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3aLista de Exerc´ıcios
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ALGEBRA LINEAR - GAN 04061
1. Considere o subespa¸co de R4, S = [(1,1,−2,4),(1,1,−1,2),(1,4,−4,8)]
a) O vetor (2/3, 1, -1, 2) pertence a S ?
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S ?
2. Sejam W1={(x, y, z, t)∈R4;x+y= 0, z −t= 0}e
W2={(x, y, z, t)∈R4;x−y−z+t= 0}.
i) Determine W1∩W2.
ii) Determine geradores para os subespa¸cos W1, W2eW1∩W2.
3. Determine W1∩W2onde W1= a b
c d ∈M2×2(R) ; a=d, b =ce
W2= a b
c d ∈M2×2(R) ; a=c, b =ds˜ao subespa¸cos de M2×2(R). Determine
conjuntos de geradores para W1, W2eW1∩W2.
4. Determine a interse¸c˜ao W1∩W2dos subespa¸cos W1eW2de P3(R) onde
W1= [t3+ 1, t2+ 1, t3+t2+t+ 1] e W2= [t3+t2+ 1, t3−t, 2t2+t+ 1] .
5. Mostre atr´aves de um exemplo que a reuni˜ao de dois subespa¸cos de um mesmo espa¸co
vetorial V nem sempre ´e um subespa¸co de V.
6. Determine W1+W2onde W1={(x, y)∈R2;x=y}eW2={(x, y)∈R2;x=−y}
s˜ao subespa¸cos de R2.
7. Determine W1+W2onde W1={(x, y, z)∈R3;x+y−z= 0}e
W2={(x, y, z)∈R3;x=y}s˜ao subespa¸cos de R3.Escrever (se poss´ıvel) o vetor
(2, 4, -6) como a soma de um vetor de W1com um vetor de W2.
8. Determine um conjunto de geradores par U∩Wonde U= [(1,0,0),(1,1,1)] e
W= [(0,1,0),(0,0,1)] s˜ao subespa¸cos de R3.
9. Dados U={a0+a1t+a2t2;a0+a1= 0}eW={a0+a1t+a2t2;a0= 0}
subespa¸cos de P2(R), determine U∩WeU+W.
10. Sejam U, V e W os seguintes subespa¸cos de R3:U={(x, y, z)∈R3;x=z},
V={(x, y, z)∈R3;x=y= 0}eW={(x, y , z)∈R3;x+y+z= 0}.Verifique que
U+V=R3, U +W=R3, V +W=R3.Em algum dos casos a interse¸c˜ao dos dois
subespa¸cos ´e {0R3}?
11. Sejam U= [(1,0,0)] e W= [(1,1,0),(0,1,1)] subespa¸cos de R3. Mostre que
R3=U⊕W.
12. (a) Dado o subespa¸co V1={(x, y, z)∈R3;x+ 2y+z= 0}ache um subespa¸co V2tal
que R3=V1⊕V2.
(b) Dˆe exemplos de dois subespa¸cos de dimens˜ao dois de R3tais que V1+V2=R3. A
soma ´e direta ?
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