Baixe Sequências Numéricas: Conceitos, Limites e Propriedades e outras Notas de aula em PDF para Química, somente na Docsity!
Capítulo 3
Sequências e Séries Numéricas
3.1 Sequências Numéricas
Uma sequência numérica é uma função real com domínio N que, a cada n associa um número real an. Os números an são chamados termos da sequência. É comum indicar uma sequência escrevendo apenas uma lista ordenada de seus termos: a 1 , a 2 , a 3 ,... , an,... Alguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis: (a 1 , a 2 , a 3 ,... , an,.. .) ou (an)n∈N, ou simplesmente (an)
Também podemos descrever uma sequência por meio da fórmula do termo geral an, quando houver. Por exemplo, a sequência
pode ser representada da forma
n
n ou ainda por meio da expressão an = (^1) n , ∀n ∈ N A imagem da sequência é formada pelo conjunto de todos os valores an, e pode ser um conjunto finito ou infinito. Uma sequência (an)n é limitada superiormente se existir um número N tal que an ≤ N, para todo n ≥ 1
Ela é limitada inferiormente se existir um número M tal que
M ≤ an, para todo n ≥ 1
Se uma sequência for limitada superior e inferiormente, diremos que ela é uma sequência limitada.
Exemplos 3.1.1 Alguns exemplos importantes de sequências são estudados já no Ensino Fun- damental e no Ensino Médio:
- Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números tais que a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer é sempre a mesma. Por exemplo, a sequência 10, 13, 16, 19,... é uma PA. Se o termo inicial da PA é a 1 e a diferença entre os termos é r, então o n-ésimo termo é dado por an = a 1 + (n − 1)r. O professor deve ensinar alguns fatos importantes sobre as PAs, tais como, se r > 0 , então a sequência cresce indefinidamente (isto é, tende a infinito). Também costuma-se ensinar como obter o valor da soma de uma quantidade finita de termos consecutivos de uma PA: uma fórmula fácil de ser obtida e bastante instrutiva, que pode ser motivada por meio de problemas (ou perguntas) interessantes.
- Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência de números em que o quociente entre um termo e seu antecessor é constante. Esse quociente é uma constante não nula chamada razão. Por exemplo, a sequência 2 , 4 , 8 , 16 , 32 ,... é uma progressão geométrica de razão
- A sequência 1 , −^13 , 19 , − 271 , 811 ,... é uma PG de razão −^13. Em geral, uma PG pode ser escrita na forma
a, ar, ar^2 , ar^3 ,... , arn,... , para r 6 = 0 e termo inicial a
Há muitos aspectos interessantes e fatos importantes sobre as PGs que devem ser ensinados, para preparar melhor os alunos do ensino médio para muito do que eles terão que enfrentar no futuro. Por exemplo, usa-se PG para se calcular o valor, depois de n meses, do capital investido a juros compostos. Também é muito importante saber que se − 1 < r < 1 , r 6 = 0, a soma dos infinitos termos da PG é finita. Voltaremos a esse assunto quando formos estudar séries, isto é, somas com infinitas parcelas.
- Na 3, o conjunto imagem tem apenas dois elementos, − 1 e 1. A sequência é limitada, já que − 1 ≤ cn ≤ 1 , ∀n;
- A imagem da sequência 4 é o conjunto { 5 }. Logo, a sequência é limitada;
- Na 6, tem-se 0 < sn < 1 , ∀n (verifique!). A imagem é um conjunto infinito (justifique!).
- O que você pode dizer sobre a sequência 7?
Definição 3.1.3 Dizemos que uma sequência (an)n converge para um número real L se para qualquer ε > 0 , for possível encontrar um índice n 0 tal que
|L − an| < ε, para todo n ≥ n 0
a 1 a 2 · · · b L − ε an L b L + ε
Observação: Quando testamos a convergência de uma sequência, nos interessam os valores pequenos de ε. De fato, se para cada ε 0 > 0 dado existir n 0 tal que |L − an| < ε 0 , para todo n ≥ n 0 , e se ε > ε 0 então |L − an| < ε 0 < ε, para todo n ≥ n 0.
O número L é chamado limite da sequência. Usamos as notações
L = lim an ou an −→ L
para indicar que a sequência (an) converge para L.
Exemplo 3.1.4 Vamos demonstrar que a sequência (^ nn+1^ ) n converge para 1. Rascunho: (Nosso objetivo é provar que, dado um número > 0 qualquer, consigo determinar n 0 com a propriedade
1 − (^) nn+
< ε, para todo n ≥ n 0. Ou seja, precisamos resolver uma inequação em n.) Mas
1 − (^) n+1n
∣∣n+1−n n+
= (^) n^1 +1 < (^) n^1 e (^) n^1 < ε ⇐⇒ n > (^1) ε. Logo, se tomarmos um natural maior do que (^1) ε , o problema estará resolvido. Uma última questão é: existe um natural maior do que (^1) ε , para qualquer ε dado? A resposta afirmativa é consequência da Propriedade Arquimediana, vista no capítulo 1.
Solução: Seja ε > 0 dado. Pela Propriedade Arquimediana, existe n 0 ∈ N tal que n 0 > (^1) ε. Para todo n > n 0 , teremos: ∣∣ ∣∣ 1 − n n + 1
∣∣^ n^ + 1^ −^ n n + 1
n + 1 <^
n <^
n 0 < ε
Observação: Esse exemplo ilustra o fato que, quanto menor o número ε, maior o índice n 0 necessário para aproximar o termo an do limite L. Por exemplo, se ε = 10−^1 , precisamos escolher n 0 > 10 ; se ε = 10−^2 , precisamos de n 0 > 100.
Exemplo 3.1.5 A sequência (− 1 , 1 , − 1 ,... , (−1)n,.. .) não converge. Intuitivamente, como há infinitos termos da sequência iguais a 1 e infinitos termos iguais a − 1 , é impossível que, a partir de algum índice, os termos se aproximem de algum valor L. Mas como provar, de modo rigoroso, que não existe L com a propriedade desejada? A ideia é tomar ε pequeno, de modo que qualquer que seja L, o intervalo ]L − ε, L + ε[ não possa conter todos os termos da sequência a partir de algum índice. Solução: Seja ε = 14. Qualquer que seja o número real L e para qualquer natural n 0 , existirão termos an com n > n 0 tal que an ∈/ ]L − 14 , L + 14 [, já que o intervalo tem comprimento 12 e, para n par, teremos an = 1 e para n ímpar, teremos an = − 1. Uma outra forma de dizer isso é: “Dado ε = 14 , para todo L ∈ R e todo n 0 ∈ N, existe n > n 0 tal que |L − an| > 14 ”.
Quando uma sequência não converge, dizemos que ela diverge. Se para qualquer número M > 0 dado, existir um índice n 0 tal que an > M, ∀n > n 0 , dizemos que a sequência “tende a +∞” e escrevemos lim an = +∞ ou an −→ +∞. É o que acontece com a sequência 1 do exemplo 3.1.2. Analogamente, se para cada M > 0 dado, existir n 0 ∈ N tal que an < −M, ∀n ≥ n 0 , escrevemos lim an = −∞. Um exemplo para esse caso é o da sequência 5 em 3.1.2. Se uma sequência tende a +∞ ou a −∞ ela também é considerada divergente.
Pronto: conseguimos relacionar a diferença anbn − ab com as diferenças |an − a| e |bn − b|. Agora basta finalizar alguns detalhes.) Solução. Seja ε > 0. Existem índices n 1 e n 2 tais que |an − a| < √ε, ∀n ≥ n 1 e |bn − b| < √ε, ∀n ≥ n 2. Logo, para todo n ≥ max{n 1 , n 2 }, temos |(an − a)(bn − b)| < ε. Isso prova que
lim(an − a)(bn − b) = 0 (3.2)
Portanto, da expressão (3.1) temos:
lim anbn − ab = lim[(an − a)(bn − b) + (an − a)b + (bn − b)a] ( =a) lim[(an − a)(bn − b)] + lim[(an − a)b] + lim[(bn − b)a] (3 =.2) 0 + lim[(a n −^ a)b] + lim[(bn −^ b)a] ( =c) b lim(a n −^ a) +^ a^ lim(bn −^ b) = 0
(e) (Rascunho: precisamos provar que, a partir de algum índice n 0 ,
an −^1 a
se torna tão pequeno quanto se queira, sabendo que |an − a| pode ser tão pequeno quanto quisermos. Façamos algumas contas para ver como é possível relacionar essas desigualdades: ∣∣ ∣∣^1 an^ −^
a
∣∣ = |a^ −^ an| |a an| Se conseguirmos garantir que |a an| > M para alguma constante M , conseguiremos concluir que |a|^ a a−^ an| n|^ < |a^ − M^ a n| < ε, se |a − an| < ε M. Assim, o problema estará resolvido se encontrarmos um número M adequado, tal que |a an| > M , para índices n suficientemente grandes. Como a 6 = 0, sabemos que |a| > 0.
0
b |a 2 | |an| |a|
b 3 |a 2 |
Como lim an = a, existe n 1 tal que |a − an| < |a 2 | para todo n ≥ n 1. Com isso, é possível provar (exercício) que |an| > |a 2 | , ∀n ≥ n 1. (Veja a figura acima.) Portanto
|an| |a| > |a 2 | |a| = a
2 ︸︷︷︸^2 M
, para todo n ≥ n 1. Essa foi a parte difícil! Vamos então escrever a
demonstração formal. Demonstração. Fixemos ε > 0 qualquer. Existe n 1 tal que
|an| > |a 2 | , ∀n ≥ n 1 (∗)
Além disso, existe n 2 tal que |a − an| < ε 2 a^2 , ∀n ≥ n 2 (∗∗)
Seja n 0 = max{n 1 , n 2 }. Para todo n ≥ n 0 temos: ∣∣ ∣∣^1 an^ −^
a
∣∣ = |a^ −^ an| |a| |an|
(∗) ≤ |a^ −^ an| |a| |a 2 |
= a^22 |a − an| ( <∗∗) (^) a^22 ε 2 a^2 = ε
A seguir, enunciamos alguns resultados bastante úteis para o cálculo de limites de sequên- cias.
Proposição 3.1.7 Seja f uma função real, definida em um intervalo da forma [K, +∞[ e su- ponha que exista (^) x→lim+∞ f (x) = L. Se an = f (n), para todo n ∈ N, então
lim an = L
(figura copiada da página 695 do livro Calculus: early transcendentals, de James Stewart, 4a. ed.)
Demonstração. Exercício.
Exemplo 3.1.13 Um exemplo importante, cujo resultado será útil mais adiante, é a sequência dada por an = √nn. Vamos provar que seu limite é 1. Solução. Uma maneira de provar é por meio da proposição 3.1.7, calculando o limite, para x → +∞ da função f (x) = x 1 x^ , x > 1 , e é deixada como exercício. Vamos mostrar uma maneira direta de provar que o limite da sequência é 1. Inicialmente notamos que a 2 = √ 2 , a 3 = √^33 ,... , √nn,... são todos números maiores do que 1. (Por quê?) Logo, podemos escrever √nn = 1 + hn, para algum hn > 0. Assim, n = (1 + hn)n^ = 1 + nhn + n(n^2 − 1)h^2 n + · · · + hnn > n(n^2 − 1)h^2 n
já que todos os termos são positivos. Portanto n− 2 1 h^2 n < 1 , ou, equivalentemente, h^2 n < (^) n−^21 , que tende a 0 quando n cresce. Assim, dado ε > 0 , existe, pela propriedade Arquimediana, n 0 ∈ N tal que n 0 > (^) ε^22 + 1. Se n > n 0 , teremos:
| √nn − 1 | = |hn| <
( (^2) n − 1
) (^12) <
( (^2) n 0 − 1
) (^12) < ε
Definição 3.1.14 Dizemos que uma sequência (an)n é crescente, se a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ · · · , isto é, se an ≤ an+1, para todo n ≥ 1. Ela é dita decrescente se an ≥ an+1, para todo n ≥ 1. Se uma sequência for ou crescente ou decrescente, diremos que ela é monótona.
Exemplos 3.1.15 (a) A sequência
( (^1) 2 n + 5
) n
é decrescente pois, como 2 n + 5 < 2(n + 1) + 5, temos 1 2 n + 5 >^
1 2(n + 1) + 5 ,^ para todo^ n^ ∈^ N (b) A sequência dada por an = 2 + (−1)
n n não é monótona. De fato, os primeiros termos dessa sequência são 2 − 1 , 2 + 12 , 2 − 13 , 2 + 14 , ... De um modo geral, se n é ímpar, temos an = 2 − (^1) n < 2 + (^) n+1^1 = an+1; se n é par, temos an = 2 + (^1) n > 2 − (^) n+1^1 = an+1.
A seguir apresentamos um dos principais resultados deste capítulo. A ideia da demonstração é simples. Tente não se intimidar com os ε’s e apreciar a ideia bacana.
Teorema 3.1.16 Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração. Faremos a demonstração supondo a sequência crescente e limitada superiormente. A demonstração do caso de sequência decrescente e limitada inferiormente é análoga e fica como exercício. Por hipótese, a 1 ≤ a 2 ≤ · · · an ≤ · · · e existe uma constante M tal que an ≤ M , para todo n. Seja A = {a 1 , a 2 , · · · , an · · · } o conjunto de todos os valores da sequência. Então A é não vazio e limitado superiormente (por M ). Portanto, pelo axioma do supremo, existe um número real s = sup A. Vamos provar que lim an = s. Seja ε > 0. Pela definição de supremo, an ≤ s para todo n. Além disso, existe um elemento an 0 em A tal que s − ε < an 0 ≤ s (caso contrário, o supremo seria menor do que s − ε). Como a sequência é não-decrescente, para todo n ≥ n 0 vale an 0 ≤ an. Mas an ≤ s. Portanto, para todo n ≥ n 0 , vale s − ε < an ≤ s < s + ε, ou seja, |s − an| < ε.
s − ε
r an 0
r an s s + ε
Exemplo 3.1.17 Considere a sequência
a 1 = 1, an+1 = 3 − (^) a^1 n
Existe lim an? Em caso afirmativo, calcule-o. Solução. Para podermos perceber propriedades que a sequência possa ter, vamos calcular alguns termos:
a 1 = 1 ; a 2 = 3 − 1 = 2 ; a 3 = 3 − 12 =^52 = 2, 5 ; a 4 = 3 − (^15) 2
=^135 = 2, 6 ; a 5 = 3 − 131 5
= 3 − 13 5 =^3413 = 2, 615384 ;... Observando esses números, percebemos que eles estão aumentando, mas cada vez mais devagar. Será a sequência crescente? Será limitada?
- Vamos provar, por indução, que a sequência é crescente, isto é, que an ≤ an+1 para todo n. A desigualdade vale para n = 1 pois a 1 = 1 < 2 = a 2. Suponhamos ak− 1 ≤ ak para algum k. Como os termos da sequência são todos positivos, temos: 1 ak− 1 ≥^
1 ak ⇒ − (^) ak^1 − 1 ≤ − (^) a^1 k ⇒ 3 − (^) ak^1 − 1 ≤ 3 − (^) a^1 k
Exercícios 3.1.18 1. Determine se a sequência (an) dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule seu limite: a) an =^1 −^ n^ + 2n
4 2 + 3n^4 b)^ an^ =^
√n + 5 − √n c) a n =^ sen^1 n d) an = senn n e) an =
√n 3 + √n f)^ an^ =^
n 3 + √n g) an = ne−n^ h) an = arctg n i) an = cos(n^3 ) 2−n j) an = (^) (n n+ 2)!! l) an =^7
n+ 10 n^ m)^ an^ =^
n^2 en
- Se (an)n é uma sequência convergente tal que an ≥ 1 para todo n, mostre que lim an ≥ 1.
- Se (an)n é uma sequência convergente, mostre que lim an = lim an+
- 2 Seja (fn)n a sequência de Fibonacci definida no exemplo 3.1.1. Defina an = fn f+1n. (i) Determine os 10 primeiros termos de (an). (ii) Verifique que an− 1 = 1 + (^) an^1 − 2 para todo n ≥ 3. (iii) Supondo que (an)n seja convergente, calcule seu limite.
- Seja f uma função contínua e seja x um ponto qualquer de seu domínio. Defina a sequência a 1 = x, a 2 = f (x), a 3 = f (a 2 ),... an+1 = f (an). Mostre que se lim an = L então f (L) = L. (Por esse motivo, o número L é chamado ponto fixo de f .)
- Encontre uma aproximação com 5 casas decimais para a solução da equação cos x = x. Sugestão: Use o exercício anterior tomando f (x) = cos x e a = 1.
(^2) Exercício extraído do livro [5]
Referências Bibliográficas
[1] Geraldo Ávila. Análise Matemática para Licenciatura. Edgard Blucher Ltda, 3 edition, 2006.
[2] Djairo Guedes de Figueiredo. Análise I. Livros Técnicos e Científicos S.A., 1975.
[3] Elon Lages Lima. Análise Real. IMPA, CNPq, 1997.
[4] Walter Rudin. Princípios de Análise Matemática. Ed. Ao Livro Técnico S.A., 1971.
[5] James Stewart. Cálculo, volume II. Cengage Learning, 2010.
