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T ´OPICOS DE EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS

Reginaldo J. Santos

Departamento de Matem´atica-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais

http://www.mat.ufmg.br/~regi

Fevereiro 2011

T ´opicos de Equac¸ ˜oes Diferenciais Copyright c© 2011 by Reginaldo de Jesus Santos (110228)

Nenhuma parte desta publicac¸ ˜ao poder´a ser reproduzida por qualquer meio sem a pr´evia autorizac¸ ˜ao, por escrito, do autor.

Ilustrac¸ ˜oes: Reginaldo J. Santos

Ficha Catalogr´afica

Santos, Reginaldo J. S237i T ´opicos de Equac¸ ˜oes Diferenciais / Reginaldo J. Santos

• Belo Horizonte: Imprensa Universit´aria da UFMG, 2011.
  1. Equac¸ ˜oes Diferenciais I. T´ıtulo

CDD: 515.

iv Conte ´udo

Conte ´udo vii

Bibliografia 634

´Indice Alfab´etico 636

Fevereiro 2011 Reginaldo J. Santos

Pref´acio

Este ´e um texto alternativo ao excelente livro Boyce-DiPrima [ 1 ] para uma disciplina introdut ´oria sobre Equac¸ ˜oes Diferenciais Ordin´arias e Parciais para alunos da ´area de Ciˆencias Exatas, sendo mais objetivo e mais elementar. Entretanto aqui est˜ao apresentadas provas elementares de resultados como os teoremas de existˆencia e unicidade para equac¸ ˜oes diferenciais e para sistemas de equac¸ ˜oes diferenciais, o teorema sobre a existˆencia de soluc¸ ˜oes em s´erie de potˆencias para equac¸ ˜oes lineares de 2a.^ ordem, a injetividade da transfor- mada de Laplace, o teorema sobre convergˆencia pontual da s´erie de Fourier e outros. O conte ´udo corresponde ao programa da disciplina ’Equac¸ ˜oes Diferenciais C’ que ´e ministrado para os alunos da ´area de ciˆencias exatas na Universidade Federal de Minas Gerais. O texto ´e dividido em cinco cap´ıtulos. No in´ıcio do Cap´ıtulo 1 ´e feita uma introduc¸ ˜ao `as equac¸ ˜oes dife- renciais em geral. Depois entre as equac¸ ˜oes de 1a.^ ordem s˜ao estudadas as equac¸ ˜oes lineares e as separ´aveis. Terminamos o cap´ıtulo com algumas aplicac¸ ˜oes. As equac¸ ˜oes lineares de 2a.^ ordem ´e o assunto do Cap´ıtulo 2. Nele o estudo tanto das equac¸ ˜oes homogˆeneas como das equac¸ ˜oes n˜ao homogˆeneas ´e feito inicialmente no caso geral e depois no caso particular em que os coeficientes s˜ao constantes. Como aplicac¸ ˜oes este cap´ıtulo traz tamb´em oscilac¸ ˜oes. No Cap´ıtulo 3 ´e estudada a Transformada de Laplace suas propriedades e aplicac¸ ˜ao na soluc¸ ˜ao de proble- mas de valor inicial. No Cap´ıtulo 4 s˜ao estudados s´eries de Fourier e Equac¸ ˜oes Diferenciais Parciais pelo m´etodo de separac¸ ˜ao

viii

x Pref´acio

T ´opicos de Equac¸ ˜oes Diferenciais Fevereiro 2011

Cap´ıtulo 1

Equa¸c ˜oes Diferenciais de 1

a

. Ordem

1.1 Introdu¸c˜ao `as Equa¸c ˜oes Diferenciais

Uma equac¸ ˜ao alg´ebrica ´e uma equac¸ ˜ao em que as inc ´ognitas s˜ao n ´umeros, enquanto uma equa¸c˜ao diferencial e uma equac´ ¸ ˜ao em que as inc ´ognitas s˜ao func¸ ˜oes e a equac¸ ˜ao envolve derivadas destas func¸ ˜oes. Numa equac¸ ˜ao diferencial em que a inc ´ognita ´e uma func¸ ˜ao y ( t ), t e a vari´´ avel independente e y e a vari´´ avel dependente. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.1. O movimento de um pˆendulo simples de massa m e comprimento l ´e descrito pela func¸ ˜ao θ ( t ) que satisfaz a equac¸ ˜ao diferencial

d^2 θ dt^2

g l

sen θ = 0.

1.1 Introdu¸c˜ao `as Equa¸c ˜oes Diferenciais 3

Nesta equac¸ ˜ao a inc ´ognita ´e a func¸ ˜ao θ ( t ). Assim θ ´e a vari´avel dependente e t ´e a vari´avel independente.

Fevereiro 2011 Reginaldo J. Santos

4 Equa¸c ˜oes Diferenciais de 1a.^ Ordem

Figura 1.2: Sistema massa-mola 0 x

Fr = −γ v Fe = − k x

Fr = −γ v

Fr = −γ v

Fe = − k x

Fext = F ocos(ω t )

Fext = F ocos(ω t )

Fext = F ocos(ω t )

T ´opicos de Equac¸ ˜oes Diferenciais Fevereiro 2011

6 Equa¸c ˜oes Diferenciais de 1a.^ Ordem

Figura 1.3: Circuito RC

C

V ( t )

R

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1.1 Introdu¸c˜ao `as Equa¸c ˜oes Diferenciais 7

1.1.1 Classifica¸c˜ao

As equac¸ ˜oes s˜ao classificadas quanto ao tipo , a ordem e a linearidade.

(a) Quanto ao tipo uma equac¸ ˜ao diferencial pode ser ordin´aria ou parcial. Ela e ordin´´ aria se as func¸ ˜oes inc ´ognitas forem func¸ ˜oes de somente uma vari´avel. Caso contr´ario ela ´e parcial. Portanto as derivadas que aparecem na equac¸ ˜ao s˜ao derivadas totais. Por exemplo, as equac¸ ˜oes que podem ser escritas na forma

F ( t , y , y ′, y ′′, ...) = 0,

em que y e func´ ¸ ˜ao apenas de t , s˜ao equac¸ ˜oes diferenciais ordin´arias, como as equac¸ ˜oes dos Exemplos 1.1, 1.2 e 1.4. A equac¸ ˜ao do Exemplo 1.3 e parcial.´

(b) Quanto `a ordem uma equac¸ ˜ao diferencial pode ser de 1 a.^ , de 2 a.^ , ..., de n -´esima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equac¸ ˜ao. Uma equac¸ ˜ao diferencial ordin´aria de ordem n ´e uma equac¸ ˜ao que pode ser escrita na forma F ( t , y , y ′, y ′′, ..., y ( n )) = 0. As equac¸ ˜oes dos Exemplos 1.1, 1.2 e 1.3 s˜ao de 2a.^ ordem e a equac¸ ˜ao do Exemplo 1.4 e de 1´ a.^ ordem.

(c) Quanto a linearidade uma equac¸ ˜ao diferencial pode ser linear ou n˜ao linear. Ela ´e linear se as inc ´ognitas e suas derivadas aparecem de forma linear na equac¸ ˜ao, isto ´e, as inc ´ognitas e suas derivadas aparecem em uma soma em que cada parcela ´e um produto de alguma derivada das inc ´ognitas com uma func¸ ˜ao que n˜ao depende das inc ´ognitas. Por exemplo uma equac¸ ˜ao diferencial ordin´aria linear de ordem n e uma equac´ ¸ ˜ao que pode ser escrita como

a 0 ( t ) y + a 1 ( t )

dy dt

• a 2 ( t )

d^2 y dt^2

+... + an ( t )

dny dtn^

= f ( t ).

Fevereiro 2011 Reginaldo J. Santos

1.1 Introdu¸c˜ao `as Equa¸c ˜oes Diferenciais 9

Exemplo 1.5. Considere a equac¸ ˜ao

ay ′′^ + by ′^ + cy = 0, com a , b , c ∈ R, a 6 = 0 tais que b^2 − 4 ac = 0.

Vamos mostrar que y ( t ) = e −^ 2 ba t^ ´e soluc¸ ˜ao desta equac¸ ˜ao para t ∈ R.

y ′( t ) = −

b 2 a

e −^ 2 ba t , y ′′( t ) =

b^2 4 a^2

e −^ 2 ba t

Substituindo-se y ( t ), y ′( t ) e y ′′( t ) no primeiro membro da equac¸ ˜ao obtemos

ay ′′^ + by ′^ + cy = a

b^2 4 a^2

e −^ 2 ba t^

• b

b 2 a

e −^ 2 ba t

• ce −^ 2 ba t

b^2 4 a

b^2 2 a

• c

e −^ 2 ba t

− b^2 + 4 ac 4 a

e −^ 2 ba t^ = 0,

pois por hip ´otese b^2 − 4 ac = 0. Assim y ( t ) = e −^

b 2 a t^ e soluc´ ¸ ˜ao da equac¸ ˜ao.

1.1.3 Equa¸c ˜oes Ordin´arias de 1a.^ Ordem

As equac¸ ˜oes diferenciais ordin´arias de 1a.^ ordem s˜ao equac¸ ˜oes que podem ser escritas como F ( t , y , y ′) = 0. Vamos estudar equac¸ ˜oes de primeira ordem que podem ser escritas na forma

dy dt

= f ( t , y ) (1.1)

Fevereiro 2011 Reginaldo J. Santos

10 Equa¸c ˜oes Diferenciais de 1a.^ Ordem

Uma solu¸c˜ao (particular) de uma equa¸c˜ao diferencial (1.1) em um intervalo I e´ uma func¸ ˜ao y ( t ) definida no intervalo I tal que a sua derivada y ′( t ) est´a definida no intervalo I e satisfaz a equac¸ ˜ao (1.1) neste intervalo. O problema   

dy dt = f ( t , y ) y ( t 0 ) = y 0

e chamado´ problema de valor inicial (PVI). Uma solu¸c˜ao do problema de valor inicial (1.2) em um intervalo I e uma func´ ¸ ˜ao y ( t ) que est´a definida neste intervalo, tal que a sua derivada tamb´em est´a definida neste intervalo e satisfaz (1.2).

Quando resolvemos uma equac¸ ˜ao diferencial ordin´aria de 1a.^ ordem obtemos uma fam´ılia de soluc¸ ˜oes que dependem de uma constante arbitr´aria. Se toda soluc¸ ˜ao particular puder ser obtida da fam´ılia de soluc¸ ˜oes que encontramos por uma escolha apropriada da constante dizemos que a fam´ılia de soluc¸ ˜oes ´e a solu¸c˜ao geral da equac¸ ˜ao.

Exemplo 1.6. A equac¸ ˜ao dy dt

= e^3 t

pode ser resolvida por integrac¸ ˜ao direta obtendo

y ( t ) =

∫ e^3 t^ dt =

e^3 t 3

+ C ,

que ´e a soluc¸ ˜ao geral da equac¸ ˜ao diferencial dada.

T ´opicos de Equac¸ ˜oes Diferenciais Fevereiro 2011