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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO
Fundação Instituída nos termos da Lei 5.152 de 21/10/1966 - São Luís - MA
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Departamento de Matemática
[DEMA0151] Equações Diferenciais Ordinárias – 1ª Lista de Exercícios 1 prof. Cleber Cavalcanti
- Determine o comportamento de y quando x → ∞. Se esse comportamento depender da condição inicial y em x = 0, descreva esta dependência.
i) y′^ = y (4 − y) ii) y′^ = y (y − 2)^2 iii) y′^ = y^2
iv) y′^ = −2 + x − y v) y′^ = − 2 x 2 +y y vi) y′^ = 3 sen (x) + 1 + y
- Considere a equação diferencial dy dx =^ −ay^ +^ b na qual a e b são números reais positivos.
i) Resolva a equação diferencial. ii) Esboce um gráfico da solução para diversos dados iniciais, escolhendo-os convenientemente. iii) Descreva a mudança das soluções sob cada uma das condições: a) a aumenta, e b constante; b) b aumenta, e a constante; c) Tanto a quanto b aumentam, mas a razão ab permanece a mesma.
- A população p = p (t) de ratos em um certo campo, medida em dias, satisfaz a equação diferencial
dp dt =^
1 2 p^ −^450.
i) Se p (0) = 850, encontre o tempo a partir do qual a população estará extinta. ii) Encontre o tempo de extinção se p (0) = p 0 , com 0 < p 0 < 900. iii) Encontre a população inicial p 0 sabendo-se que a população estará extinta em 1 ano. iv) O que acontece se p (0) = p 0 ≥ 900?
(^1) Não há qualquer garantia de que a avaliação seja composta de questões oriundas dessa lista de exercícios.
- A velocidade v = v (t) de certo objeto em queda livre satisfaz ao problema de valor inicial
∣∣ ∣∣ ∣∣
dv dt =^ g^ −^
1 5 v v (0) = 0,
no qual g denota a aceleração da gravidade (faça g igual a 9 , 8 m/s^2 ).
i) Encontre o tempo gasto para o objeto alcançar 98% de sua velocidade limite. ii) Qual a distância percorrida por esse objeto no instante encontrado em i)?
- De acordo com a Lei de Newton do resfriamento, a temperatura u (t) de um objeto satisfaz a equação diferencial dudt = −k (u − T ) ,
na qual T é uma temperatura ambiente constante e k é uma constante positiva. Suponha que a temperatura inicial do objeto seja u (0) = u 0.
i ) Encontre a temperatura do objeto em um instante t > 0 qualquer. ii) Seja τ o tempo no qual a diferença inicial de temperatura u 0 − T tenha reduzido-se pela metade. Encontre a relação entre k e τ.
- Considere um circuito elétrico contendo um capacitor com capacitância C constante conhecida, um resistor com resistência R constante conhecida, e uma fonte cuja tensão V = V (t) varia de maneira conhecida, ligados em série. A carga Q = Q (t) do capacitor satisfaz a equação diferencial
R dQdt + (^) C^1 Q = V (t).
i) Se V for constante e Q = Q (0), encontre Q = Q (t) e esboce o seu gráfico. ii) Se V for constante, encontre o valor limite Q L do que Q = Q (t) aproxima-se depois de um longo tempo. iii) Suponha que Q (t 1 ) = Q L e nesse instante, remova a bateria fechando o circuito. Determine Q = Q (t) para t > t 1 e esboce o seu gráfico. iv) Se V é dada por V (t) = Vmax sen (ωt) e Q (0) = 0, encontre Q = Q (t) e esboce seu gráfico.
- Mostre que se a e λ são constantes positivas, e b um número real qualquer, então toda solução de
y′^ + ay = be− λx
tem a propriedade (^) x lim→∞ y (x) = 0 ( Sugestão: Considere os casos a = λ e a ̸= λ separadamente ).
- A lei de Newton do resfriamento estabelece que a temperatura de um objeto muda com uma taxa pro- porcional à diferença entre sua tempertura e a temperatura do ambiente. Suponha que a temperatura de um copo de café obedeça à lei de Newton do resfriamento. Se o café tem uma temperatura de 200 ◦F imediatamente após servido, e 1 minuto depois esfriou para 190 ◦F em uma sala a 70 ◦F, determine quando o café atingirá a temperatura de 150 ◦F.
- Transferência de calor de um corpo para o seu ambiente por radiação, baseado na lei de Stefan- Boltzmann, é descrita pela equação diferencial
du dt =^ −α^
u^4 − T 4
na qual u (t) é a temperatura absoluta do corpo no tempo t, T é a temperatura absoluta do ambiente, e α é uma constante que depende de parâmetros físicos do corpo. Entretanto, se u é muito maior do que T , então as soluções de (†) são bem aproximadas pelas soluções da equação mais simples
du dt =^ −αu
Suponha que um corpo com temperatura inicial 2. 000 ◦K está em um ambiente com 300 ◦K e que α = 2 · 10 −^12 ◦K−^3 /s.
i) Determine a temperatura do corpo para qualquer instante de tempo t resolvendo a equação (‡). ii) Esboce um gráfico de u por t. iii) Encontre o tempo τ no qual u (τ ) = 600, ou seja, duas vezes a temperatura ambiente. Até esse instante o erro causado pelo uso de (†) não é maior que 1%.
- Considere uma caixa coberta (um edifício talvez) com temperatura interna u (t). De acordo com a lei de Newton do resfriamento, u (t) satisfaz a equação diferencial
du dt =^ −k^ [u^ (t)^ −^ T^ (t)]^ ,^ (⋆) na qual T (t) é a temperatura ambiente (externa). Suponha que T (t) varie senoidalmente, por exemplo, considere T (t) = T 0 + T 1 cos (ωt).
i) Resolva a equação (⋆) e expresse u (t) em termos de t, k, T 0 , T 1 e ω. Observe que parte de sua solução aproxima-se de zero quando t torna-se grande; esse termo é denominado parte transiente. O restante da solução é chamado de estado estável ; denota-se por S (t). ii) Suponha que t seja medido em horas e que ω = π/ 12 , correspondendo a um período de 24 horas para T (t). Em seguida, seja T 0 = 60◦F, T 1 = 15◦F, e k = 0, 2 /h. Desenhe no mesmo eixo gráficos de T (t) e S (t) por t. Também estime a diferença de tempo τ correspondente entre o máximo de T (t) e S (t).
- Um corpo de massa constante m é projetado verticalmente para cima com velocidade inicial v 0 em um meio oferecendo uma resistência k |v|. Despreze mudanças na força gravitacional.
i ) Encontre a altura máxima x m alcançada pelo corpo e o tempo t m no qual a altura máxima é alcançada. ii) Mostre que se kv mg^0 < 1 , então t m e x m podem ser expressos como
t m = v g^0
[
1 − 12 kv mg^0 +^13
( (^) kv 0 mg
]
x m = v 02 2 g
[
1 − 23 kv mg^0 +^12
( (^) kv 0 mg
]
iii) Encontre a velocidade v (t) do corpo para cada instante t. iv) Use a parte iii) para calcular o limite de v (t) quando k → 0 +, ou seja, quando a resistência tende a zero. Este resultado está de acordo com a velocidade de uma massa m projetada para cima com velocidade inicial v 0 no vácuo? v) Use a parte iii) para calcular o limite de v (t) quando m → 0 +, ou seja, a massa tende a zero.
- Um dos mais famosos problemas da história da matemática é a braquistócrona: encontrar uma curva ao longo da qual uma partícula irá deslizar sem fricção em um tempo mínimo do ponto P a ou- tro ponto Q, sendo o segundo ponto mais baixo do que o primeiro, mas não na mesma linha vertical. Este problema foi proposto por Johann Bernoulli em 1696 como um desafio aos matemáticos da época.
“Datis in plano verticali punctis P et Q , assignare mobili M viam P M Q , per quam gravitate sua descends, et moveri incipiens a puncto P , brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum Q .”
Soluções corretas foram encontradas por Johann Bernoulli e seu irmão Jakob Bernoulli, por Isaac Newton, Gottfried Leibniz, e pelo Marquês de L’Hopital. O problema da braquistócrona é importante no desenvolvimento da Matemática como um dos precursores do Cálculo das Variações. Na solução desse problema é conveniente tomar a origem como sendo o ponto superior P e orientar os eixos como na figura abaixo. O ponto mais baixo Q tem coordenadas (x 0 , y 0 ). Então é possível mostrar que a
- Mostre que as equações abaixo não são exatas mas podem vir a tornar-se exatas após multiplicadas pelo fator integrante indicado. Resolva-as
i)
( (^) cos y + 2e− x (^) cos x y
y′^ +
( (^) sen y y −^2 e
− x (^) sen x
= 0, μ (x, y) = ye x
ii) x
1 + y^2
y′^ −
x^2 y^3
= 0, μ (x, y) = (^) xy^13
iii) (2x − ye y^ ) y′^ + y = 0, x > 0 , y > 0 , μ (x, y) = y
iv) x cos (y) y′^ + (x + 2) sen y = 0, μ (x, y) = xe x.
- Solucione a equação diferencial (^) ( x^2 + xy
y′^ +
3 xy + y^2
usando o fator integrante μ (x, y) = (^) xy (2^1 x + y). Verifique que a solução é a mesma daquela obtida em sala de aula usando um fator integrante diferente.
- Usando o método desenvolvido em sala de aula, resolva as equações do tipo Bernoulli abaixo.
i) x^2 y′^ + 2xy − y^3 = 0, x > 0. ii) y′^ = ry − ky^2 , r > 0 , k > 0. iii) y′^ = ϵ − σy^3 , ϵ > 0 , σ > 0. iv) y′^ = (Γ cos t + T ) y − y^3 , Γ e T são constantes.
- A propagação de uma única ação em uma grande população (por exemplo, motoristas furando o sinal vermelho ao pôr do Sol) de pende frequentemente em parte das circunstâncias externas (cair da noite) e em parte da tendência de imitar outra pessoa que já realizou a ação em questão. Neste caso, a proporção y (t) de pessoas que realizaram a ação pode ser descrita pela equação
dy dt = (1^ −^ y) [x^ (t) +^ by]^ , na qual x (t) mede o estímulo externo no tempo t e b é o coeficiente de imitação.
i) Observe que a equação acima é do tipo Riccati, e que y 1 (t) = 1 é uma solução particular. Usando a transformação mostrada em sala de aula, encontre a equação linear satisfeita por v = v (t). ii) Encontre v = v (t) no caso em que x (t) = at, na qual a é uma constante. Deixe sua resposta sob a forma de uma integral.
- Em um trabalho de Daniel Bernoulli de 1760 , seu objetivo era avaliar a eficácia de um controverso método de vacinação contra a varíola, que em seu tempo era a maior ameaça à saúde pública. Seu modelo é igualmente bem aplicado a qualquer doença que, uma vez contraída e tenha sobrevivido, confere um tempo de vida à imunidade. Considere o grupo de indivíduos nascidos em um dado ano (t = 0), e seja n (t) o número de indivíduos que sobreviveram t anos depois. Seja x (t) o número de membros desse grupo que não tiveram varíola até o ano t, e que estão dessa maneira ainda susceptíveis. Sejam β a taxa com que indivíduos susceptíveis a contrair varíola e ν a taxa de indivíduos que contraem varíola e morrem dessa doença. Finalmente seja μ (t) a taxa de mortes com outras causas (todas as causas exceto varíola). Então dxdt , a taxa na qual o número de indivíduos susceptíveis diminui, é dada por dx dt =^ −βx^ −^ μ^ (t)^ x^ ;^ (⊚) no segundo membro, o primeiro termo é a taxa com que indivíduos susceptíveis contraem varíola, enquanto o segundo termo é a taxa com a qual esses indivíduos morrem de outras causas. Também,
dn dt =^ −νβ x^ −^ μ^ (t)^ n,^ (⊚⊚) na qual dndt é a taxa de morte no grupo todo, o primeiro termo do segundo membro é a taxa de mortes devida à varíola, e o segundo termo do segundo membro a taxa de mortes devida à outras causas.
i) Seja z = xn e mostre que z satisfaz ao problema de valor inicial ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
dz dt =^ −βz^ (1^ −^ νz) z (0) = 1.
Observe que o problema de valor inicial (⊚ ⊚ ⊚) não depende de μ (t). ii) Encontre z = z (t) resolvendo o problema (⊚ ⊚ ⊚). iii) Bernoulli estimou ν = β = 18. Usando esses valores, determine a proporção de indivíduos com 20 anos de idade que não tiveram varíola.^2
(^2) Baseado no modelo acima descrito, e usando os melhores dados de mortalidade disponíveis na época, Bernoulli calculou que se as mortes por varíola pudessem ser eliminadas ( ν = 0), então aproximadamente três anos poderiam ser adicionados à expectativa de vida média (em 1760 ) de 26 anos e 7 meses. Ele portanto apoiou o programa de vacinação.
