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Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Universidade Federal de Goiás (UFG)Geometria Analítica e Álgebra Linear

Este documento aborda conceitos fundamentais de álgebra linear e otimização, incluindo espaços vetoriais, transformações lineares, matrizes, autovalores e autovetores, decomposição de matrizes, sistemas de equações lineares, e otimização não linear. Além disso, são apresentadas aplicações práticas e exemplos ilustrativos.

Tipologia: Exercícios

2020

Compartilhado em 15/08/2020

ruth-neves-3
ruth-neves-3 🇧🇷

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bg1
EA932 – Prof. Fernando J. Von Zuben
DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 1
−
Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização
1
Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização
Índice Geral
1 Escalar
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3
2Vetor
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3Matriz
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4 Conjuntos e operações com conjuntos
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6
4.1 Conjuntos especiais de números reais
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5 Espaço Vetorial Linear
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5.1 Axiomas
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5.2 Propriedades adicionais
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5.3 Exemplos
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5.4 Produto cartesiano
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5.5 Subespaço vetorial linear
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5.6 Conjuntos convexos
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13
5.7 Combinação linear e combinação convexa
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14
5.8 Dependência linear e dimensão de um espaço vetorial
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5.9 Produto externo
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5.10 Produto interno
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5.11 Norma, semi-norma e quase-norma
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18
5.12 Ângulo entre dois vetores
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5.13 Ortogonalidade e ortonormalidade entre dois vetores
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21
5.14 Espaços ortogonais
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5.15 Projeção de um vetor em uma determinada direção
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22
5.16 Vetores ortonormais gerados a partir de vetores linearmente independentes
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6 Transformações e funcionais
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EA932 – Prof. Fernando J. Von Zuben
DCA/FEEC/Unicamp
Tópico 1
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Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização
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6.1 Transformações lineares
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25
6.2 Operadores lineares
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6.3 Posto de uma matriz
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6.4 Matrizes idempotentes
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6.5 Definições adicionais para matrizes
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6.6 Matrizes singulares e não-singulares
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6.7 Autovalores e autovetores
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31
6.8 Formas Quadráticas
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32
6.8.1 Cálculo diferencial aplicado a formas quadráticas
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6.8.2 Normas ponderadas e a medida de distância de Mahalanobis
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6.9 Matrizes simétricas: positividade e autovalores
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35
6.10 A inversa de uma matriz
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6.11 O lema de inversão de matrizes
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6.12 A pseudo-inversa de uma matriz
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40
6.12.1 Exemplos de pseudo-inversas
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41
6.12.2 Uso de pseudo-inversão para a solução de sistemas lineares
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42
6.13 Operadores de projeção ortogonal
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6.13.1 Um exemplo de operador simétrico e idempotente
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44
6.14 Decomposição em valores singulares
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46
6.15 Transformações contínuas
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6.16 Funcional
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6.17 Funcional convexo
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51
6.18 Funcional convexo diferenciável
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53
7 Mínimos Locais
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54
8 Expansão em Série de Taylor
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9 Condição Necessária de Otimalidade
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56
10 Condição Suficiente de Otimalidade
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11 Referências bibliográficas
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Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização

23 Vetor .............................................................................................................................................................................................................3Matriz ............................................................................................................................................................................................................

  • Tópico 1 − Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização
  • 1 Escalar ........................................................................................................................................................................................................... Índice Geral
  • 23 Vetor .............................................................................................................................................................................................................3Matriz ............................................................................................................................................................................................................
  • 4 Conjuntos e operações com conjuntos ..........................................................................................................................................................64.1 Conjuntos especiais de números reais.................................................................................................................................................
  • 5 Espaço Vetorial Linear..................................................................................................................................................................................95.1 Axiomas ..............................................................................................................................................................................................
    • 5.25.3 Propriedades adicionais ....................................................................................................................................................................10Exemplos...........................................................................................................................................................................................
    • 5.4 Produto cartesiano.............................................................................................................................................................................
    • 5.55.6 Subespaço vetorial linear ..................................................................................................................................................................12Conjuntos convexos ..........................................................................................................................................................................
    • 5.75.8 Combinação linear e combinação convexa .......................................................................................................................................14Dependência linear e dimensão de um espaço vetorial.....................................................................................................................
    • 5.95.10 Produto interno..................................................................................................................................................................................17 Produto externo .................................................................................................................................................................................
    • 5.11 Norma, semi-norma e quase-norma ..................................................................................................................................................185.12 Ângulo entre dois vetores .................................................................................................................................................................
    • 5.13 Ortogonalidade e ortonormalidade entre dois vetores ......................................................................................................................215.14 Espaços ortogonais............................................................................................................................................................................
    • 5.15 Projeção de um vetor em uma determinada direção .........................................................................................................................225.16 Vetores ortonormais gerados a partir de vetores linearmente independentes...................................................................................
  • 6 Transformações e funcionais.......................................................................................................................................................................
    • 6.1 Transformações lineares ................................................................................................................................................................... EA932 – Prof. Fernando J. Von ZubenDCA/FEEC/Unicamp
    • 6.26.3 Operadores lineares...........................................................................................................................................................................26Posto de uma matriz ..........................................................................................................................................................................
    • 6.46.5 Matrizes idempotentes ......................................................................................................................................................................28Definições adicionais para matrizes..................................................................................................................................................
    • 6.66.7 Matrizes singulares e não-singulares ................................................................................................................................................31Autovalores e autovetores.................................................................................................................................................................
    • 6.8 6.8.1Formas Quadráticas...........................................................................................................................................................................32 Cálculo diferencial aplicado a formas quadráticas.................................................................................................................
    • 6.9 6.8.2Matrizes simétricas: positividade e autovalores ...............................................................................................................................35 Normas ponderadas e a medida de distância de Mahalanobis ...............................................................................................
    • 6.10 A inversa de uma matriz....................................................................................................................................................................396.11 O lema de inversão de matrizes ........................................................................................................................................................
    • 6.12 A pseudo-inversa de uma matriz.......................................................................................................................................................406.12.1 Exemplos de pseudo-inversas.................................................................................................................................................
    • 6.13 Operadores de projeção ortogonal ....................................................................................................................................................436.12.2 Uso de pseudo-inversão para a solução de sistemas lineares.................................................................................................
    • 6.14 Decomposição em valores singulares ...............................................................................................................................................466.13.1 Um exemplo de operador simétrico e idempotente................................................................................................................
    • 6.15 Transformações contínuas.................................................................................................................................................................506.16 Funcional...........................................................................................................................................................................................
    • 6.17 Funcional convexo ............................................................................................................................................................................516.18 Funcional convexo diferenciável ......................................................................................................................................................
  • 78 Mínimos Locais...........................................................................................................................................................................................54Expansão em Série de Taylor......................................................................................................................................................................
  • 9 Condição Necessária de Otimalidade..........................................................................................................................................................
  • 10 Condição Suficiente de Otimalidade...........................................................................................................................................................5711 Referências bibliográficas ...........................................................................................................................................................................

Tópico 1 − Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização (^) 3

1 Escalar

  • uma variável que assume valores no eixo dos números reais é denominada escalar. Os escalares são descritos por letras minúsculas do alfabeto romano expressas em itálico, ou do alfabeto grego. O conjunto de todos os escalares reais é representado por ℜ ou ℜ^1.
  • o módulo de um escalar real x é dado na forma: 

se 0

se 0 x x x x x

2 Vetor

  • um arranjo ordenado de n escalares x (^) i ∈ ℜ ( i =1,2,..., n ) é denominado vetor de dimensão (^) n. Os vetores são descritos por letras minúsculas do alfabeto romano expressas em negrito, e assumem a forma de vetores-coluna ou vetores-linha. Neste estudo, todos os vetores são representados por vetores-coluna, na forma:

EA932 – Prof. Fernando J. Von ZubenDCA/FEEC/Unicamp

x n

x

x



2

1 x ou x =[ x 1 x 2  x n ] T.

  • o conjunto de todos os vetores de dimensão n com elementos reais é representado por ℜ n. Diz-se então que x ∈ ℜ n.
  • um escalar é um vetor de dimensão 1.
  • vetor (^0) n : é o vetor nulo de dimensão n , com todos os elementos iguais a zero. O subscrito n é suprimido quando não há margem à dúvida.
  • vetor (^1) n : é o vetor de dimensão n com todos os elementos iguais a 1.
  • vetor e i : é o vetor normal unitário de dimensão n (a dimensão deve ser indicada pelo contexto) com todos os elementos iguais a 0, exceto o i -ésimo elemento que é igual a 1. Neste caso, 1 ≤ i ≤ n.

Tópico 1 − Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização (^) 7

x ∈ X : x pertence a X x ∉ X : x não pertence a X

  • um conjunto pode ser especificado listando-se seus elementos entre colchetes

X ={ x 1 , x 2 ,..., x n } ou evidenciando uma ou mais propriedades comuns aos seus elementos X 2 = { x ∈ X 1 tal que P( x ) é verdade} ou X 2 = { x ∈ X 1 : P( x )}

  • as principais operações entre conjuntos são:

‰ União: X (^) 1 ∪ X 2 ={ x : x ∈ X 1 ou x ∈ X 2 }; ‰ Interseção: X (^) 1 ∩ X 2 ={ x : x ∈ X 1 e x ∈ X 2 };

  • X^ 1 ∩ X 2 =∅ (conjunto vazio) se X 1 e X 2 são conjuntos disjuntos.
  • o complemento de um conjunto X é representado por X e é definido na forma:

X = { x : x ∉ X }.

EA932 – Prof. Fernando J. Von ZubenDCA/FEEC/Unicamp

  • S é um subconjunto de X , se x ∈ S implica x ∈ X. Neste caso, diz-se que S está contido em (^) X ( S ⊂ X ) ou que (^) X contém (^) S ( X ⊃ S ). Se (^) S ⊂ X e (^) S não é igual a (^) X , então S é um subconjunto próprio de X.

4.1 Conjuntos especiais de números reais

  • se a e b são números reais ( a , b ∈ ℜ), define-se:

[ ] { } ( ] { } [ ) { } ( a b ) { x a x b }

ab x a x b

ab x a x b

ab x a x b

  • se X é um conjunto de números reais, então o menor limitante superior de X , dado por x = (^) xXx = { x x ∈ X } ∈

sup sup : , é o supremo de X , e o maior limitante inferior de X , dado por

Tópico 1 − Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização (^) 9

x = (^) x inf∈ X x =inf { x : x ∈ X }, é o ínfimo de (^) X. Se (^) x = +∞ então (^) X não é limitado superiormente. De forma análoga, se x = −∞ então X não é limitado inferiormente.

5 Espaço Vetorial Linear

  • um espaço vetorial X , associado a um campo F , consiste de um conjunto de elementos (vetores) sobre os quais estão definidas 2 operações: 1. Adição ( X × X → X ): ( x + y ) ∈ X , ∀ x , y ∈ X ; 2. Multiplicação por escalar ( F × X → X ): (α⋅ x ) ∈ X , ∀ x ∈ X e α ∈ F.

5.1 Axiomas

  • x + y = y + x (propriedade comutativa)
  • (^) (( ) )(( )^ ) (propriedadeassociativa) 

α⋅β⋅ = α⋅β ⋅

x x

x y z x y z

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  • (^) ( ( )^ ) (propriedadedistributiva) 

α+β ⋅ =α⋅ +β⋅

α⋅ + =α⋅ +α⋅ x x x

x y x y

  • x^ +^^0 =^ x^ (vetor nulo)
  • 1 ⋅ x = x (elemento neutro)

5.2 Propriedades adicionais

  • 0 ⋅ x = 0
  • α⋅ 0 = 0
  • x + y = x + z ⇒ y = z
  • α⋅ x = α⋅ y , α ≠ 0 ⇒ x = y
  • α⋅ x = β⋅ x , x ≠ 0 ⇒ α = β
  • (^) ( ( )^ ) (propriedadedistributiva) 

α−β ⋅ =α⋅ −β⋅

α⋅ − =α⋅ −α⋅ x x x

x y x y

Tópico 1 − Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização (^) 13

5.6 Conjuntos convexos

  • um conjunto (^) X de elementos de um espaço vetorial é convexo se, dados x 1 , x 2 ∈ X , todos os pontos na forma α⋅ x 1 + (1−α)⋅ x 2 , com α ∈ [0,1], pertencem também a X.

Convexo Não-Convexo

  • exemplos:
    1. normalmente, (sub-)espaços vetoriais lineares são convexos.
    2. o conjunto vazio ∅ é convexo, por definição.
    3. dados X e Y convexos, então X ∩ Y é convexo.

X

x 1

x 2

X

x 2

x 1

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5.7 Combinação linear e combinação convexa

  • seja S = { x 1 , x 2 , ..., x n } um conjunto de vetores de um espaço vetorial linear ( X ,ℜ). Combinações lineares de elementos de S são formadas através de a (^) 1 x (^) 1 + a 2 x 2 ++ an x n , onde a 1 , a 2 , ..., a (^) n ∈ ℜ.
  • se os escalares a 1 , a 2 , ..., an ∈ ℜ são tais que ai ≥ 0 ( i =1,2,..., n ) e (^) ∑^ ni = 1 ai = 1 , então

a combinação linear é chamada combinação convexa dos elementos x 1 , x 2 , ..., x n ∈ X.

  • combinação cônica: (^) a (^) i ≥ 0 ( i =1,2,..., n ) e (^) ∑^ ni = 1 ai qualquer
  • combinação afim: a (^) i ( i =1,2,..., n ) quaisquer e (^) ∑ i^ n = 1 ai = 1

Tópico 1 − Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização (^) 15

5.8 Dependência linear e dimensão de um espaço vetorial

  • considere { x 1 , x 2 , ..., x n } um conjunto de vetores pertencentes a X. O conjunto S ≡ [ x 1 , x 2 , ..., x n ], chamado subespaço gerado pelos vetores { x 1 , x 2 , ..., x n }, consiste de todos os vetores em (^) X escritos como combinação linear de vetores em { x 1 , x 2 , ..., x n }. Neste caso, S é um subespaço vetorial de X.
  • um vetor x é linearmente dependente em relação a um conjunto de vetores { x 1 , x 2 , ..., x n } se x ∈ S ≡ [ x 1 , x 2 , ..., x n ].
  • um vetor x é linearmente independente em relação a um conjunto de vetores { x 1 , x 2 , ..., x n } se x ∉ S ≡ [ x 1 , x 2 , ..., x n ].
  • um conjunto de vetores { x 1 , x 2 , ..., x n } é linearmente independente se e somente se 0 1 ∑^ = =

n i i i

a x implica a (^) i = 0, i =1,..., n.

  • um conjunto de vetores linearmente independentes { x 1 , x 2 , ..., x n } forma uma base para X se X ≡ [ x 1 , x 2 , ..., x n ].
  • neste caso, diz-se que X tem dimensão n. Se n é finito, então X é um espaço vetorial de dimensão finita.

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5.9 Produto externo

  • o produto externo entre dois vetores x ∈ ℜ n^ e y ∈ ℜ m^ é uma matriz de dimensão

n × m de posto unitário. Sendo x =[ x (^) 1 x 2  x n ] T e y =[ y (^) 1 y 2  y m ] T , o produto externo assume a forma:

n n m

m T x y x y

x y x y

xy xy xy

1

2 1 2 2

1 1 1 2 1 xy

  • em contraste com o caso do produto interno, os vetores x e y podem ter dimensões distintas.
  • mesmo quando as dimensões são as mesmas, ou seja, n = m , a matriz quadrada resultante pode não ser simétrica.

Tópico 1 − Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização (^) 19

  • uma quase-norma satisfaz todas as propriedades de norma, com exceção do segundo axioma (desigualdade triangular), o qual assume a forma: x + y ≤ b ⋅ ( x + y ), ∀ x , y ∈ X ,com b ∈ℜ.
  • Exemplos de normas e relações entre normas: X ≡ ℜ n

‰^ p

n i ip p x

1 1 

= ∑

x , p ≥ 1 é um número real.

‰ x (^) 2 ≤ x 1 ≤ n x 2

‰ x (^) ∞ ≤ x 2 ≤ n x ∞

‰ x (^) ∞ ≤ x 1 ≤ n x ∞.

‰ 2

1 x , x é a conhecida norma euclidiana, pois 2 21 1 1

x (^) 2 2  = x , x

= ∑

n i i

x.

‰ relação entre produto interno e norma euclidiana (desigualdade de Cauchy-

Schwartz-Buniakowsky): x , y^2 ≤ x , x ⋅ y , y ⇒ x , y ≤ x 2 ⋅ y 2

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x 1

x 2

− 1

− 1

x 1

x 2

x 1

x 2

− 1

− 1

−^1

− 1

p=

p=

p=+∞

x p ≤ 1

n p i ip p x

1 1 

= ∑

x

p = 1 ⇒ (^) ∑

n i i

x (^11) x

p = 2 ⇒ (^) ∑

n i i

x 1

2 x 2

p = +∞ ⇒ x ∞=max i xi

Tópico 1 − Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização (^) 21

5.12 Ângulo entre dois vetores

  • para qualquer inteiro (^) n ≥ 2, dados dois vetores x , y ∈ (^) X ⊂ ℜ n , x , y ≠ 0, o co-seno do ângulo θ formado pelos vetores x e y é dado na forma: ( ) 2 2

cos θ = xx ⋅^ yy

T .

5.13 Ortogonalidade e ortonormalidade entre dois vetores

  • se cos( ) θ = 0 , isto implica que x , y = x T^ y = 0. Então diz-se que x e y são

ortogonais entre si, condição representada na forma: x ⊥ y.

  • além disso, se 〈 x , x 〉 = 〈 y , y 〉 = 1, então os vetores x , y ∈ X ⊂ ℜ n^ são ortonormais entre si.

EA932 – Prof. Fernando J. Von ZubenDCA/FEEC/Unicamp

5.14 Espaços ortogonais

  • um vetor x é ortogonal a um espaço vetorial Y se for ortogonal a todos os vetores pertencentes a Y , condição representada na forma: x ⊥ Y.
  • os espaços vetoriais X e Y são ortogonais entre si se cada vetor pertence a X for ortogonal a todos os vetores pertencentes a (^) Y , condição representada na forma: X ⊥ Y.

5.15 Projeção de um vetor em uma determinada direção

  • dado um espaço vetorial linear X , seja y ∈ X um vetor que fornece uma determinada direção. A projeção de qualquer vetor x ∈ X na direção de y é dada na forma:

yx y^ y^ y y y

y y y

x x^ y y =^ ⋅ = T ⋅

T ,^1 /^2 ,^1 /^2

proj ( )^ ,

Tópico 1 − Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização (^) 25

6 Transformações e funcionais

  • sejam X e Y espaços vetoriais lineares, e seja D um subconjunto de X. A regra que associa cada elemento x ∈ D ⊆ X a um elemento y ∈ Y é chamada de transformação de (^) X para (^) Y com domínio (^) D. Notação: (^) T : (^) D ⊆ (^) X → (^) Y.
  • y = T ( x ) é a imagem de x sob a transformação T (⋅).
  • a coleção de vetores y ∈ Y para os quais existe um x ∈ D tal que y = T ( x ) é chamada de range de T.

6.1 Transformações lineares

  • uma transformação T : X → Y é linear se, ∀ x , y ∈ D ⊆ X e ∀ α,β ∈ ℜ, é válida a seguinte equação:

T (α ⋅ x +β⋅ y ) =α⋅ T ( ) x +β⋅ T ( ) y.

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6.2 Operadores lineares

  • são as transformações que podem ser descritas por formas matriciais, de modo que D ≡ X. Um operador linear, que mapeia vetores do ℜ n^ no ℜ m , pode ser descrito por uma matriz A ∈ ℜ m^ × ℜ n , ou A ∈ ℜ m × n , tal que y = A x , x ∈ ℜ n^ e y ∈ ℜ m.
  • a norma de um operador linear^ A ∈ ℜ m × n^ é dada na forma:

x

x x 0

A A

= max≠ , com x ∈ ℜ n.

  • o range de um operador linear (^) A ∈ ℜ m × n^ é dado na forma:

τ ( A ) = { y ∈ℜ m^ : y = A x ,paraalgum x ∈ℜ n }

correspondendo, portanto, ao espaço gerado pelas colunas de A.

  • o espaço nulo de um operador linear A ∈ ℜ m × n^ é dado na forma:

η( A )= { x ∈ℜ n^ : A x = 0 }

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  • τ( A ) e η( A ) são subespaços de ℜ m^ e ℜ n , respectivamente.
  • dim( τ ( A ))+ dim( η ( A ))= n
  • η( A ) ⊥ τ( A T ) no ℜ n^ e η( A T ) ⊥ τ( A ) no ℜ m

6.3 Posto de uma matriz

  • o posto de uma matriz^ A ∈ ℜ m × n^ é dado pelo número de colunas (ou linhas) LI, de modo que posto( A ) ≤ min( m , n ).
  • se posto( A ) = min( m , n ), então diz-se que a matriz tem posto completo.
  • uma matriz quadrada de posto completo é inversível (matrizes inversas serão discutidas mais adiante).
  • posto( A ) = dim( τ ( A ))
  • posto( A ) = posto( A T ) = posto( A TA ) = posto( AA T )
  • a matriz resultante do produto de duas matrizes quaisquer nunca vai ter um posto maior que o menor posto das matrizes que participam do produto.

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6.4 Matrizes idempotentes

  • uma matriz quadrada A ∈ ℜ n × n^ é dita ser idempotente se A A A A A r

r (^) = ⋅ ⋅ ⋅ = vezes

para qualquer potência inteira r ≥ 1.

  • se A é idempotente, então I − A também será.

6.5 Definições adicionais para matrizes

Cofator

  • dada uma matriz A de dimensão n × n , o cofator do elemento a (^) ij ( i , j =1,2,..., n ) é dado na forma: cij = (− 1 ) i +^ jmij , onde mij é o determinante da matriz formada eliminando-se a i -ésima linha e a j - ésima coluna da matriz A.

Tópico 1 − Fundamentos Básicos de Álgebra Linear e Otimização (^) 31

6.6 Matrizes singulares e não-singulares

  • uma matriz (^) A de dimensão (^) n × n é dita ser singular quando dim( η ( (^) A ) ) ≠ 0 , ou seja, quando det( A ) = 0.
  • A ∈ ℜ n × n^ é não-singular se e somente se dim( η^ ( A ) )^ = 0.
  • como A −^1 =adj( ) A /det( ) A , A admite inversa se e somente se det( A ) ≠ 0, ou seja, quando (^) A é não-singular.

6.7 Autovalores e autovetores

  • seja uma matriz A de dimensão n × n. Diz-se que um escalar λ ∈  (conjunto dos números complexos) é um autovalor de A se existe um vetor não-nulo x ∈  n , chamado de autovetor associado a λ, tal que A x = λ x.
  • A x = λ x pode ser reescrito como (λ I − A ) x = 0 ;

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  • ∃ x ∈  n , x ≠ 0 tal que (λ I − A ) x = 0 se e somente se det ( λ I − A ) = 0 ;
  • ∆( ) λ =∆ det (λ I − A )é o polinômio característico de A ;
  • Como o grau de ∆(λ) é n , a matriz A possui n autovalores.

6.8 Formas Quadráticas

Definição: Para qualquer y ∈ ℜ n e A = AT ∈ℜ n × n , Q (^) A ( y )= y TA y é uma forma quadrática associada a A.

Propriedades:

  • ∇ Q (^) A ( y )= 2 A y
  • ∇ 2 Q (^) A ( y )= 2 A
  • A e QA são chamadas de:

¾ semi-definida positiva se Q (^) A ( y )= y TA y ≥ 0 , ∀ y ∈ℜ n.

¾ definida positiva se Q (^) A ( y )= y TA y > 0 , ∀ y ∈ℜ n , y ≠ 0.

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¾ semi-definida negativa se Q (^) A ( y )= y TA y ≤ 0 , ∀ y ∈ℜ n.

¾ definida negativa se (^) Q (^) A ( y )= y TA y < 0 , ∀ y ∈ℜ n , y ≠ 0.

6.8.1 Cálculo diferencial aplicado a formas quadráticas

Dados x ∈ ℜ n , y ∈ ℜ n e A ∈ ℜ n × n :

• ∂∂ y ( y T^ A x ) = A x

• y T^ A x = x TAT y ⇒∂∂ x ( y TA x ) =∂∂ x ( x TAT y ) = AT y

• ∂∂ x ( x T^ A x ) = AT x + A x

• para AT^ = A , ∂∂ x ( x T^ A x ) = 2 A x

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6.8.2 Normas ponderadas e a medida de distância de Mahalanobis

  • já foi apresentada a relação existente entre norma e produto interno. Com a introdução de formas quadráticas, é possível recorrer ao conceito de norma ponderada.
  • sejam x , y ∈ ℜ n , então é possível expressar a distância ponderada entre x e y por:

ρ (^) Ψ( x , y )= x − y Ψ= ( x − y ) T^ Ψ( x − y )= x Ψ^2 + y^2 Ψ− 2 x^ T Ψ y onde Ψ ∈ ℜ n × n^ é uma matriz simétrica e semidefinida positiva, geralmente sendo uma matriz diagonal que pondera diferentemente cada coordenada.

  • para Ψ = I , resulta a norma euclidiana.
  • quando os elementos de x e y são variáveis aleatórias geradas a partir de uma distribuição normal, e sabendo haver uma dependência estatística entre os elementos de x e y , então tomando a matriz Ψ como sendo a inversa da matriz de covariância entre x e y resulta a medida de distância de Mahalanobis.

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  • este resultado é muito útil no caso da matriz A estar presente em formas quadráticas:

Q A ( x ) = x TA x = x TT Λ TT x = ( T T x ) T Λ( TT x )

  • fazendo y = T T^ x ⇒ x = T y , resulta:

Q (^) A (^ x )^ x = T y = y T Λ y =λ 1 y 12 +λ 2 y^22 ++λ n y^2 n

  • como a matriz T tem posto completo, então y ∈ ℜ n^ pode ser qualquer. Logo: ¾ A > 0 ⇒ λ i > 0 para i =1,..., n ¾ A ≥ 0 ⇒ λ i ≥ 0 para i =1,..., n ¾ A < 0 ⇒ λ i < 0 para i =1,..., n ¾ (^) A ≤ 0 ⇒ λ i ≤ 0 para (^) i =1,..., n
  • se A ∈ ℜ n × n^ é uma matriz simétrica definida positiva, então são condições equivalentes: ¾ A é definida positiva;

EA932 – Prof. Fernando J. Von ZubenDCA/FEEC/Unicamp ¾ A −^1 é definida positiva; ¾ todos os autovalores de A são reais positivos; ¾ y T^ A y > 0 , ∀ y ∈ℜ n , y ≠ 0 ; ¾ é possível decompor A na forma: A = B TB , com B não-singular; ¾ det( A (^) k ) > 0, k =1,..., n , onde A (^) k é a k -ésima sub-matriz principal líder.

  • se ocorrer λ i > 0 e λ j < 0 para i ≠ j e i , j ∈ {1,..., n }, então a matriz é dita ser indefinida.
  • se A ∈ ℜ n × n^ é uma matriz simétrica com autovalores λ 1 , λ 2 , ..., λ n , então a matriz A + α I (^) n terá como autovalores λ 1 +α, λ 2 +α, ..., λ n +α, e os autovetores de A e de A + α I (^) n serão os mesmos.
  • sendo assim, é possível “corrigir” os autovalores de uma matriz simétrica indefinida ou singular, sem alterar seus autovetores, deixando a matriz definida positiva ou definida negativa, na forma:

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{ }  { }

α=−ε− λ

α=ε− λ

∈

∈ max , paradeixaramatrizdefinida negativa

min , paradeixaramatrizdefinida positiva

1 ,...,

1 ,..., i n^ i

i n i

  • seja uma matriz^ A de dimensão^ n × m ( A ∈ ℜ n × m ) e uma matriz^ B de dimensão m × n ( B ∈ ℜ m × n ). Então, os autovalores não-nulos de AB e BA são os mesmos e têm as mesmas multiplicidades. Além disso, se x é um autovetor de AB para algum autovalor λ ≠ 0, então y = B x é um autovetor de BA. Isto implica que AA T^ e A TA têm os mesmos autovalores e todos são positivos.

6.10 A inversa de uma matriz

  • a inversa de uma matriz A ∈ ℜ n × n^ é uma matriz M ∈ ℜ n × n^ tal que

AM = MA = I

  • a notação adotada para a matriz M é: M = A −^1.
  • para que uma matriz seja inversível, ela tem que ser quadrada e não-singular.

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• vale a seguinte propriedade: ( A −^1 ) T = ( A T )− 1.

6.11 O lema de inversão de matrizes

  • assuma que A e C são matrizes quadradas arbitrárias para as quais existe a inversa, e B é uma terceira matriz tal que BCB T^ tem a mesma dimensão de A. Então o chamado lema de inversão de matrizes é dado na forma:

( A + BCBT )− 1 = A −^1 − A −^1 B ( B TA −^1 B + C −^1 )− 1 BTA −^1

  • a matriz C geralmente tem dimensões menores que a matriz A.

6.12 A pseudo-inversa de uma matriz

  • a pseudo-inversa de uma matriz A ∈ ℜ m × n^ é uma matriz M ∈ ℜ n × m^ tal que valem as seguintes propriedades: ‰ AMA = A ‰ MAM = M