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Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciˆencias Exatas – ICEx Departamento de Matem´atica
Equa¸c˜oes Diferenciais C
Trabalho Computacional 3
Aten¸c˜ao: O relat´orio deste trabalho dever´a ser confeccionado no formato PDF, devendo ser enviado exclusivamente pelo sistema Moodle, dentro do prazo definido.
Quest˜ao 1: Considere o modelo de intera¸c˜ao entre trˆes esp´ecies como des- crito a seguir:
Uma gram´ınea (g) serve de alimento para uma esp´ecie de herb´ıvoros (h). O animal herb´ıvoro (h) ´e o principal alimento de uma esp´ecie carn´ıvora (c). Iremos modelar o crescimento da densidade de gram´ıneas no ambiente, dada pela fun¸c˜ao , como um crescimento log´ıstico (limitado, portanto, pela disponibilidade de recursos am- bientais que provoca a existˆencia de uma densidade m´axima. A capacidade do ambiente para dar suporte `as gram´ıneas ´e uma fun¸c˜ao dependente do tempo. Isso ´e feito para modelar a varia¸c˜ao dos recursos ambientais ao longo do ano. Assim, no ver˜ao, as gram´ıneas contam com mais sol e mais ´agua, tendo portanto mais recursos para seu crescimento. No inverno ocorre o oposto, de modo que o ambiente oferece menos recursos para o crescimento das gram´ıneas. O crescimento das gram´ınias ainda ´e diminu´ıdo pela a¸c˜ao dos herb´ıvoros, que se alimentam das gram´ıneas (essa intera¸c˜ao ´e proporcional ao produto h(t) g(t)). Assim, a equa¸c˜ao diferencial que representa a massa total de gram´ıneas existente em um ambiente ´e dada por:
dg dt
= k 1
( 1 −
g(t) S(t)
) g(t) − k 2 g(t) h(t)
Nesta equa¸c˜ao, a fun¸c˜ao S(t), que indica a m´axima massa de gram´ıneas suportada pelo ambiente a cada momento, ´e dada por:
S(t) = 2 + A sen
( (^2) πt
120
)
Essa ´e uma fun¸c˜ao peri´odica, com per´ıodo T = 120. A escala de tempo dessa equa¸c˜ao ´e tal que a cada 10 unidades de tempo se passa um mˆes, de forma que o per´ıodo da fun¸c˜ao ser´a de 12 meses, ou seja, um ano. Essa fun¸c˜ao tem m´edia igual a 2, e oscila ao redor dessa m´edia, sendo que a amplitude da oscila¸c˜ao ´e igual ao parˆametro A. Quanto maior for A, maior a variabilidade clim´atica.
O crescimento do n´umero de herb´ıvoros h(t) ´e limitado tanto pela disponibilidade da gram´ınea g(t) para sua alimenta¸c˜ao quanto pela intera¸c˜ao com os carn´ıvoros predadores c(t). A equa¸c˜ao di- ferencial que representa o n´umero de herb´ıvoros no ecossistema ´e dada por:
dh dt
= a 1 h(t) g(t) − a 2 h(t) c(t) − a 3 h(t)
J´a a quantidade de carn´ıvoros c(t) ´e limitada pela disponibili- dade de herb´ıvoros h(t) para sua alimenta¸c˜ao, al´em do pr´oprio envelhecimento dos carn´ıvoros, que tˆem uma expectativa m´edia de vida finita. A equa¸c˜ao diferencial que representa o n´umero de carn´ıvoros no ambiente ´e dada por:
dc dt
= b 1 h(t) c(t) − b 2 c(t)
Assumem-se os seguintes valores para as constantes existentes nas equa¸c˜oes do modelo:
a1 = 0. 25 , a2 = 0. 2 , a3 = 0. 2 b1 = 0. 3 , b2 = 0. 11 k1 = 0. 5 , k2 = 0. 7 A = 1
Assumem-se ainda os seguintes valores iniciais para as popula¸c˜oes:
g(0) = 0. 4 h(0) = 0. 4 c(0) = 0. 1
Quest˜ao 2: Considere o modelo de propaga¸c˜ao de uma epidemia descrito a seguir:
A evolu¸c˜ao de uma epidemia pode ser representada por um mo- delo compartimental SIR, que divide a popula¸c˜ao nos compar- timentos s(t) (indiv´ıduos suscept´ıveis a serem infectados), i(t) (indiv´ıduos infectados que podem transmitir a doen¸ca) e r(t) in- div´ıduos que se recuperaram da doen¸ca, ou que foram vacinados, que portanto possuem imunidade (tempor´aria) ao pat´ogeno. Nesse modelo, a evolu¸c˜ao do n´umero de indiv´ıduos infectados i(t) ´e representada pela equa¸c˜ao diferencial:
di dt
β N
i(t) s(t) − γ i(t) − α i(t)
Nessa equa¸c˜ao, o termo (^) Nβ i(t) s(t) corresponde `a taxa com que indiv´ıduos suscept´ıveis s˜ao infectados, aumentando portanto o n´umero de inv´ıduos no compartimento i(t), sendo β a taxa de transmiss˜ao da infec¸c˜ao. O termo γ i(t) representa a taxa com que indiv´ıduos infectados se recuperam da doen¸ca, saindo do com- partimento i(t) e tornando-se recuperados, r(t), e α i(t) ´e a taxa de mortalidade dos indiv´ıduos nessa popula¸c˜ao, que n˜ao est´a re- lacionada com esta infec¸c˜ao (sup˜oe-se, portanto, que a infec¸c˜ao n˜ao causa um aumento da mortalidade). A evolu¸c˜ao do n´umero de indiv´ıduos suscept´ıveis, s(t), na ausˆencia de vacina¸c˜ao, ´e representada pela equa¸c˜ao:
ds dt
−β N
i(t) s(t) + μ r(t) − α s(t) + α N
Nessa equa¸c˜ao, o termo −Nβ i(t) s(t) corresponde a taxa com que indiv´ıduos suscept´ıveis s˜ao infectados, saindo portanto do com- partimento de suscept´ıveis. O termo μ r(t) correspondea taxa com que os indiv´ıduos recuperados (que tˆem imunidade a doen¸ca) perdem a imunidade, retornando portantoa condi¸c˜ao de sus- cept´ıveis. O termo α s(t) corresponde a taxa de mortalidade dessa popula¸c˜ao, aplicada sobre o conjunto dos suscept´ıveis. O termo α N correspondea taxa de natalidade nesta popula¸c˜ao. Para sim- plificar o modelo, assume-se aqui que a taxa de natalidade seja igual `a taxa de mortalidade de toda a popula¸c˜ao (considerando
a mortalidade em todos os compartimentos), de forma que o ta- manho da popula¸c˜ao permane¸ca constante ao longo do tempo. Deve-se notar que todos os indiv´ıduos, no momento em que nas- cem, pertencem ao compartimento dos suscept´ıveis, s(t).
Como a popula¸c˜ao tem tamanho constante igual a N e encontra- se particionada nos compartimentos s(t), i(t) e r(t), ´e poss´ıvel encontrar a evolu¸c˜ao no tempo do n´umero de recuperados r(t) simplesmente subtraindo s(t) e i(t) do total:
r(t) = N − s(t) − i(t)
Deve-se notar que, como r(t) n˜ao ´e explicitamente tra- tada como uma vari´avel no sistema de equa¸c˜oes diferen- ciais, deve-se escrever μ(N −s(t)−i(t)) no lugar de μ r(t) na equa¸c˜ao diferencial a ser inserida no SageMath. Por fim, para considerar o efeito de uma poss´ıvel vacina¸c˜ao, a equa¸c˜ao diferencial que representa a taxa de varia¸c˜ao do n´umero de in- div´ıduos suscept´ıveis, s(t), ´e modificada com a inclus˜ao de um termo −Λ(t, t 0 ) φ s(t):
ds dt
−β N
i(t) s(t) + μ r(t) − α s(t) + α N − Λ(t, t 0 ) φ s(t)
Nesse termo, a parcela igual a −φ s(t) faz com que haja indiv´ıduos sendo retirados do compartimento dos suscept´ıveis s(t), sendo es- tes movidos diretamente para o compartimento dos recuperados r(t) – isso corresponde ao efeito da vacina¸c˜ao, que faz com que indiv´ıduos suscept´ıveis que n˜ao tinham imunidade `a doen¸ca pas- sem a ter tal imunidade sem que tenham contra´ıdo a doen¸ca. A fun¸c˜ao Λ(t, t 0 ) que multiplica a parcela −φ s(t) ´e uma fun¸c˜ao que tem seu valor aproximadamente igual a zero at´e t se aproximar de t 0 , e rapidamente muda, passando a ter valor igual a um assim que t fica maior que t 0. Essa fun¸c˜ao, ao multiplicar φ s(t), faz com que essa express˜ao s´o comece a ter efeito a partir do tempo t = t 0 , ou seja, o termo −Λ(t, t 0 ) φ s(t) significa uma vacina¸c˜ao come¸cando no tempo t = t 0.
A fun¸c˜ao Λ(t, t 0 ) tem a seguinte forma:
Λ(t, t 0 ) =
π
arctan(50 ∗ (t − t 0 )) +
No problema aqui estudado, o modelo SIR representa a evolu¸c˜ao de uma epidemia em uma pequena cidade com N = 1000 habi- tantes. Os parˆametros do modelo SIR referentes a tal epidemia
verifique se o n´umero de pessoas infectadas fica menor que 1 (ou seja, menos de uma pessoa encontra-se doente) em um prazo de at´e 48 meses. Mostre dois gr´aficos, ilustrando respectivamente:
Uma situa¸c˜ao de n˜ao erradica¸c˜ao, exibindo as curvas de suscept´ıveis, infectados e recuperados, na qual se identifique a existˆencia de um n´umero permanente de infectados; Uma situa¸c˜ao de erradica¸c˜ao, exibindo as curvas de suscept´ıveis, infectados e recuperados, na qual seja poss´ıvel visualizar que o n´umero de infectados se aproxima de zero.
(d) A seguir, fa¸ca um estudo para examinar o efeito do atraso no in´ıcio da vacina¸c˜ao. Para isso, fixe a taxa de vacina¸c˜ao no valor φ = 0.7 (note que esse valor ´e insuficiente para causar a erradica¸c˜ao da doen¸ca). Varie ent˜ao o instante t 0 no qual se inicia a vacina¸c˜ao, e verifique qual ´e o efeito desse tempo no n´umero m´aximo de infectados que ocorre no momento de pico da epidemia. Construa uma tabela que mostre, para cada valor de t 0 , o correspondente n´umero m´aximo de infectados. Essa tabela deve conter 13 valores de atrasos que cubram uma faixa de 0 a 6 meses. Escreva um coment´ario sobre o que se pode concluir da tabela que foi constru´ıda.
Observe que, em uma situa¸c˜ao real, ´e normalmente imposs´ıvel iniciar a va- cina¸c˜ao no instante em que a primeira pessoa que traz a infec¸c˜ao entra em contato com a popula¸c˜ao local, pois usualmente ´e muito dif´ıcil saber que a doen¸ca est´a circulando. Mesmo esse “paciente zero” normalmente n˜ao sabe que est´a infectado por uma determinada doen¸ca. Isso significa que s´o se con- segue descobrir que uma epidemia est´a sendo iniciada ap´os um certo n´umero de casos serem confirmados pelo servi¸co de sa´ude. Na pr´atica, o problema da chamada “detec¸c˜ao precoce” de surtos epidˆemicos ´e um assunto de grande interesse, que vem sendo pesquisado intensamente nos ´ultimos anos. O relat´orio deste trabalho dever´a conter os seguintes itens referentes a esta quest˜ao:
A figura elaborada no item (a), al´em dos valores “m´aximo” e “perma- nente” do n´umero de infectados encontrados nesse item.
A tabela e a figura elaboradas no item (b), al´em do texto com os coment´arios solicitados no enunciado desse item.
Os dois gr´aficos solicitados no item (c), e o valor da taxa de vacina¸c˜ao utilizada no gr´afico em que ocorre a erradica¸c˜ao da doen¸ca.
A tabela elaborada no item (d) e o texto com os coment´arios solicitados no enunciado desse item.
