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Cap´ıtulo 7
A transformada Z
7.1. Introdu¸c˜ao
A transformada Z para sinais de tempo discreto funciona de forma parecida `a transformada de Laplace para sinais cont´ınuos. Na verdade, a transformada Z para sinais discretos ´e uma generaliza¸c˜ao da transfor- mada discreta de Fourier para sinais discretos.
Deve-se observar que para certos tipos de sinais discretos n˜ao existe a transformada discreta de Fourier, mas pode existir a transformada Z desse sinal discreto. Outra vantagem da transformada Z ´e que a forma matem´atica da transformada Z pode ser mais facilmente representada de forma compacta ou anal´ıtica quando comparado com a transformada discreta de Fourier.
7.2. Defini¸c˜ao da transformada Z
A transformada Z de um sinal de tempo discreto x[n] ´e definida da seguinte forma:
X(z) =
∑^ ∞
n=−∞
x[n]z−n^ (7.1)
em que z ´e uma vari´avel complexa.
De forma alternativa podemos considerar a transformada Z como um operador que transforma uma fun¸c˜ao discreta, isto ´e, um sinal discreto x[n] em uma fun¸c˜ao cont´ınua X(z), mas onde z ´e uma vari´avel complexa cont´ınua. A transformada Z definida em (7.1) ´e chamada de transformada Z bilateral e esse tipo de transformada Z ´e o ´unico que analisamos neste trabalho.
Observa¸c˜oes: As seguintes observa¸c˜oes s˜ao muito importantes:
- Existe uma rela¸c˜ao muito estreita entre a transformada discreta de Fourier e a transformada Z de um sinal discreto x[n]. Sabemos que a transformada discreta de Fourier X(ejΩ) do sinal discreto x[n] assume a seguinte forma:
X(ejΩ) =
∑^ ∞
n=−∞
x[n]e−jΩn^ (7.2)
- Existem sinais discretos x[n] para os quais n˜ao existe a transformada Z. Entretanto, para alguns desses sinais podem ser definidos um tipo de “transformadas de Fourier especiais”. Obviamente, esse tipo de rela¸c˜ao n˜ao pode ser encontrado como um caso particular de z de tal forma que |z| = 1.
- A utilidade da transformada Z pode ser significativa se for poss´ıvel representar X(z) de forma compacta e particularmente quando assume a seguinte forma:
X(z) =
P (z) Q(z)
em que P (z) e Q(z) s˜ao polinˆomios em z. Os valores de z para os quais X(z) = 0 s˜ao chamados de zeros de X(z) e os valores de z para os quais X(z) → ∞ s˜ao chamados de polos de X(z).
Exemplo 1: Encontrar a transformada Z do sinal discreto x[n] = anu[n].
Usando a rela¸c˜ao (7.1) temos o seguinte:
X(z) =
∑^ ∞ n=−∞
x[n] z−n^ =
∑^ ∞
n=
an^ z−n^ =
∑^ ∞
n=
(a z−^1 )n
X(z) = 1 + (a z−^1 ) + (a z−^1 )^2 +... + (a z−^1 )n^ +... (7.7)
A rela¸c˜ao anterior ´e uma s´erie geom´etrica e sabemos que essa s´erie geom´etrica converge se a raz˜ao satisfaz a seguinte rela¸c˜ao:
|r| < 1 =⇒ |a z−^1 | < 1 =⇒
∣∣ ∣∣^ a z
∣∣ ∣∣ < 1 =⇒ |z| > |a|
Dentro da regi˜ao de convergˆencia, X(z) converge, como toda s´erie geom´etrica, para a seguinte soma:
S =
a 1 − r
X(z) =
1 − a z−^1
z z − a para |z| > |a| (7.8)
Obviamente, a rela¸c˜ao (7.8) tamb´em pode ser obtida da rela¸c˜ao (7.7), multiplicando ambos lados da equa¸c˜ao por a−^1 z e arranjando os termos da equa¸c˜ao. Portanto, pode-se concluir de que existe a transformada Z para qualquer sinal do tipo x[n] = anu[n] com valor finito de |a|. A Figura 3 mostra o dom´ınio da transformada Z. Assim, pode-se verificar que a transformada Z tem um zero em z = 0 e um polo em z = a.
Observa¸c˜oes: As seguintes observa¸c˜oes s˜ao muito importantes:
- Quando a = 1 o sinal x[n] = u[n] e a rela¸c˜ao (7.8) assume a seguinte forma:
X(z) =
1 − z−^1
para |z| > 1 (7.9)
e, portanto, existe transformada Z da fun¸c˜ao degrau unit´ario x[n] = u[n].
N 2 < ∞, ent˜ao geralmente a regi˜ao de convergˆencia est´a representado para todo valor de z (exceto para z = 0 ou para z = ∞).
Propriedade 5: Se o sinal discreto x[n] ´e diferente de zero apenas no intervalo finito n ≤ N 1 < ∞, ent˜ao a
regi˜ao de convergˆencia se estende para fora do polo finito de maior m´odulo de X(z) e pode chegar a z = ∞.
Propriedade 6: Se o sinal discreto x[n] ´e diferente de zero apenas no intervalo −∞ < N 2 < n, ent˜ao a
regi˜ao de convergˆencia se estende para dentro do polo finito de menor m´odulo de X(z), isto ´e, o polo mais interno de X(z) sendo que pode chegar at´e z = 0.
Propriedade 7: Se o sinal discreto x[n] ´e bilateral (−∞ < n < ∞), isto ´e, de dura¸c˜ao infinita, ent˜ao a
regi˜ao de convergˆencia ´e um anel no plano z, limitado por dentro e por fora por um polo e, logicamente, n˜ao deve conter polos.
Propriedade 8: A regi˜ao de convergˆencia ´e uma regi˜ao conexa.
7.4. A transformada Z inversa
Ao usar a transformada Z, da mesma forma como acontece na transformada discreta de Fourier, ao resolver um sistema linear de tempo discreto geralmente usamos como dado de entrada um sinal discreto x[n] e precisamos de uma sa´ıda ou resposta denominada y[n]. Portanto, precisamos frequentemente encontrar a transformada Z para analisar o sistema e encontrar a resposta Y (z) e, posteriormente, encontrar a resposta final y[n] aplicando a transformada Z inversa de Y (z).
Existem v´arios m´etodos para encontrar a transformada Z inversa incluindo o m´etodo mais formal que consiste em usar o Teorema da Integral de Cauchy. Essa metodologia est´a fora do escopo da disciplina. Assim, nesta disciplina introdut´oria da transformada Z, usamos trˆes m´etodos muito pr´aticos.
7.4.1. A transformada Z inversa usando tabelas
Neste caso usamos apenas os resultados dispon´ıveis em tabelas. Essas tabelas geralmente s˜ao montadas encontrando a transformada Z dos sinais mais conhecidos.
7.4.2. A transformada Z inversa usando decomposi¸c˜ao em fra¸c˜oes parciais simples
Neste caso separamos a rela¸c˜ao X(z) em fra¸c˜oes parciais usando a mesma estrat´egia usada na decom- posi¸c˜ao em fra¸c˜oes parciais usada no Cap´ıtulo 1, na transformada de Fourier e em geral nas s´eries infinitas.
Deve-se observar que neste caso a vari´avel principal de an´alise ´e z−^1 (n˜ao ´e z) e que as vezes o grau do polinˆomio do numerador pode ser igual ou superior ao grau do polinˆomio do denominador de X(z). Nesse caso, previamente, deve-se realizar uma divis˜ao para obter uma fra¸c˜ao alg´ebrica pr´opria (grau do polinˆomio de denominador maior que o grau do polinˆomio do numerador). Logicamente, essa estrat´egia ´e aplic´avel quando X(z) ´e representado na forma racional, isto ´e, X(z) = P Q^ ((zz)). Depois de realizar a separa¸c˜ao em fra¸c˜oes parciais, deve-se terminar o processo de resolu¸c˜ao usando tabelas.
Exemplo 6: Encontre o sinal x[n] cuja transformada Z assume a seguinte forma:
x[n] =
1 n = − 2
− 12 n = − 1
− 1 n = 0
1 2 n^ = 1
0 para outros valores de n
Uma forma alternativa de representar esse sinal x[n] ´e a seguinte:
x[n] = δ[n + 2] −
δ[n + 1] − δ[n] +
δ[n − 1]
Observa¸c˜ao: Neste exemplo n˜ao foi indicado o dom´ınio da transformada X(z) e, portanto, entende-se que esse dom´ınio est´a representado por todo valor de z.
Exemplo 9: Encontrando a s´erie de potˆencia (o sinal x[n]) por divis˜ao de polinˆomios.
Encontrar a transformada Z inversa da seguinte rela¸c˜ao matem´atica:
X(z) =
1 − a z−^1 para |z| > |a|
Na rela¸c˜ao anterior, a divis˜ao de numerador e denominador gera a seguinte rela¸c˜ao:
X(z) = 1 + a z−^1 + a^2 z−^2 +... + an^ z−n^ +... para |z| > |a|
Adicionalmente, a informa¸c˜ao de que |z| > |a| indica que a regi˜ao de convergˆencia ´e externa a uma circunferˆencia e, portanto, ´e limitada pela esquerda (tem valor igual a zero at´e um valor de n) e representa o degrau. Assim, x[n] assume a seguinte forma:
x[n] = an^ u[n]
