Exercícios de Economia Quantitativa I - Álgebra Linear e Noções de Otimização - Prof. Dori, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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S´erie de Exerc´ıcios de Economia Quantitativa I

Prof. Daniel Oliveira Cajueiro

Departamento de Economia (UnB)

March 17, 2019

Contents

Part I

Algebra Linear´

1 Vetores

1 - Seja S o subespa¸co de R^3 caracterizado pela equa¸c˜ao 2x + 3y + 6z = 0. Construa dois vetores n˜ao nulos de S que sejam mutuamente ortogonais.

Solu¸c˜ao: http://prorum.com/index.php/

2 - Sejam u, v, w ∈ Rn. Se o vetor u ´e ortogonal ao vetor v e o vetor v ´e ortogonal ao vetor w ent˜ao isso implica que u ´e ortogonal a w?

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3 - Seja v um vetor ortogonal a cada um dos vetores v 1 e v 2. Use as propriedades de produto interno para mostrar que v ´e ortogonal a c 1 v 1 + c 2 v 2.

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4 - Prove que a norma no Rn^ satisfaz a seguinte propriedade, conhecida como desigualdade triangular: ‖ u + v ‖≤‖ u ‖ + ‖ v ‖.

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5 - Sejam u e v vetores ortogonais do <n. Ent˜ao o teorema de Pit´agoras ´e v´alido, isto ´e, ||u + v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2?

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6 - Sejam u e v dois vetores. Como provar que ||u + v||^2 + ||u − v||^2 = 2(||u||^2 + ||v||^2 )?

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http://prorum.com/index.php/

7 - Mostre que AA′^ ´e uma matriz sim´etrica.

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8 - Calcule a n-´esima potˆencia de A, sabendo que A ´e idempotente.

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9 - O produto de duas matrizes ortogonais ´e uma matriz ortogonal? Uma matriz quadrada se diz ortogonal se ´e invers´ıvel e A−^1 = A′.

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10 - Se A ´e uma matriz normal (real) de ordem n e v ∈ <n, ent˜ao ||Av|| = ||A′v||? [Uma matriz quadrada (real) ´e dita ser normal se A′A = AA′.]

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11 - Duas matrizes A e B s˜ao ditas simultaneamente diagonaliz´aveis se existe uma matriz M tal que M AM −^1 e M BM −^1 s˜ao ambas matrizes diagonais. Logo, se duas matrizes A e B s˜ao simultaneamente diagonaliz´aveis, ent˜ao AB = BA?

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12 - Sejam A e B duas matrizes quadradas tais que A+B = AB. Ent˜ao, podemos afirmar que A e B comutam?

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13 - Suponha que a serie de matrizes S = I + A + A^2 + A^3 + · · · convirja. Mostre que

S = (I − A)−^1 , quando a inversa de (I − A) existir.

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14 - Seja A uma matriz de ordem n idempotente (isto ´e, A^2 = A). Logo, pode-se dizer que se A ´e invers´ıvel, ent˜ao A = I?

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15 - Existe alguma matriz invers´ıvel A tal que A = 0 (matriz nula)? Justifique.

Solu¸c˜ao: http://prorum.com/?qa=4017/existe-alguma-matriz-inversivel-tal-matriz-nula-justifique

αx 1 + βx 2 + (β + 3)x 3 = 2β − 1

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6 - Considere o sistema linear Ax = b, onde A ´e uma matriz de ordem 3 dada por

A =

Marque a alternativa FALSA: (a) Se b ´e o vetor nulo, ent˜ao o sistema tem infinita solu¸c˜oes. (b) Existe b tal que o sistema n˜ao tem nenhuma solu¸c˜ao. (c) Existe b tal que o sistema tem solu¸c˜ao ´unica. (d) Existe b n˜ao-nulo tal que o sistema possui solu¸c˜ao. (e) A matriz A N AO ´˜ e linha equivalente a matriz identidade.

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7. Considere o sistema linear Ax = b e a matriz A de ordem 3 × 3 dada por

A =

Marque a alternativa FALSA: (a) Se b ´e o vetor nulo, ent˜ao o sistema possui infinitas solu¸c˜oes. (b) Seja b = (b 1 , b 2 , b 3 )′. Apenas os sistemas lineares que possuem vetores b cujas coorde- nadas satisfazem b 3 = b 1 + b 2 possuem solu¸c˜ao. (c) As linhas de A formam um conjunto de vetores linearmente dependentes. (d) A matriz A ´e o produto de matrizes elementares. (e) A forma reduzida escalonada de A possui uma linha nula. (f) O posto de A ´e 2.

Solu¸c˜ao:

• I Algebra Linear´
  • 1 Vetores
  • 2 Matrizes
  • 3 Sistemas lineares
  • 4 Determinantes
  • 5 Espa¸cos vetoriais
  • 6 Transforma¸c˜oes lineares
  • 7 Autovalores e autovetores
• II No¸c˜oes de Otimiza¸c˜ao
  • 8 Topologia dos reais
  • 9 C´alculo e fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis
  • 10 No¸c˜oes de an´alise convexa
  • 11 Otimiza¸c˜ao
  • 12 Otimiza¸c˜ao sem restri¸c˜oes
  • 13 Otimiza¸c˜ao com restri¸c˜oes de igualdade
  • 14 Otimiza¸c˜ao com restri¸c˜oes de desigualdade
• http://prorum.com/index.php/

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8 - Seja A = [aij ] uma matriz de ordem 5 × 5 tal que todos os elementos da terceira linha dessa matriz valem 3. Seja B = [aij + 2], isto ´e, B foi criado a partir de A somando duas unidades a cada elemento de A. Quanto vale α tal que det(B) = α ∗ det(A)?

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9 - Quanto vale o determinante de uma matriz ortogonal?

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10 - Uma matriz de permuta¸c˜ao ´e uma matriz obtida a partir da permuta¸c˜ao de linhas ou colunas da matriz identidade. Considere que a matriz A seja uma matriz de permuta¸c˜ao de ordem n. Ent˜ao, a) O produto de matrizes de permuta¸c˜ao ´e uma matriz de permuta¸c˜ao. b) O determinante de A pode ser positivo ou negativo. c) Para todo v ∈ <n, ent˜ao ||v|| = ||Av||. d) Sejam S = {v ∈ <n| ∑ni=1 vi = 1} e T : <n^ → <n^ dada por T (v) = Av deixa o conjunto S invariante, isto ´e, T (S) ⊆ S. e) A matriz de permuta¸c˜ao A ´e uma matriz ortogonal, isto ´e, AA′^ = I

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11 - Sejam A =

a 1 d b 1 e c 1 f

,^ B^ =

a 1 d b 2 e c 3 f

 e^ C^ =

a 1 d b − 1 e c − 3 f

.^ Sabendo que

det(A) = −5 e det(B) = −3, quanto vale det(C)?

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12 - Seja A = [aij ] uma matriz de ordem n constru´ıda da seguinte forma:

aij =^2 n − δij ,

onde δij = 1 quando i = j e δij = 0 em caso contr´ario.

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13 - Calcule o determinante An dessa sequencia:

A 1 = [1]

A 2 =

 1 −^1

A 3 =

A 4 =

^.

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14 - Seja

A =

a b c 16 1 0 0 5 1 1 0 e 0 1 1 f

^.

Sabendo que determinante de A vale 84. Quanto vale se substituirmos o 16 acima por 100?

Solu¸c˜ao:

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18 - Suponha que B ´e invers´ıvel. Ent˜ao det(I − AB) = det(I − BA).

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19 - Quanto vale o determinante de (B − BAB) sabendo que A =

 e^ B^ ´e uma

matriz idempotente n˜ao-singular. OBS: Uma matriz ´e idempotente se A^2 = A.

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20 - Sejam D =

d 0 0 0 2 0 0 0 3

 e^ P^ =

.^ Sabe-se que^ A^ =^ P^ −^1 DP^ e que

det(A^2 + A) = 1440. Quando vale d?

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5 Espa¸cos vetoriais

1 - Em um espa¸co euclidiano, isto ´e, em um espa¸co vetorial real dotado de produto interno, dois vetores n˜ao nulos e ortogonais s˜ao linearmente independentes? O contr´ario tamb´em ´e v´alido?

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2 - Considere o de todas as matrizes de ordem 2 que satisfazem o sistema AX = 0 para

X =

. Verifique se esse conjunto ´e um subespa¸co vetorial. Em caso positivo,

calcule uma base para esse subespa¸co.

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3 - O subespa¸co vetorial de polinˆomios P (x) com grau menor ou igual a 3 que zera em x = 1 possui dimens˜ao 3?

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4 - Considere o conjunto das matrizes Mmn com elementos em <. a) Mostre que esse conjunto ´e um espa¸co vetorial em rela¸c˜ao as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de matrizes e multiplica¸c˜ao por escalar. b) Mostre que as matrizes

E 1 =

 , E 2 =

 , E 3 =

 , E 4 =

s˜ao uma base para o espa¸co M 22. Qual ´e a dimens˜ao desse espa¸co vetorial? Escreva a matriz (^) 

 1 2 3 4

como uma combina¸c˜ao linear dos vetores geradores da base acima.

b) Calcule uma base para S ∩ T? c) Calcule a dimens˜ao de S ∩ T.

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8 - Suponha que {v 1 , · · · , vn} ´e uma base para o espa¸co vetorial V que possui dimens˜ao finita maior ou igual a 3. Ent˜ao, {v 1 + v 2 , v 2 + v 3 , · · · , vn− 1 + vn, vn + v 1 } ´e tamb´em uma base para V?

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9 - Existem vetores v e w linearmente independentes tais que v e (v + w) s˜ao linearmente dependentes?

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10 - Seja A = BC onde B ´e uma matriz de ordem m × r e C ´e uma matriz de ordem r ×n. Ent˜ao a i-´esima linha A ´e uma combina¸c˜ao linear das r linhas de C com coeficientes dados pela i-´esima linha de B. Esse resultado implica que as r linhas de C formam uma base para o espa¸co gerado pelas m linhas de A.

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11 - Seja V o conjunto de matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz

A =

Pergunta-se: a) V ´e um subespa¸co de M 22? Se (a) for verdadeiro: b) Apresente uma base para esse subespa¸co. c) Qual a dimens˜ao desse subespa¸co?

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12 - Os vetores (v 1 , v 2 − v 1 , · · · , vn − v 1 ) serem LI, implica que (v 1 , v 2 , · · · , vn) s˜ao LI?

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13 - Eu sei que todo conjunto-solu¸c˜ao de sistema homogˆeneo ´e subespa¸co vetorial. A rec´ıproca ´e v´alida?

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14 - Considere os conjuntos V = {(x, x, y)|x, y ∈ R} e U = {(x, x, x)|x ∈ R}. (a) Mostre que V ´e subespa¸co do R^3. (b) Mostre que U ´e subespa¸co do V. (c) A uni˜ao destes subespa¸cos U ∪ V ´e um subespa¸co do R^3? (d) Determine um subespa¸co W do R^3 tal que sua uni˜ao com V n˜ao seja um subespa¸co do R^3.

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15. Seja V o espa¸co vetorial de matrizes de ordem n e W o subespa¸co vetorial de V formado apenas por matrizes sim´etricas. Marque a alternativa FALSA: (a) A dimens˜ao de W ´e n(n + 1)/2. (b) Se A, B ∈ W e AB = BA ent˜ao AB ∈ W. (c) Se A, B, AB ∈ W ent˜ao AB = BA. (d) Seja A ∈ V ent˜ao AA′^ ∈ W.

(e) Se n = 2 ent˜ao uma base para W ´e

(f) Suponha que A ∈ W e det(AA′) = 1, ent˜ao det(A) = 1.

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16. ( ) Considere as afirmativas abaixo e diga se elas s˜ao verdadeiras ou falsas. Todos os