Transformada Z e Equações a Diferenças, Notas de estudo de Sinais e Sistemas

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Linearidade em Sinais e Sistemas

Ivanil S. Bonatti

Amauri Lopes

Pedro L. D. Peres

Faculdade de Engenharia El´etrica e de Computac¸˜ao,

Universidade Estadual de Campinas, UNICAMP, Brasil

Fevereiro 2009

“Deve-se escrever da mesma maneira como as lavadeiras l´a de Alagoas

fazem seu of´ıcio. Elas come¸cam com uma primeira lavada, molham a

roupa suja na beira da lagoa ou do riacho, torcem o pano, molham-no

novamente, voltam a torcer. Colocam o anil, ensaboam e torcem uma,

duas vezes. Depois enx´aguam, d˜ao mais uma molhada, agora jogando a

´agua com a m˜ao. Batem o pano na laje ou na pedra limpa, e d˜ao mais

uma torcida e mais outra, torcem at´e n˜ao pingar do pano uma s´o gota.

Somente depois de feito tudo isso ´e que elas dependuram a roupa lavada

na corda ou no varal, para secar. Pois quem se mete a escrever devia

fazer a mesma coisa. A palavra n˜ao foi feita para enfeitar, brilhar como

ouro falso; a palavra foi feita para dizer.”

Graciliano Ramos, em entrevista concedida em 1948

http://www.graciliano.com.br/

• I SISTEMAS DISCRETOS
• 1 Sinais Discretos e Convolu¸c˜ao
  • 1.1 Exerc´ıcios
• 2 Transformada Z
  • 2.1 Exerc´ıcios
• 3 Transformada Z Aplicada a Probabilidade
  • 3.1 Exerc´ıcios
• 4 S´erie de Fourier de Sinais Discretos
  • 4.1 Exerc´ıcios
• 5 Equa¸c˜oes a Diferen¸cas
  • 5.1 Exerc´ıcios
• II SISTEMAS CONT´INUOS
• 6 Sinais Cont´ınuos e Convolu¸c˜ao
  • 6.1 Exerc´ıcios
• 7 Ortogonaliza¸c˜ao
  • 7.1 Exerc´ıcios
• 8 S´erie de Fourier de Sinais Cont´ınuos - 8.0.1 Resumo
  • 8.1 Exerc´ıcios
• 9 Transformada de Fourier de Sinais Cont´ınuos
  • 9.1 Exerc´ıcios
• 10 Amostragem de Sinais Cont´ınuos
  • 10.1 Exerc´ıcios
• 11 Transformada de Laplace
  • 11.1 Exerc´ıcios
• 12 Filtros
  • 12.1 Butterworth
  • 12.2 Chebyshev
  • 12.3 Exerc´ıcios
• 13 Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes Diferenciais por Transformada de Laplace
  • 13.1 Exerc´ıcios
• 14 Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes Diferenciais por Coeficientes a Determinar ii SUM ARIO´
  • 14.1 Exerc´ıcios
• 15 Resposta em Freq¨uˆencia
  • 15.1 Exerc´ıcios
• 16 Vari´aveis de Estado
  • 16.1 Exerc´ıcios
• 17 Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes de Estado
  • 17.1 Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao homogˆenea
    • 17.1.1 Laplace
    • 17.1.2 S´erie de potˆencias — exp(At)
    • 17.1.3 Cayley-Hamilton
    • 17.1.4 Similaridade
  • 17.2 Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao n˜ao homogˆenea
    • 17.2.1 Laplace
    • 17.2.2 Convolu¸c˜ao
    • 17.2.3 Sistema homogˆeneo aumentado
  • 17.3 Exerc´ıcios
• 18 Observabilidade e Controlabilidade SISO
  • 18.1 Observabilidade
  • 18.2 Controlabilidade
  • 18.3 Exerc´ıcios
• 19 Estabilidade
  • 19.1 BIBO estabilidade
  • 19.2 Estabilidade do estado
  • 19.3 Exerc´ıcios
• 20 Introdu¸c˜ao `a Realimenta¸c˜ao
  • 20.1 Configura¸c˜oes t´ıpicas
  • 20.2 Lugar das ra´ızes
    • 20.2.1 Resumo das propriedades do lugar das ra´ızes
  • 20.3 Exerc´ıcios
• III Exerc´ıcios
• IV Apˆendices
• A Nota¸c˜ao
• B Fra¸c˜oes Parciais
• C Vari´aveis Complexas
• D Matrizes
  • D.1 Matrizes quadradas
  • D.2 Exerc´ıcios
• E Polinˆomios
• Bibliografia

Parte I

SISTEMAS DISCRETOS

Note que δ[n + 3] = 1 para n = −3 e δ[n + 3] = 0 para n 6 = −3. Para a ∈ R n˜ao inteiro, δ[a] = 0.

Assim, δ[2n + 3] = 0 para todo n, pois n˜ao existe n ∈ Z tal que 2n + 3 = 0.

Exemplo 1.1: O impulso unit´ario pode ser escrito em termos da diferen¸ca de dois degraus

δ[n] = u[n] − u[n − 1]

e o degrau unit´ario pode ser escrito como uma soma infinita de impulsos

u[n] =

∑^ n

k=−∞

δ[k]

W

Exemplo 1.2: Dado x[n] = δ[n + 2] + δ[n − 2]

tem-se

y[n] = x[2n] = δ[2n + 2] + δ[2n − 2] = δ[n + 1] + δ[n − 1]

Observe que trata-se de uma compress˜ao. W

Exemplo 1.3: O sinal

x[n] = u[n − 1] − u[n] + (2 − n)

u[n − 1] − u[n − 2]

pode ser representado como uma soma de impulsos

x[n] = −δ[n] + δ[n − 1]

A partir de x[n], tem-se

x[n − 1] = −δ[n − 1] + δ[n − 2]

que ´e um deslocamento para a direita.

Note que

x[2n + 1] = −δ[2n + 1] + δ[2n] = δ[n]

W

Sistemas Discretos

S˜ao sistemas cujas entradas e sa´ıdas s˜ao seq¨uˆencias enumer´aveis de escalares reais ou complexos.

Nota¸c˜ao: y[n] = G{x[n]}, sendo x[n] a entrada e y[n] a sa´ıda.

4 Cap´ıtulo 1. Sinais Discretos e Convolu¸c˜ao

Exemplo 1.4 (Filtro passa-alta):

y[n] =

x[n] − x[n − 1] 2

, n ∈ Z

Para x[n] = (−1)n, a sa´ıda ´e y[n] = (−1)n. Para x[n] = 1n, tem-se y[n] = 0. W

Exemplo 1.5 (Filtro passa-baixa):

y[n] =

x[n] + x[n − 1] 2

, n ∈ Z

Para x[n] = (−1)n, a sa´ıda ´e y[n] = 0. Para x[n] = 1n, tem-se y[n] = 1n. W

Exemplo 1.6: A popula¸c˜ao anual de peixes em um lago (em termos percentuais) pode ser descrita de maneira aproximada por

y[n + 1] − ay[n](1 − y[n]) = 0 , 0 ≤ y[0] ≤ 1

sendo a um parˆametro real que representa as condi¸c˜oes ambientais do lago. Observe que um sistema pode ser descrito por uma equa¸c˜ao a diferen¸cas sem envolver explicitamente a entrada x[n]. W

Sistemas Lineares

Um sistema ´e linear se satisfaz o princ´ıpio da superposi¸c˜ao, isto ´e,

G{a 1 x 1 [n] + a 2 x 2 [n]} = a 1 G{x 1 [n]} + a 2 G{x 2 [n]}

Observe que, para sistemas lineares, G{ 0 } = 0. Os exemplos 1.4 e 1.5 s˜ao sistemas lineares e o

Exemplo 1.6 ´e um sistema n˜ao-linear, que pode apresentar comportamento ca´otico para alguns valores

de a.

Defini¸c˜ao 1.4: Invariante no tempo

Um sistema ´e invariante no tempo se um deslocamento da entrada produzir igual deslocamento na

sa´ıda, isto ´e,

y[n − m] = G{x[n − m]}

para qualquer m ∈ Z.

Os exemplos 1.4, 1.5 e 1.6 s˜ao sistemas invariantes no tempo.

Exemplo 1.7: y[n] = sen(x[n])

´e um sistema n˜ao linear, pois

sen(x 1 [n] + x 2 [n]) 6 = sen(x 1 [n]) + sen(x 2 [n])

e ´e invariante no tempo, pois

y 1 [n] = sen(x 1 [n])

x 2 [n] = x 1 [n − k] ⇒ y 2 [n] = sen(x 2 [n]) = sen(x 1 [n − k]) = y 1 [n − k]

W

6 Cap´ıtulo 1. Sinais Discretos e Convolu¸c˜ao

Defini¸c˜ao 1.8: Resposta ao Impulso

Resposta ao impulso ´e a sa´ıda do sistema quando a entrada ´e a fun¸c˜ao impulso e as condi¸c˜oes iniciais

s˜ao nulas (sistema em repouso), isto ´e

h[n] = G{δ[n]}

Exemplo 1.12: A resposta ao impulso do filtro passa-alta do Exemplo 1.4 ´e dada por

h[n] =

δ[n] − δ[n − 1] 2

e a resposta ao impulso do filtro passa-baixa do Exemplo 1.5 ´e dada por

h[n] = δ[n] + δ[n − 1] 2

W

Exemplo 1.13 (Somador):

y[n] =

∑^ n

k=−∞

x[k]

A resposta ao impulso ´e

h[n] =

∑^ n

k=−∞

δ[k] = u[n]

W

Defini¸c˜ao 1.9: Convolu¸c˜ao

Convolu¸c˜ao ´e a opera¸c˜ao

x[n] = x 1 [n] ∗ x 2 [n] =

k=−∞

x 1 [k]x 2 [n − k]

Propriedade 1.1:

Se

x 1 [n] = x 1 [n]u[n] e x 2 [n] = x 2 [n]u[n]

ent˜ao

x 1 [n] ∗ x 2 [n] = u[n]

∑^ n

k=

x 1 [k]x 2 [n − k]

Propriedade 1.2:

O impulso ´e o elemento neutro da convolu¸c˜ao, pois

x[n] =

k=−∞

x[k]δ[n − k]

Propriedade 1.3:

A convolu¸c˜ao ´e comutativa, associativa e distributiva em rela¸c˜ao `a soma, isto ´e

x 1 [n] ∗ x 2 [n] = x 2 [n] ∗ x 1 [n]

x 1 [n] ∗

x 2 [n] ∗ x 3 [n]

x 1 [n] ∗ x 2 [n]

∗ x 3 [n] = x 1 [n] ∗ x 2 [n] ∗ x 3 [n]

x 1 [n] ∗

x 2 [n] + x 3 [n]

= x 1 [n] ∗ x 2 [n] + x 1 [n] ∗ x 3 [n]

Propriedade 1.4:

x[n] ∗ δ[n − m] = x[n − m] , m ∈ Z

pois

∑^ +∞

k=−∞

x[k]δ[n − k − m] = x[n − m]

Teorema 1.1: Resposta ao Impulso de SLIT

A sa´ıda de um sistema linear invariante no tempo ´e a convolu¸c˜ao da resposta ao impulso com a entrada,

isto ´e

y[n] = G{x[n]} = x[n] ∗ h[n] , h[n] = G{δ[n]}

pois

G{x[n]} = G

k=−∞

x[k]δ[n − k]

∑^ +∞

k=−∞

x[k]G

δ[n − k]

∑^ +∞

k=−∞

x[k]h[n − k]

v

Exemplo 1.14: No Exemplo 1.13 (somador), a sa´ıda ´e a convolu¸c˜ao da entrada com o degrau

y[n] =

∑^ n

k=−∞

x[k] = x[n] ∗ u[n]

pois

x[n] ∗ u[n] =

k=−∞

x[k]u[n − k] =

∑^ n

k=−∞

x[k] u[n − k] ︸ ︷︷ ︸ =

k=n+

x[k] u[n − k] ︸ ︷︷ ︸ =

W

Propriedade 1.7:

Sistemas lineares invariantes no tempo s˜ao BIBO est´aveis se e somente se a resposta impulso ´e abso-

lutamente som´avel, isto ´e

∑^ +∞

n=−∞

|h[n]| < +∞ ⇔ BIBO est´avel

Prova:

Suficiˆencia: se

∑^ +∞

n=−∞

|h[n]| < +∞

ent˜ao

|y[n]| ≤

∑^ +∞

k=−∞

|x[n − k]||h[k]| ≤ b

k=−∞

|h[k]| < +∞

Necessidade: considere a entrada limitada

x[n] = sinal(h[−n])

sendo a fun¸c˜ao sinal definida como

sinal(v) =

1 , v > 0

− 1 , v < 0

A sa´ıda y[n], para n = 0, ´e

y[0] =

k=−∞

x[−k]h[k] =

k=−∞

sinal(h[k])h[k] =

∑^ +∞

k=−∞

|h[k]| < +∞

pois a sa´ıda y[n] ´e limitada.

Defini¸c˜ao 1.10: Auto-fun¸c˜ao

Um sinal de entrada ´e denominado auto-fun¸c˜ao de um sistema se a sa´ıda correspondente for igual ao

sinal de entrada multiplicado por uma constante (em geral complexa).

Propriedade 1.8:

O sinal zn, z ∈ C, ´e uma auto-fun¸c˜ao para sistemas lineares discretos invariantes no tempo se a

somat´oria

H(z) =

∑^ +∞

k=−∞

h[k]z−k

for finita, ou seja, se z pertence ao dom´ınio Ωh de H(z), pois

y[n] = zn^ ∗ h[n] =

k=−∞

h[k]zn−k^ = H(z)zn

H(z) ´e denominada transformada Z da resposta ao impulso do sistema, ou fun¸c˜ao de transferˆencia.

A rela¸c˜ao (temporal) entre sa´ıda e entrada em um sistema linear discreto invariante no tempo ´e dada

pelo “ganho complexo” H(z) quando x[n] = zn.

10 Cap´ıtulo 1. Sinais Discretos e Convolu¸c˜ao

Exemplo 1.17: A fun¸c˜ao de transferˆencia H(z) de um sistema linear invariante no tempo y[n] = G{x[n]} descrito por

y[n + 1] = v[n] + x[n] , v[n + 1] = − 2 v[n] − 2 y[n] + 2x[n + 1] − x[n]

´e dada por

(p^2 + 2p + 2)y[n] = (3p + 1)x[n] ⇒ H(z) =

3 z + 1 z^2 + 2z + 2

A sa´ıda for¸cada y[n] do sistema para a entrada

x[n] = 2n^ + (2j)n^ + exp(2jn)

´e dada por

yf [n] = (0.7)2n^ + 1.36 exp(−j 0 .629)(2j)n^ + 2.32 exp(j 0 .542) exp(j 2 n)

W

Defini¸c˜ao 1.11: Resposta em freq¨uˆencia

Se z = exp(jω) (c´ırculo unit´ario) pertence ao dom´ınio da fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema linear

invariante no tempo H(z), a resposta em freq¨uˆencia do sistema ´e o valor de H(z) computado para

z = exp(jω).

A resposta em freq¨uˆencia escreve-se como

M (ω) exp(jφ(ω)) = H(z)

z=exp(jω)

= H

exp(jω)

sendo M (ω) o m´odulo e φ(ω) a fase de H(z)

z=exp(jω)

Em geral, ´e desenhada na forma de m´odulo e fase (diagrama de Bode^1 ) ou na forma polar, para

ω ∈ [−π, +π]. Representa a resposta em regime permanente de sistemas lineares invariantes no tempo

est´aveis para entradas senoidais.

Propriedade 1.9:

Se h[n] ´e real, ent˜ao H

exp(jω)

= H

exp(−jω)

, isto ´e M (ω) ´e uma fun¸c˜ao par e φ(ω) ´e uma

fun¸c˜ao ´ımpar.

Prova:

H

exp(jω)

k=−∞

h[k] exp(jωk) = H

exp(−jω)

H

exp(jω)

= M (ω) exp(jφ(ω)) ⇒ H

exp(jω)

= M (ω) exp(−jφ(ω))

Como

H

exp(−jω)

= M (−ω) exp(jφ(−ω))

ent˜ao M (ω) = M (−ω) (fun¸c˜ao par) e −φ(ω) = φ(−ω) (fun¸c˜ao ´ımpar).

(^1) Hendrik Wade Bode, engenheiro eletricista americano do s´eculo XX.

12 Cap´ıtulo 1. Sinais Discretos e Convolu¸c˜ao

Exemplo 1.19: No Exemplo 1.5 (filtro passa-baixa),

H(z) = (1 + z−^1 ) 2

; H(z)

z=exp(jω)

= exp(−jω/2) cos(ω/2)

implicando em

M (ω) = | cos(ω/2)| ; φ(ω) = −

ω 2

Neste caso, M (ω) decresce quando ω varia de 0 a +π (filtro passa-baixa), como mostrado na Figura 1.3, juntamente com a fase (que tamb´em varia linearmente com a freq¨uˆencia).

−0.2 −4 −2 0 2 4

0

1

−2 −4 −2 0 2 4

−1.

−

−0.

0

1

2

Figura 1.3: M (ω) (m´odulo) e φ(ω) (fase) do filtro passa-baixa do Exemplo 1.19.

W

Exemplo 1.20: Considere o sistema descrito pela equa¸c˜ao a diferen¸cas de primeira ordem

y[n + 1] = ρy[n] + x[n + 1] ⇒ (p − ρ)y[n] = px[n]

sendo p o operador deslocamento em n, ou seja, px[n] = x[n + 1],... , pkx[n] = x[n + k].

Para x[n] = zn, tem-se

(z − ρ)H(z) = z ⇒ H(z) =

z z − ρ

1 − ρz−^1

Supondo-se que z = exp(jω) ∈ Ωh, a resposta em freq¨uˆencia pode ser computada

H(z)

z=exp(jω)

1 − ρ exp(−jω)

Para 0 < ρ, trata-se de um filtro passa-baixa.

W

A equa¸c˜ao a diferen¸cas

D(p)y[n] = N (p)x[n] , D(p) =

∑^ m

k=

αkpk^ ; N (p) =

∑^ ℓ

k=

βkpk

com αm = 1, αk e βk coeficientes constantes e condi¸c˜oes iniciais nulas descreve um sistema linear

invariante no tempo, cuja fun¸c˜ao de transferˆencia ´e

H(z) =

N (z)

D(z)

pois

D(p)H(z)zn^ = N (p)zn^ ⇒ H(z)D(z) = N (z)

Exemplo 1.21: O sistema

y[n + 2] + 2αy[n + 1] + ω^20 y[n] = ω^20 x[n]

pode ser escrito como

D(p)y[n] = N (p)x[n]

com

D(p) = p^2 + 2αp + ω 02 , N (p) = ω^20

que resulta na fun¸c˜ao de transferˆencia

H(z) =

N (z) D(z)

ω^20 z^2 + 2αz + ω^20

W

Propriedade 1.10:

A resposta em regime de um sistema linear invariante no tempo est´avel com fun¸c˜ao de transferˆencia

H(z), com h[n] real e z = exp(jω) ∈ Ωh, para a entrada x[n] = cos(ωn), ´e

y[n] = M (ω) cos(ωn + φ(ω))

e, para a entrada x[n] = sen(ωn), ´e

y[n] = M (ω)sen(ωn + φ(ω))

sendo M (ω) o m´odulo e φ(ω) a fase de H(z)

z=exp(jω)

Prova:

y[n] = G{cos(ωn)} =

G{exp(jωn)} +

G{exp(−jωn)} =

H

exp(jω)

exp(jωn) +

H

exp(−jω)

exp(−jωn) =

M (ω) exp(jωn + jφ(ω)) +

M (ω) exp(−jωn − jφ(ω)) = M (ω) cos(ωn + φ(ω))

1.1. Exerc´ıcios 15

Exerc´ıcio 1.5: Determine e esboce x[n] = x 1 [n] ∗ x 2 [n]

para x 1 [n] = u[n] − u[n − 1] − u[n − 2] + u[n − 3] , x 2 [n] = u[n − 1] − u[n − 2]

Exerc´ıcio 1.6: Classifique os sistemas (y[n] ´e a sa´ıda e x[n] ´e a entrada) quanto `a linearidade e invariˆancia no tempo

a) y[n] = x[n] + x[n − 1] 2 b) y[n] = 2−n(x[n] + x[n − 1])

Exerc´ıcio 1.7: Determine +∑∞

n=−∞

(3n − 1)^2 δ[2n + 3]

Exerc´ıcio 1.8: a) Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia H(z) de um sistema linear invariante no tempo y[n] = G{x[n]} descrito por

y[n + 1] = v[n] + x[n] , v[n + 1] = − 2 v[n] − 2 y[n] + 2x[n + 1] − x[n]

b) Determine a sa´ıda for¸cada y[n] do sistema para a entrada x[n] = 10(2n) − 25(3−n)

Exerc´ıcio 1.9: Determine a sa´ıda y[n] de um sistema linear invariante no tempo cuja resposta ao impulso ´e

G{δ[n]} = δ[n + 1] + u[n] − u[n − 2]

para a entrada x[n] tal que Z{x[n]} = z − z−^1

Exerc´ıcio 1.10: Determine e esboce a convolu¸c˜ao de g[n] = δ[n + 1] − δ[n − 1] com a resposta ao impulso do sistema

y[n] =

∑^ n

k=n− 2

x[k]

Exerc´ıcio 1.11: Considere o sistema y[n] = G{x[n]} descrito pela equa¸c˜ao a diferen¸cas

y[n + 1] −

y[n] =

x[n + 1] −

x[n − 1]

a) Determine H(z)

H(z) =

k=−∞

h[k]z−k^ , h[n] = G{δ[n]}

b) Determine o m´odulo e a fase em z = exp(jπ/5) de H(z). c) Determine a sa´ıda y[n] em regime para

x[n] = 3sen(3n) +

cos(πn/3)

Exerc´ıcio 1.12: Determine e esboce a convolu¸c˜ao de

g[n] = u[n + 1] − u[n − 2]

com a resposta ao impulso do sistema definido por

y[n] =

k=−∞

x[k]h[n − k] , h[n] = u[n] − u[n − 2]

Exerc´ıcio 1.13: Classifique os sistemas (y[n] ´e a sa´ıda e x[n] ´e a entrada) quanto a: linear ou n˜ao-linear e variante no tempo ou invariante no tempo

a) y[n] =

∑^ n

k=n− 1

2 −^1 x[k] b) y[n] =

∑^ n

k=n− 1

2 −kx[k]

c) Esboce a convolu¸c˜ao de g[n] = δ[n] − δ[n − 1] com a resposta ao impulso do sistema definido no item (a).

16 Cap´ıtulo 1. Sinais Discretos e Convolu¸c˜ao

Exerc´ıcio 1.14: Determine a sa´ıda y[n] de um sistema linear invariante no tempo cuja resposta ao impulso ´e G{δ[n]} = 2δ[n] − δ[n − 1] − δ[n + 1] para a entrada x[n] tal que Z{x[n]} = z − z−^1 , z ∈ C − { 0 }.

Exerc´ıcio 1.15: a) Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia H(z) do sistema linear invariante no tempo y[n] = G{x[n]} descrito por y[n + 1] = v[n] + x[n] ; v[n + 1] = − 2 v[n] − 2 y[n] + 2x[n + 1] − x[n] b) Determine a sa´ıda for¸cada y[n] do sistema para a entrada x[n] = 10(2n) − 25(3−n) c) Esboce o m´odulo M (ω) de H(z = exp(jω)) para ω entre −π e +π, sendo H(z) a transformada Z da resposta ao impulso do sistema discreto descrito por

y[n] =

x[n + 1] − 2 x[n] + x[n − 1] 4

d) Determine o m´odulo M (ω) de H(z = exp(jω)) para ω = π/2, sendo H(z) a transformada Z da resposta ao impulso do sistema discreto descrito por y[n + 2] − 4 y[n + 1] + 4y[n] = x[n]

Exerc´ıcio 1.16: Considere o sistema discreto descrito por

y[n] =

x[n] −

x[n − 1]

a) Determine y[n] para x[n] = 1 e para x[n] = (−1)n b) Esboce o m´odulo de H(z)

z=exp(jω) para^ ω^ entre^ −π^ e +π, sendo^ H(z) a transformada Z da resposta ao impulso do sistema.

Exerc´ıcio 1.17: Considere x[n] e y[n] dados por x[n] = δ[n + 1] − δ[n] + u[n − 1] − u[n − 2] , y[n] = x[4 − 2 n]. Escreva y[n] na forma de soma de impulsos e impulsos deslocados, isto ´e, determine ak, bk tais que

y[n] =

k

akδ[n − bk] , bk ∈ Z , ak ∈ R

Exerc´ıcio 1.18: a) Determine y[n] = x 1 [n] ∗ x 2 [n], para x 1 [n] = u[n + 2] − u[n] , x 2 [n] = −δ[n + 1] + δ[n − 2] e escreva y[n] na forma de soma de impulsos e impulsos deslocados, isto ´e, determine ak, bk tais que

y[n] =

k

akδ[n − bk] , bk ∈ Z , ak ∈ R

b) Determine a express˜ao e esboce x[n]∗y[n] para x[n] = δ[n+1]+2(u[n−1]−u[n−3]) e y[n] = δ[n+1]− 2 δ[n−1] c) Determine e esboce x 1 [n] ∗ x 2 [n] para x 1 [n] = δ[n] + δ[n − 1] + δ[n + 1] e x 2 [n] = δ[n + 1] − δ[n − 1].

Exerc´ıcio 1.19: Considere o sistema descrito por

y[n] =

k=−∞

x[k] exp(−n − k)u[n − k]

a) O sistema ´e causal? b) O sistema ´e BIBO est´avel? Dica: calcule a resposta ao impulso do sistema.

Exerc´ıcio 1.20: Considere o sistema descrito por y[n] = x[n] ∗ (α(n−1)u[n − 1]) , |α| < 1 a) O sistema ´e linear? b) O sistema ´e invariante no tempo? c) O sistema ´e causal? d) O sistema ´e BIBO est´avel?

Exerc´ıcio 1.21: a) Determine e esboce o m´odulo de H(z) para o sistema descrito pela equa¸c˜ao a diferen¸cas

y[n] =

x[n + 1] −

x[n − 1]

sendo x[n] = zn^ e y[n] = H(z)zn, para z = exp(jω), com ω entre −π e +π. b) Determine e esboce a fase de H(z) c) Determine y[n] para x[n] = sen(2n) + cos(3n)

Exerc´ıcio 1.22: a) Determine H(z) para o sistema y[n] = G{x[n]} descrito pela equa¸c˜ao a diferen¸cas y[n + 1] − αy[n] = x[n + 2] − x[n − 2] , |α| < 1 b) Determine o m´odulo e a fase em z = exp(jπ/5) de H(z) para o sistema y[n] = G{x[n]} descrito pela equa¸c˜ao a diferen¸cas y[n + 1] − 0. 5 y[n] = x[n + 2] − x[n − 2] c) Determine a sa´ıda y[n] em regime do sistema do item (b) para x[n] = 30sen(2n) + 13 cos(πn/2)