Lista de exercícios da EN., Exercícios de Matemática

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• INTRODUÇÃO Sumário
• CAPÍTULO 1 - ENUNCIADOS
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2015/2016
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2014/2015
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2013/2014
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2012/2013
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2011/2012
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2010/2011
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2009/2010
• CAPÍTULO
• RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES
• CAPÍTULO
• ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2015/2016
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2014/2015
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2013/2014
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2012/2013
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2011/2012
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2010/2011
  • PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2009/2010

ENUNCIADOS EN 2015 - 2016

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CAPÍTULO 1 - ENUNCIADOS

PROVA DE MATEMÁTICA – ESCOLA NAVAL – 2015 /201 6

1. Em uma P.G.,

 2 ^2

4 a 2 k^1 5k

^  e

2 (^1 ) a 25k 4 k 1

, onde k  *. Para o valor médio M de k, no

intervalo onde a P.G. é decrescente, o resto da divisão do polinômio P x^ ^5 x 5 5 x 4 25x 2 10 2 4

pelo binômio Mx 15 8

é

a)^1039 32

b)^1231 16

c)^1103 32

d)^1885 32

e)^1103 16

2. Analise o sistema a seguir. x y z 0 4x 2my 3z 0 2x 6y 4mz 0

^ ^ ^ 

Para o maior valor inteiro de m que torna o sistema acima possível e indeterminado, pode-se afirmar

que a expressão tg m^ cos 2 2 m 1 4 3

 ^     

(^)     vale

a)^1 4

b)^9 4

c)^11 4

d)^7 4

e)^1 4

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3. Resolvendo

    ^ 

4 4 2 2tgx 2

tg 2x cos 2x sen^ 2x cotg 2x (^) sec x dx e cos 4x sec 2x 1

encontra-se

a)^1 e2x sen 2x^  c 2

b)^1 e 2tgx c 2

c)^1 e 2xsen 2x^  c 2

d)^1 e2x cos x c 2

e)^1 e 2xsec 4x^  c 2

4. A soma dos três primeiros termos de uma P.G. crescente vale 13 e a soma dos seus quadrados 91. Justapondo-se esses termos nessa ordem, obtém-se um número de três algarismos. Pode-se afirmar que o resto da divisão desse número pelo inteiro 23 vale a) 1 b) 4 c) 8 d) 9 e) 11

5) Uma reta r passa pelo ponto M 1,1,1  e é concorrente às seguintes retas: 1

x 1 3t y 3 2t r : z 2 t t

^   

e

2

x 4 t y 2 5t r : z 1 2t t

^ ^ 

. Pode-se dizer que as equações paramétricas dessa reta r são

a)

x 1 11t y 1 22t z 1 25t t

^ ^ 

b)

x 1 25t y 1 22t z 1 8t t

^ ^ 

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c) ^ ^2

4 2

4x 1, se x 2 f g x 1 4x , se 1 x 1 x x , se x 1 ou 1 x 2

^ ^ 

d) ^ ^2

4 2

4x 1, se x 2 f g x 1 4x , se 1 x 1 x x , se x 1 ou 1 x 2

^ ^ 

e) ^ ^2

4 2

4x 1, se x 2 f g x 1 4x , se 1 x 1 x x , se x 1 ou 1 x 2

^ ^ 

8) Um plano  1 contém os pontos M  1,3, 2 e N  2, 0,1. Se  1 é perpendicular ao plano

 2 : 3x  2y  z  15  0 , é possível dizer que o ângulo entre  1 e o plano  3 : x  y  z  7  0 vale

a)arccos 8 2 15

b)arccot 4 2 15

c)arccos 4 2 15

d)arccos 61 45 2

e)arctg 194 16

9. Um prisma quadrangular regular tem área lateral 36 6 unidades de área. Sabendo que suas

diagonais formam um ângulo de 60 com suas bases, então a razão entre o volume de uma esfera de

raio 24 1 6unidades de comprimento para o volume do prisma é

a)^8 81 

b)^81 8

c)^8 81

d)^8 27

e)^81 8 

10. Um gerador de corrente direta tem uma força eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms. E e r são constantes. Se R ohms é a resistência externa, a resistência total é ^ r^ Rohms e, se

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P é a potência, então  

2 2

P E R

r R

. Sendo assim, qual é a resistência externa que consumirá o máximo

de potência? a) 2r b)r  1

c) r 2 d) r

e)r r^  3 

11. Calculandoxlim 0 tgx^ x^ x^ sen x 3  x sen x (^) tg x

 ^   

encontra-se

a)^7 3

b)^13 6

c)^5 2

d)^13 3

e)^7 6

1 2) O ângulo que a reta normal à curva C, definida por f ^ x ^ x x 1, no ponto P 2, 2 , faz com a reta

r : 3x  2y  5  0 é

a) ^ ^ ^ ^   2 1 2 arccos 5 4ln 2 13 2 4ln 2 4ln 2

     

b) ^ ^ ^ ^ ^   2 1 2 arccos 5 4ln 2 13 2 4ln 2 4ln 2

     

c) ^ ^ ^ ^   2 1 2 arccos 5 4ln 2 13 2 4ln 2 4ln 2

     

d) ^ ^ ^ ^ ^   2 1 2 arccos 5 4ln 2 13 2 4ln 2 4ln 2

     

e) ^ ^ ^ ^ ^ 2 1 2 arccos 5 4ln 2 13 2 4ln 2 4ln 2

     

13. As curvas representantes dos gráficos de duas funções de variável real y f ^ x e y g x^ 

interceptam-se em um ponto P 0  x , y 0 0 , sendo x 0  D f  D g . É possível definir o ângulo

formado por essas duas curvas no ponto P 0 como sendo o menor ângulo formado pelas retas tangentes

àquelas curvas no ponto P 0. Se f ^ x ^  x 2  1 , g x^ ^  1 x^2 e  é o ângulo entre as curvas na interseção de abscissa positiva, então, pode-se dizer que o valor da expressão

 

6 2 sen cos 2 cossec 12 6

 ^ ^ ^ ^ é

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e) 4, 

17. No limite

x 0 2

lim 1 x^1 2ax  x

^ ^  , o valor de a pode ser determinado para que tal limite exista.

Nesse caso, o valor do limite é

a)^1 4

b)^1 4

c)^1 8

d)^1 8

e) 0

18. Três cones circulares C 1 , C 2 e C 3 , possuem raios R, R 2

e R 4

, respectivamente. Sabe-se que

possuem a mesma altura e que C 3  C 2 C 1. Escolhendo-se aleatoriamente um ponto de C 1 , a probabilidade de que esse ponto esteja em C 2 e não esteja em C 3 é igual a

a)^1 4

b)^1 2

c)^3 4

d)^1 16

e)^3 16

19. Seja ABCD um quadrado de lado , em que ACe BDsão suas diagonais. Seja O o ponto de encontro dessas diagonais e sejam P e Q os pontos médios dos segmentos AOe BO, respectivamente. Pode-se dizer que a área do quadrilátero que tem vértices nos pontos A, B, Q e P vale

a)

b)

2 16

c)

d)

2 8

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e)

20. Em um polígono regular, cujos vértices A, B e C são consecutivos, a diagonal ACforma com o lado BC um ângulo de 30º. Se o lado do polígono mede unidades de comprimento, o volume da pirâmide, cuja base é esse polígono e cuja altura vale o triplo da medida do lado, é igual a

a)

b)

c)

d)^3 4

e)

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(C)

n

n n 1 2 1

(D)

n

n n 1 2

(E)

 n 

n n 1 2 2 1

5. A função real de variável real f ^ x ^2 2x^ a bx cx 2

, onde a, b e c são constantes reais, possui as

seguintes propriedades:

I) o gráfico de f passa pelo ponto 1, 0 e

II) a reta y = 1 é um assíntota para o gráfico de f.

O valor de a  b cé

(A)  2

(B)  1

(C) 4

(D) 3

(E) 2

6. Se o limite

4 h 0 lim 16 h^2  h

(^)   representa a derivada de uma função real de variável real y f ^ x

em x a, então a equação da reta tangente ao gráfico de y f ^ xno ponto  a, f ^ aé

(A)32y  x  48 (B)y  2x   30 (C)32y  x  3048 (D)y  32x  12 (E) y  2x  0

7. Sejam A a matriz quadrada de ordem 2 definida por 2cos 2x cos x^  A (^2) cos x 1

 ^ ^  

e f a função

real tal que f ^ x ^  det A^ AT, onde ATrepresenta a matriz transposta de A. O gráfico que melhor

representa a função y f ^ xno intervalo   x é

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8. Considere a função real de variável real f ^ x  x  x. Para que valore da constante real k, a equação f^ ^ x^ kpossui exatamente 3 raízes reais?

(A)k 1 2

(B)^1 k^1 4 4

(C)k 1 2

(D)^1 k 0 4

(E) 0 k 1 4

9. Um restaurante a quilo vende 200 quilos de comida por dia, a 40 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada aumento de um real no preço do quilo, o restaurante perde 8 clientes por dia, com um consumo médio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida, em reais, para que o restaurante tenha a maior receita possível por dia? (A) 52 (B) 51 (C) 46 (D) 45 (E) 42

10. Sabendo que z é o número complexoz 1 3 i 2 2

  , qual o menor inteiro positivo n, para o qual o

produto z z 2  z^3  zn é um real positivo?

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(A) 9 a^2 (B) 9 2 a^2 (C) 9 3 a^2 (D) 6 3 a^2

(E) 6 2 a^2

15. Um recipiente cúbico de aresta 4 cm está apoiado em um plano horizontal e contém água até uma altura de 3 cm. Inclina-se o cubo, girando de um ângulo em torno de uma aresta da base, até que o líquido comece a derramar. A tangente do ângulo é

(A)^1 3 (B) 3

(C)^3 2

(D)^1 2 (E) 1

16. O valor do produto cos 40  cos80 cos160 é

(A)^1 8

(B)^1

(C)  1

(D)^3

(E)^2

17. Rola-se, sem deslizar, uma roda de 1 metro de diâmetro, por um percurso reto de 30 centímetros, em uma superfície plana. O ângulo central de giro da roda, em radianos, é (A) 0, (B) 0, (C) 0, (D) 0,

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(E) 0,

18. Quantas unidades de área possui a região limitada pela curva de equação x  1  1 y^2 e pelas retas 2y  x  3  0 , 2y  x  3  0 e x  2?

(A)^1 2

(B)^3

(C) 1

(D) 3

(E)^3

19. Sejam y  m x 1 b 1 e y  m x 2 b 2 as equações das retas tangentes à elipse

x 2  4y 2  16y  12  0 que passam pelo ponto^ P 0, 0^ . O valor de^ ^ m 12 m^22 é

(A) 1

(B)^3

(C)^3

(D) 2

(E)^5

20. Sabendo-se que um cilindro de revolução de raio igual a 20 cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo de revolução, a uma distância de 12 cm desse eixo, apresenta secção retangular com área igual à área da base do cilindro. O volume desse cilindro, em centímetros cúbicos, é (A)^ 6.000^2 (B)^ 5.000^2 (C)^ 4.000^2 (D)^ 3.000^2 (E)^ 2.000^2

21. Um observador, de altura desprezível, situado a 25 m de um prédio, observa-o sob um certo ângulo de elevação. Afastando-se mais 50 m em linha reta, nota que o ângulo de visualização passa a ser a metade do anterior. Podemos afirmar que a altura, em metros, do prédio é (A) 15 2 (B) 15 3 (C) 15 5 (D) 25 3 (E) 25 5

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27. Qual a quantidade de números inteiros de 4 algarismos distintos, sendo dois algarismos pares e dois ímpares que podemos formar, usando os algarismos de 1 a 9? (A) 2400 (B) 2000 (C) 1840 (D) 1440 (E) 1200

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28. Considere as funções reais f ^ x ^ x ln x 2

  e g x^ ^ x ^ ln x^2 2

  onde ln x expressa o logaritmo

de x na base neperiana e  e 2, 7. Se P e Q são os pontos de interseção dos gráficos de f e g, podemos

afirmar que o coeficiente angular da reta que passa por P e Q é

(A) ^ e 1 

2 e 3

(B)e  1

(C) ^ e 1 

2 e 1

(D)2e  1

(E) ^ e 3 

2 e 1

29. Se z é o conjugado do número complexo z, então o número de soluções da equação z^2 zé (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

30. Considere a função real de variável real y f ^ x, x 2 2

 ^  , cujo gráfico contém o ponto

, 3 3

 ^. Se ^ ^2 f ' x 1 sen x cos x cos x

   , entãof 4

(^)  é igual a

(A) 3 1 8

(B)^9

(C)^7

(D)^2

(E)^3

31. O quinto termo da progressão aritmética 3  x;  x; 9 x; , x  , é (A) 7 (B) 10 (C)  2 (D) 14 (E)  18