Transformada Z e sua Aplicação em Sinais e Sistemas Discretos, Exercícios de Sistemas de Controle Avançados

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INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA Z Wilson Arnaldo Artuzi Junior Ricardo Rodrigo Wolf Cruz CURITIBA 2010

Sumário

• 1 - Introdução.......................................................................................................................................
  • 1.1 - Definição:................................................................................................................................
    • a) Domínio do tempo discreto n..................................................................................................
    • b) Domínio z...............................................................................................................................
    • c) Par transformado.....................................................................................................................
    • d) Transformada Direta...............................................................................................................
    • e) Transformada Inversa..............................................................................................................
• 2 - Região de Convergência da Transformada Z..................................................................................
  • 2.1 - Propriedades da ROC..............................................................................................................
• 3 - Propriedades da Transformada Z....................................................................................................
  • 3.1 - Linearidade..............................................................................................................................
  • 3.2 - Deslocamento..........................................................................................................................
  • 3.3 - Produto por exponencial........................................................................................................
  • 3.4 - Reversão................................................................................................................................
  • 3.5 - Convolução............................................................................................................................
• 4 - Transformação Bilinear.................................................................................................................
  • 4.1 - Transformada de Laplace e Transformada Z.........................................................................
    • a) Transformada de Laplace......................................................................................................
    • b) Transformada Z.....................................................................................................................
    • c) Comparação..........................................................................................................................
  • 4.2 - Transformação bilinear..........................................................................................................
• Bibliografia.........................................................................................................................................

b) Domínio z. G(z) é uma função real da variável complexa. A variável z não tem significado físico e é contínua (ao contrário da variável n que é discreta). O plano complexo Z é ilustrado na Figura 1.2. c) Par transformado. A relação g[n] ↔ G(z) é unívoca, desde que considerada sua Região de Convergência (ROC). d) Transformada Direta. G z = (^) ∑ n=−∞ ∞ g [n] z −n ( 1 ) e) Transformada Inversa. g [n ]=

2  j ∮ c G  z  z n− 1  dz (^) ( 2 ) Na qual “c” é um contorno fechado no sentido anti-horário ao redor da origem do plano complexo z, como exemplificado na Figura 1.3. Exemplo 1 (resolvido): Calcule a transformada Z direta do degrau unitário discreto, mostrado na Figura 1.4: Figura 1.2: Plano complexo Z com exemplo de um valor possível da variável z em azul. Figura 1.3: Exemplo de caminho fechado possível para a integral da Transformada Z inversa.

Partindo da Equação 1: Fórmula da soma dos termos de uma PG: ∑ k =m n r k = r n 1 −r m r − 1 ;r ≠ 1 ( 3 ) Usando r = 1/z; m = 0 e n = ∞: Logo: G(z) possui um pólo em z = 1 (valor que anula o denominador), a Região de Convergência (região do plano complexo Z para a qual |G(z)|<∞) fica sendo |z|>1, como mostra a FIGURA. Figura 1.4: Função degrau unitário discreto, correspondente à g[n]=0 para n<0 e g[n]=1 para n≥0. G z= (^) ∑ n=−∞ ∞ u [n ] z −n = (^) ∑ n=−∞ ∞ 0.z − n  (^) ∑ n=−∞ ∞ 1.z −n G z=∑ n= 0 ∞ z −n = 1 

z

z

2 ^

z

g  z=  1 / z  ∞ − 1 1 / z − 1

∞ , se∣z∣ 1 ; − 1 1 / z− 1

z z− 1 , se∣z∣1.

g  z=

z

z − 1

;∣z∣ 1

∑ n=−∞ ∞ ∣g [n ] z −n ∣∞ ( 4 ) Os pontos no plano complexo Z que satisfazem a condição acima definem a região de convergência (ROC – Region of Convergence). 2.1 Propriedades da ROC a. A ROC é sempre uma região conexa (uma única superfície) na forma de disco ou anel com centro na origem do plano complexo Z, como nos exemplos da Figura 2.1. b. A ROC não contém os pólos de G(z) e é delimitada por estes. Pólos são os valores da variável z que anulam o denominador da função G(z) quando ela é expressa na forma racional (divisão de polinômios da variável z). c. ROC de uma sequência finita: Uma sequência é dita finita quando satisfaz a seguinte condição: g [n ]= 0 para n N 1 e nN (^2) ( 5 ) Sendo N 1 e N 2 valores inteiros menores que infinito, como exemplificado na Figura 2.2. Figura 2.1: Tipos possíveis para a Região de Convergência (ROC). Figura 2.2: Exemplo de sequência finita com N 1 =-1 e N 2 =1.

A ROC de uma sequência finita é todo o plano complexo, mas exclui |z|=∞, se N 1 <0, e |z| =0, se N 2 >0. d. ROC de uma sequência à direita: Uma sequência é dita à direita quando satisfaz a condição: g [n ]= 0 para n N (^1) ( 6 ) A ROC de uma sequência à direita é o exterior de uma circunferência e exclui |z|=∞, se N 1 <0. Um exemplo de sequência à direita é apresentado na Figura 2.3. e. ROC de uma sequência à esquerda: Uma sequência é dita à esquerda quando satisfaz a condição: g [n ]= 0 para n N (^2) ( 7 ) A ROC de uma sequência à esquerda é o interior de uma circunferência e exclui |z|=0, se N 2 >0. Uma sequência à esquerda é ilustrada na Figura 2.4. Figura 2.3: Exemplo de sequência à direita com N 1 =0. A função mostrada é g[n]=2-nu[n].

Não existe ROC para sequências periódicas, logo não é possível calcular sua Transformada Z. Exemplo 3 : Calcule a Transformada Z direta da sequência g[n] = -anu[-(n+1)]. Resposta:

3 Propriedades da Transformada Z.

3.1 Linearidade a.g [n]b.h[ n]⇔ a.G z b.H  z (^) ( 8 ) A ROC passa a ser a ROC de G(z) ∩ ROC de H(z), exceto quando há cancelamento de pólos. 3.2 Deslocamento g [n−k ] ⇔ z −k G z  (^9 ) A ROC é a ROC de G(z), mas com possibilidade de alterações em |z| = 0 e |z| = ∞. Exemplo 4 (resolvido): Sabendo que obtenha a Transformada Z do sinal g[n] apresentado na Figura 3.1. Figura 2.6: Exemplo de sequência periódica. Neste caso é mostrada a função g[n]=(-1)n. g  z= z z −a ;∣z∣a u [n]⇔ z z− 1 ;∣z∣ 1

Este sinal pode ser representado pela soma entre um degrau unitário deslocado de 1 unidade para a esquerda (Figura 3.2) e outro, com sinal negativo, deslocado de 2 unidades para a direita (Figura 3.3), ou seja, g[n] = u[n+1] – u[n-2]. Figura 3.1: g[n]=1, se |n|≤1; g[n]=0, se |n|>1. Figura 3.2: Degrau unitário deslocado de uma unidade para esquerda (k = -1).

a n g [n ]⇔G  z /a (^10 ) Para ROC de |z/a|. Exemplo 5 (resolvido): Sabendo que obtenha a transformada Z de anu[n]. 3.4 Reversão Para ROC de 1/|z|. Exemplo 6 (resolvido): Sabendo que obtenha a transformada Z de u[-n]. 3.5 Convolução Para ROC de G(z) ∩ ROC de H(z). u [n]⇔ z z− 1 ;∣z∣ 1

a

n

u [n]⇔

 z / a 

 z / a− 1

z

z−a

;∣ z / a∣ 1 ou∣z∣a

g [−n] ⇔G  1 / z 

u [n]⇔ z z− 1 ;∣z∣ 1 u [−n]⇔  1 / z   1 / z − 1

1 −z ;∣ 1 / z ∣ 1 ou∣z∣ 1 ∑ m=−∞ ∞

g [n−m]h [m]=g [n ]∗h[n ]

g [n ]∗h[n ]⇔G  z  H  z 

Exemplo 7 :Sabendo que calcule a Transformada Z de -anu[-(n+1)] (mesmo do exemplo 3) usando as propriedades da Transformada Z. Resposta:

4 Transformação Bilinear

A transformação bilinear faz a mudança da variável da frequência complexa s (analógica) para a variável z (usada em sistemas digitais) de forma a permitir que um circuito elétrico analógico seja processado numericamente em computadores e em processadores digitais de sinais (DSPs). 4.1 Transformada de Laplace e Transformada Z a) Transformada de Laplace b) Transformada Z c) Comparação 4.2 Transformação bilinear A relação s = (1/∆t).ln(z) faz o mapeamento exato da variável s para a variável z, porém é de pouca utilidade prática. Porém, utilizando a relação z = (1+x)/(1-x), o logaritmo pode ser expandido usando a seguinte série de Taylor: u [n]⇔ z z− 1 ;∣z∣ 1 g  z= z z −a ;∣z∣a G s =∫ 0 ∞ g t e −st dt≈∑ n= 0 ∞ g n  t e −sn t  t G  z =∑ n= 0 ∞ g [n] z −n

G s =G z ⇒

g n  t  t= g [n] ;

e

s t

= z.

3. Domínio da variável z: s=

 t z − 1 z  1

4. Domínio do tempo discreto n: ou, considerando: Lembrando que i[n] e v[n] = 0 para n <0. Pode-se representar esta resposta pelo diagrama apresentado na Figura 4.2.

V  s −

[

R

Cs ]

I  s= 0

V  z −

[

R

C

 t

z 1

z− 1 ]^

I  z = 0

z V  z−V  z −



R

 t

2C 

z I  z 



R−

 t

2C 

I  z = 0

z k V  z ⇔ v [nk ] z k I  z ⇔i[ nk ]

v [n 1 ]−v [n]−



R

 t

2C 

i [n 1 ]



R−

 t

2C 

i [n ]= 0

i[n 1 ]=

R^

 t

2C 

 v [n 1 ]−v [n]



R−

 t

2C  R

 t

2C 

i [n]

a 1 =



RC−

 t

2  

RC

 t

2 

a 2 =

C



RC

 t

2 

i[n 1 ]=a 2 v [n 1 ]−v [n]a 1 i[n]

V s ⇔V  z  I s ⇔ I  z 

Exemplo 9 : Encontre uma fórmula recursiva da corrente em função da tensão para o equivalente digital do circuito RL mostrado na , considerando nulas as condições iniciais. Resposta: Figura 4.2: Diagrama recursivo representando a corrente em função da tensão no tempo discreto para um circuito RC. Figura 4.3: Circuito RL no tempo discreto.

i[n 1 ]=

 t / 2R

 t / 2  L/ R

v [n 1 ]v [n]−

 t / 2 − L/ R

 t / 2  L/ R

i [n]