lado,
x (N) = y (N) = f 1 ; 2 g
… muito comum deÖnir-se uma sequÍncia dando-se uma fÛrmula para o n Èsimo termo xn, como acabamos de fazer com xn = 1 + ( 1)n. Quando tal fÛrmula pode ser facilmente deduzida a partir do conhecimento de seus primeiros termos, È tambÈm comum listar-se os termos da sequÍncia atÈ que a regra de formaÁ„o pareÁa evidente. Assim, a sequÍncia dos n˙meros Ìmpares pode ser apresentada na forma (1; 3 ; 5 ; : : :), que È o mesmo que (2n + 1)n 2 N. Uma outra forma de se deÖnir uma sequÍncia È especiÖcar o valor de x 1 e dar uma fÛrmula para xn+1 em termos de xn, para n > 1 , ou, de modo equivalente, dar uma fÛrmula para xn em termos de xn 1 , para n > 2. Dizemos, nesses casos, que a sequÍncia est· deÖnida recursivamente ou indutivamente. Um exemplo disso È obtido se deÖnirmos a sequÍncia ( (^21) n ) na forma
x 1 =
; xn+1 =
x 2 2
; para n > 1
Outro exemplo e fornecido pela sequÍncia deÖnida por
x 1 = 1; x 2 = 1 e xn = xn 1 + xn 2 ; para n > 3
que È conhecida como sequÍncia de Fibonacci. Mas nem sempre o termo geral de uma sequÍncia È dado por uma fÛrmula, por exemplo a sequÍncia dos n˙meros primos 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; : : :
n„o existe fÛrmula para o n-Èsimo termo desta sequÍncia. Nota: Algumas vezes, as sequÍncias n„o iniciam com o termo correspondente a n = 1. Por exemplo, na sequÍncia
xn =
n! n
4.1. SEQU NCIAS 189
ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó
DeÖniÁ„o 4.2 Quando a sequÍncia x : N! R for injetiva, ou seja, xn 6 = xm; se n 6 = m; dizemos que x È uma sequÍncia de termos dois a dois distintos.
ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó
190 CAPÕTULO 4. SEQU NCIAS DE N⁄MEROS REAIS
4.1.1 Problemas resolvidos
Problema 4.1 Seja (xn) uma sequÍncia deÖnida por
xn = xn 1 +
xn 1
; para todo n > 1 ; x 0 = 5
Mostre que, x 1000 > 45.
SoluÁ„o. Veja que para todo n > 1 ; temos
x^2 n =
xn 1 +
xn 1
= x^2 n 1 + 2 +
x^2 n 1
x^2 n 1 + 2
e x^2 n 1 > x^2 n 2 + 2 e portanto, x^2 n > x^2 n 2 + 2 + 2: Segue-se x^2 n > x^20 + 2n; e em particular, x^21000 > 25 + 2000 = 2025 = 45^2
e portanto, x 1000 > 45.
Problema 4.2 Se a sequÍncia de n˙meros reais positivos (x 1 ; x 2 ; : : : ; xn; : : :) È uma progress„o geomÈtrica de raz„o igual a q, mostre que a sequÍncia (y 1 ; y; : : : ; yn; : : :) deÖnida para todo n natural por yn = log xn È uma progress„o aritmÈtica de raz„o log q.
SoluÁ„o. Por deÖniÁ„o xn = x 1 qn ^1 ; onde n 2 N. Por outro lado, 8
<
:
y 1 = log xn
y 2 = log x 2 = log (x 1 q) = log x 1 + log q
y 3 = log x 3 = log
x 1 q^2
log x 1 + 2 log q .. .
yn = log xn = log
x 1 qn ^1
= log x 1 + (n 1) log q
Como y 2 y 1 = y 3 y 2 = = yn yn 1 = log q, ent„o yn = log xn È uma progress„o aritmÈtica de raz„o log q.
Problema 4.3 Todos os termos da progress„o geomÈrica (xn) s„o positivos. Se x 10 = 2 e x 18 = 3. Determine x 16 e x 3 x 27 :
SoluÁ„o. Como 14 + 14 = 10 + 18; ent„o x^214 = x 10 x 18 = 2 3 = 6 e portanto,
x 14 =
p 6
Por outro lado, como 16 + 16 = 14 + 18, ent„o x^216 = x 14 x 18 = 3
p 6 : Logo,
x 16 =
q 3
p 6
Finalmente, como 14 + 16 = 3 + 27; ent„o
x 14 x 16 = x 3 x 27 =) x 3 x 27 =
p 6
q 3
p 6 = 3
q 2
p 6
192 CAPÕTULO 4. SEQU NCIAS DE N⁄MEROS REAIS
4.2 Limite de uma sequÍncia
A noÁ„o de limite de uma sequÍncia constitui o eixo fundamental de toda a An·lise Matem·tica. Nesta seÁ„o apresentaremos esse conceito na sua forma mais b·sica que È aquela aplicada as sequÍncias de n˙meros reais. Considere a sequÍncia (xn), cujo termo geral È xn = (^) n^1 , ent„o os primeiros termos desta sequÍncia s„o:
1 ;
Intuitivamente, observando a Ögura abaixo
vemos que os termos da sequÍncia tornam-se arbitrariamente prÛximos de zero quando n tende a inÖnito. Mas o que signiÖca isto? Tomemos um inter- valo centrado em zero, digamos de raio 10 ^3. Ser· que È possÌvel encontrar- mos um inteiro positivo n 0 a partir do qual todos os xnís estar„o no intervalo 0 10 ^3 ; 0 + 10 ^3
? Isto È equivalente a dizer que
0 10 ^3 < xn < 0 + 10 ^3
ou ainda, que jxn 0 j < 10 ^3. Note que jxn 0 j = (^) n^1 ; portanto jxn 0 j < 10 ^3 , se tivermos n > 103. Se ao invÈs de 10 ^3 tivÈssemos pegado 10 ^10 , ent„o jxn 0 j < 10 ^10 , para n > 1010. Em geral, dado um n˙mero positivo " > 0 , n„o importa o qu„o pequeno ele seja, se n 0 for um inteiro positivo tal que n 0 > (^1) " , ent„o para todo n > n 0 , temos
jxn 0 j =
n
n 0
A deÖniÁ„o a seguir abre caminho para estudarmos sequÍncias convergentes. ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó
DeÖniÁ„o 4.3 (Limite) Diz-se que uma sequÍncia x = (xn) em R converge para a 2 R, ou que a È limite de (xn), se para todo " > 0 existe um n˙mero natural n 0 (") tal que, para todo n > n 0 ("), xn satisfaz jxn aj < ".
ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó Se uma sequÍncia possui limite, dizemos que ela È convergente; caso con- tr·rio dizemos que ela È divergente. Em linguagem simbÛlica temos que
lim n! xn = a () 8" > 0 ; 9 n 0 (") 2 N tal que n > n 0 (") =) jxn aj < "
ou seja,
lim n! xn = a () 8" > 0 9 n 0 (") 2 N tal que n > n 0 (") =) xn 2 (a "; a + ")
4.2. LIMITE DE UMA SEQU NCIA 193
Assim, lim n! xn = a se, e somente se, todo intervalo aberto de centro a
contÈm todos os termos xn da sequÍncia, salvo, talvez, para um n˙mero Önito de Ìndices n, ou seja, para qualquer intervalo aberto centrado em torno do limite a, sempre pode-se encontrar um Ìndice n 0 2 N a partir do qual todos os termos de (xn) estar„o dentro desse intervalo, conforme mostra a seguinte Ögura.
Veja que lim n! xn 6 = a se, e somente se, existe " 0 > 0 tal que para todo
n 0 (") 2 N; existe n 1 > n 0 com jxn 1 aj > " 0 : Na deÖniÁ„o que acabamos de dar denotamos n 0 (") e n„o, simplesmente, n 0 , apenas para enfatizar o fato de que o referido n˙mero natural n 0 depender· em geral do n˙mero " > 0 que tenha sido escolhido. Frequentemente vamos usar a notaÁ„o mais simples n 0 deixando de explicitar a dependÍncia desse n˙mero em relaÁ„o a ". Como veremos nos exemplos que daremos a seguir, de modo geral, quanto menor for o " escolhido, maior ter· de ser o valor de n 0 , para que tenhamos, para todo n > n 0 , jxn aj < ". Em termos coloquiais, a deÖniÁ„o de limite pode ser traduzida da seguinte maneira: · medida que os valores de n se tornam mais e mais altos, os elementos xn se tornam mais e mais prÛximos de a. Matematicamente, a veriÖcaÁ„o dessa sentenÁa assume um formato semelhante ao de um jogo em que um jogador A, que aÖrma ser a limite de xn, È desaÖado por um outro jogador B a provar tal aÖrmaÁ„o. Sendo assim, B escolhe um " > 0 arbitrariamente pequeno e desaÖa A a encontrar um n˙mero natural n 0 , n„o importando qu„o grande ele seja, tal que para todo n > n 0 valha que jxn aj < ". Se A conseguir mostrar que para qualquer " > 0 escolhido ele È capaz de exibir n 0 veriÖcando tal propriedade, ent„o ele ganha o jogo, provando que a È limite de xn. Caso contr·rio, ele perde e quem ganha È B, Öcando provado que a n„o È limite de xn.
Exemplo 4.3 Prove que a sequÍncia dada por
xn = ( 1)n
n
4.2. LIMITE DE UMA SEQU NCIA 195
SoluÁ„o. Temos que
jan 1 j =
2 n^ ( 1)n 2 n^
2 n
e pela desigualdade de Bernoulli,
2 n^ = (1 + 1)n^ > 1 + n > n =)
2 n^
n
Logo, dado " > 0 qualquer, considere n 0 > (^1) ". Ent„o
n > n 0 =) jxn 1 j =
2 n^
n
n 0
e portanto, lim n! xn = 1:
Teorema 4.1 Se lim n! xn = e c È uma constante, ent„o lim n! (xn c) = c.
DemonstraÁ„o. De fato, seja yn = xn c, mostraremos que lim n! yn = ` c.
Tomo " > 0 ; como lim n! xn = `; ent„o existe n 0 2 N tal que
n > n 0 =) jxn `j < "
e portanto,
jyn ( c)j = jxn c ( c)j = jxn `j < "
o que mostra que a sequÍncia (yn) converge para ` c.
Teorema 4.2 Seja (xn) uma sequÍncia de n˙meros reais. Ent„o lim n! xn = `
se, e somente se, lim n! (xn `) = 0.
DemonstraÁ„o. ( =) ) Suponha que lim n! xn = `. Ent„o dado " > 0 , existe
n 0 , tal que se n > n 0 , temos jxn `j < "; portanto,
j(xn ) 0 j = jxn j < "
Isto mostra que lim n! (xn ) = 0. ( (= ) Suponha que lim n! (xn ) = 0. Ent„o dado " > 0 , existe n 0 , tal que
se n > n 0 , temos j(xn `) 0 j < "; portanto,
jxn j = j(xn ) 0 j < "
Isto mostra que lim n! xn = `. O resultado seguinte aÖrma que se uma sequÍncia possui limite, ent„o esse limite È ˙nico.
Teorema 4.3 (Unicidade do limite) O limite de uma sequÍncia convergente È ˙nico.
196 CAPÕTULO 4. SEQU NCIAS DE N⁄MEROS REAIS
DemonstraÁ„o. Seja x = (xn) uma sequÍncia convergente. Suponha, por absurdo, que lim n! xn = a e lim n! xn = b; com a 6 = b
Sem perda de generalidade, considere que a < b. Seja " = b 2 a. Assim, existem n 1 ; n 2 2 N tais que
para todo n > n 1 , tem-se xn 2 (a "; a + ")
e para todo n > n 2 , conclui-se xn 2 (b "; b + "). Seja n 0 = maxfn 1 ; n 2 g: Ent„o para todo n > n 0 > n 1 ; n 2 ; infere-se
xn 2 (a "; a + ") \ (b "; b + ")
Por outro lado, os intervalos (a "; a + ") e (b "; b + ") s„o disjuntos.
De fato, se existisse
x 2 (a "; a + ") \ (b "; b + ")
terÌamos ja xj < " e jx bj < ", donde
ja bj 6 ja xj + jx bj < 2 " = ja bj
o que È um absurdo. Portanto, (a "; a + ") \ (b "; b + ") = ?, mas
xn 0 2 (a "; a + ") \ (b "; b + ")
Isto È um absurdo. Dessa forma, o limite È ˙nico. A desigualdade triangular implica diretamente o seguinte resultado.
Teorema 4.4 Se a sequÍncia (xn) converge para ; ent„o a sequÍncia (jxnj) converge para jj. Se ` = 0, ent„o vale tambÈm a recÌproca, isto È, se
lim n! jxnj = 0; ent„o lim n! xn = 0
DemonstraÁ„o. Como lim n! xn = `; ent„o dado " > 0 qualquer, existe n 0 2 N
tal que n > n 0 =) jxn `j < "
Mas, jjxnj jjj 6 jxn j ; 8 2 N
Logo, n > n 0 =) jjxnj jjj 6 jxn j < "
e portanto, lim n! jxnj = j`j :
198 CAPÕTULO 4. SEQU NCIAS DE N⁄MEROS REAIS
4.2.1 Problemas resolvidos
Problema 4.4 Seja
xn =
n + ( 1)^2 2 n para n 2 N
a) Encontre um n 0 2 N tal que xn 0 12 < 101200 :
b) Para o n 0 encontrado em a) mostre que se, n > n 0 ; ent„o xn 12 < 101200 :
c) Para um " > 0 qualquer, obtenha n 0 2 N de modo que se, n > n 0 ; ent„o
xn
SoluÁ„o. a) Observemos que
xn
n + ( 1)^2 2 n
( 1)^2
2 n
2 n
Portanto,
xn 0
2 n 0
() n 0 >
Problema 4.5 Mostre que, lim n!
1 nk^ = 0^ para todo^ k >^0.
SoluÁ„o. Dado " > 0 , considere n 0 2 N, tal que n 0 > (^) " 11 =k. Logo, se n > n 0 , temos 1 nk^
nk^
nk^
nk 0
Isto mostra que lim n!
1 nk^ = 0.
Problema 4.6 Se lim n! xn = a e lim n! (xn yn) = 0; ent„o lim n! yn = a:
SoluÁ„o. Como lim n! xn = a; ent„o para todo " > 0 ; existe n 1 2 N, tal que
n > n 1 =) jxn aj <
e como lim n! (xn yn) = 0; ent„o para todo " > 0 ; existe n 2 2 N, tal que
n > n 2 =) jxn yn 0 j <
Tomando n 0 = max fn 1 ; n 2 g : Como
jyn aj = jyn a + xn xnj 6 jxn aj + jxn ynj < "
Com isso, 8 " > 0 ; existe n 0 2 N tal que
n > n 0 =) jyn aj < "
Logo, lim n! yn = a.
4.2. LIMITE DE UMA SEQU NCIA 199
Problema 4.7 Seja a 6 = 0: Se lim n!
yn a = 1, ent„o^ nlim!1 yn^ =^ a:
SoluÁ„o. Como lim n!
yn a = 1;^ ent„o para todo^ " >^0 ;^ existe^ n^0 2 N, tal que
n > n 0 =)
yn a
jaj
Temos que yn a
jyn aj jaj
; com a 6 = 0
e portanto, jyn aj < "; ou seja, 8 " > 0 ; existe n 0 2 N tal que
n > n 0 =) jyn aj < "
Logo, lim n! yn = a.
Problema 4.8 Seja (xn) uma sequÍncia de n˙meros reais e a 2 R. Se (yn) È uma sequÍncia de n˙meros reais positivos com lim n! yn = 0 e se para alguma
contante C > 0 e algum M 2 N tivermos
jxn aj 6 Cyn para todo n > M
ent„o lim n! xn = a.
SoluÁ„o. Com efeito, dado " > 0 qualquer, como lim n! yn = 0, sabemos que
existe n
0 0 2 N^ tal que se^ n > n
0 0 , ent„o
yn = jyn 0 j <
C
Da segue que se n > n 0 = maxfM; n 0 0 g, ent„o
jxn aj 6 Cyn < C
C
Isto mostra que lim n! xn = a.
Problema 4.9 Se a > 0 , ent„o lim n!
1 1+na = 0.
SoluÁ„o. De fato, temos
1 1 + na
a
n
Como (^1) a > 0 e lim n!
1 n = 0;^ ent„o pelo Problema 4.8,^ nlim!
1 1+na = 0.
Problema 4.10 Se 0 < a < 1 , ent„o lim n! an^ = 0.
SoluÁ„o. De fato, como 0 < a < 1 , podemos escrever
a =
1 + b
; onde b =
a
4.2. LIMITE DE UMA SEQU NCIA 201
Seja n 0 = max fp; qg : Pela Desigualdade triangular para todo n > n 0 tem-se
x 1 + x 2 + + xn n
a 6
(x 1 a) + (x 2 a) + + (xp a) n
(xp+1 a) + (xp+2 a) + + (xn a) n
De (1) e (2) tem-se
x 1 + x 2 + + xn n a <
(xp+1 a) + (xp+2 a) + + (xn a) n p
n p n
Como n > p; ent„o n n p< 1 : Assim,
n > n 0 =)
x 1 + x 2 + + xn n a < "
e portanto, lim n! yn = a: Como xn = n
p 2 e lim n! xn = lim n!
p n2 = 1; ent„o
lim n!
p 2 + 3
p 2 + + n
p 2 n
202 CAPÕTULO 4. SEQU NCIAS DE N⁄MEROS REAIS
4.2.2 Problemas propostos
- Mostre que lim n!
n n^2 +n+2 = 0.
- Liste os cinco primeiros termos das seguintes sequÍncias deÖnidas induti- vamente:
a) x 1 = 1; xn+1 = 3xn + 1.
b) y 1 = 2, yn+1 = (^12)
yn + (^) y^2 n
c) z 1 = 3; z 2 = 5; zn+2 = zn + zn+1:
- Para qualquer b 2 R, prove que lim n!
b n = 0.
- Se lim n! xn =
> 0 , mostre que existe um n˙mero natural M tal que se n > M; ent„o xn > 2. - Use a deÖniÁ„o de limite de uma sequÍncia para demonstrar que
lim n!
3 n 3 n + 1
- Mostre que, lim n!
p n + 1
p n) = 0.
- Prove usando a deÖniÁ„o que
lim n!
3 n
p n n
p n + 5
- Prove que, se (xn) È uma sequÍncia convergente ent„o,
lim n! jxn+1 xnj = 0
204 CAPÕTULO 4. SEQU NCIAS DE N⁄MEROS REAIS
DeÖniÁ„o 4.6 (Limitada) Uma sequÍncia x = (xn) È limitada quando ela for limitada superiormente e inferiormente ou seja, quando existem a; b 2 R tais que xn 2 [a; b] paratodo n 2 N
ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó Nota: Todo intervalo [a; b] est· contido num intervalo centrado em 0 da forma [ c; c] para algum c > 0. De fato, basta tomar c = max fjaj ; jbjg ; pois
c 6 a 6 x 6 b 6 c
j· que c > jbj > b e c > jaj > a; ou seja, c 6 a: Assim, uma sequÍncia È limitada se, e somente se, existe c > 0 tal que jxnj 6 c para todo n 2 N.
Quando uma sequÍncia n„o È limitada, seus elementos podem se espalhar por toda a reta, distanciando-se uns dos outros, como acontece com xn = n e xn = 1 n. Se a sequÍncia for limitada, estando seus elementos conÖnados a um intervalo [a; b], eles s„o forÁados a se acumularem em um ou mais lugaresî desse intervalo.
Teorema 4.5 Toda sequÍncia de n˙meros reais convergente È limitada.
DemonstraÁ„o. Seja lim n! xn = a e tome " = 1: Ent„o existe um Ìndice n 0 2 N
tal que n > n 0 =) jxn aj < 1
Aplicando a desigualdade triangular com n > n 0 obtemos
jxnj = jxn a + aj 6 jxn aj + jaj < 1 + jaj
Pondo c = max fjx 1 j ; jx 2 j ; : : : ; jxn 0 j ; 1 + jajg ; ou seja, c È o maior dos valores jx 1 j ; jx 2 j ; : : : ; jxn 0 j ; 1 + jaj ; concluÌmos que, jxnj 6 c para todo n 2 N. Isto mostra que, (xn) È limitada. A recÌproca do Teorema 4.5 n„o È verdadeira. Por exemplo, a sequÍncia
(0; 1 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; : : :)
È limitada, mas n„o È convergente, pois lim n! x 2 n = 1 e lim n! x 2 n 1 = 0, ou seja
(xn) possui duas subsequÍncias que convergem para limites diferentes.
4.3. OPERA«’ES COM LIMITES 205
Teorema 4.6 Se lim n! xn = 0 e (yn) È uma sequÍncia limitada, ent„o
lim n! (xnyn) = 0
mesmo que n„o exista lim n! yn:
DemonstraÁ„o. Como (yn) È uma sequÍncia limitada, ent„o existe um n˙mero real c > 0 tal que jynj 6 c; 8 n 2 N: Dado " > 0 ; como lim n! xn = 0, ent„o existe
n 0 em N tal que
n > n 0 =) jxnj <
c
Assim,
n > n 0 =) jxnynj = jxnj jynj <
c
c = "
Logo, (^) nlim!1 (xnyn) = 0:
Exemplo 4.9 Mostre que lim n!
1 n sen^ n^ = 0:
SoluÁ„o. Com efeito, como lim n!
1 n = 0^ e^ jsen^ nj^6 1 ;^ ent„o pelo Teorema 4.6,
lim n!
n
sen n = 0
Examinaremos a seguir como o processo de tomar o limite interage com as operaÁıes de adiÁ„o, subtraÁ„o, multiplicaÁ„o e divis„o de sequÍncias. Se x = (xn) e y = (yn) s„o sequÍncias de n˙meros reais, deÖnimos sua soma, diferenÁa, produto e quociente como e feito para funÁıes em geral. Assim, temos
x + y = (xn + yn)
x y = (xn yn)
x y = (xnyn)
x y =
xn yn
Observe que o quociente xy sÛ est· deÖnido se os elementos de y forem todos n„o nulos. Dada k 2 R a multiplicaÁ„o da sequÍncia x = (xn) por k È trivialmente deÖnida por kx = (kxn). Mostraremos agora que sequÍncias obtidas aplicando- se essas operaÁıes a sequÍncias convergentes s„o tambÈm convergentes e seus limites s‚o obtidos aplicando-se as mesmas operaÁıes aos limites das sequÍncias envolvidas.
Teorema 4.7 Sejam x = (xn) e y = (yn) sequÍncias de n˙meros reais tais que
lim n! x = a e lim n! y = b
Ent„o:
