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1aLista de Exerc´ıcios
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ALGEBRA LINEAR - GAN 04061
1. Se A, B ∈Mn(R) e se A.B =B.A, prove que:
a)(A−B)2=A2−2A.B +B2b)(A−B)·(A+B) = A2−B2
c)(A−B)·(A2=A.B +B2) = A3−B3
2. Determinar uma matriz A∈M2(R) tal que A6= 0 e A2=A.A = 0.
3. Mostre que as matrizes 1 1/y
y1onde y ´e um n´umero real N˜
AO nulo, verificam a
equa¸c˜ao X2= 2X.
4. Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz
a1 0
0a1
0 0 a
onde a ´e um n´umero real.
5. Calcule
Det
2 0 −1
3 0 2
4−3 7
6. Verifique se ´e verdadeira ou falsa.
(a) Det(A·B) = Det(B·A) (b)Det(At) = Det(A)
(c)Det(2 ·A) = 2 ·Det(A) (d)Det(A2) = (Det(A))2.
7. Que pode dizer sobre o n´umero de solu¸c˜oes dos sistemas abaixo ?
(i)
5x1+2x2−3x3+9x4= 0
−3x2+9x3(−1/3)x4= 0
−2x3+x4= 0
x4= 1
(ii)
3x5+2x4x1= 0
−x3+x2−x1= 5
−9x3−x2+9x1= 5
−3x2+x1= 0
x1= 0
8. Encontre A−1, onde
(a) A=
4−1 2 −2
3−1 0 0
2310
0711
(b)A=
0−i−2i
1−1i1
0−1 1 −i
1 1 1 0
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