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2aLista de Exerc´ıcios
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ALGEBRA LINEAR - GAN 04061
1. Dˆe exemplo
a) de uma matriz A∈M2×2(R) tal que A2=−I
b) de uma matriz B∈M2×2(R) tal que B2= 0(matriz zero)
c) de matrizes C, D ∈M2×2(R) tais que C.D =−D.C
d) de matrizes E, F ∈M2×2(R) tais que E.F = 0,sendo que nemhum dos coeficientes
de E e F s˜ao zeros.
2. Seja V={(x, y); x, y ∈R}. Determine em cada caso, se V ´e espa¸co vetorial. Em caso
negativo, indique que condi¸c˜ao n˜ao verifica.
a) (x1, x2)⊗(y1, y2) = (x1+y1, x2−y2), α ∗(x, y) = (αx, αy)
b) (x1, x2)4(y1, y2) = (x1, x2+y2), α ◦(x, y) = (αx, αy)
c) (x1, x2)(y1, y2) = (x1−y1, x2+y2), α •(x, y) = (αx, 0)
3. Seja V={f: [0,1] →R}com as opera¸c˜oes usuais de fun¸c˜oes. Verifique se V ´e espa¸co
vetorial.
a) As f tais que f(0) = f(1).
c) As f tais que f(1) = 1 −f(0).
b) As f tais que 2f(0) = −f(1).
d) As f tais que f(1) = f(1/2) + 5f(0).
4. Seja V={(x, y, z ); x, y, z ∈R}. A condi¸c˜ao dada def´ıne um subconjunto S de V,
verifique se S ´e subespa¸co vetorial de V.
a)x= 0
d)x+y= 0
g)y= 2x, z = 3x
b)x=y
e)x=you y=z
h)x+y= 1
c)x=y=z
f)x2−y2= 0
i)x=y+z= 0, x −y−z= 0
5. Seja V=Pn(R)(polinˆomios de grau n), S ´eum subconjunto que satisfaz a condi¸c˜ao
dada. Verifique se S ´e subespa¸co vetorial de V.
a)f(0) = 0
d)f(0) = f(2)
b)f0(0) = 0
e)f(0) + 2f0(0) = 0
c)f(0) = f(1)
f)f(1) −f0(0) = 1
6. Verifique se os subconjuntos dados s˜ao subespa¸cos de M2×2(R). Em caso afirmativo,
exiba os geradores.
(a) S= a b
c d a, b, c, d ∈R, b =c
(b) S= a b
c d a, b, c, d ∈R, d =a+c
Prof. Ricardo - 05/04/2007
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